Сферические мультипольные моменты - Spherical multipole moments

Сферические мультипольные моменты - коэффициенты в расширение серии из потенциал которая изменяется обратно пропорционально расстоянию R до источника, т.е., как 1 /р. Примеры таких потенциалов: электрический потенциал, то магнитный потенциал и гравитационный потенциал.

Для наглядности проиллюстрируем разложение для точечный заряд, затем обобщить на произвольную плотность заряда ${displaystyle ho (mathbf {r^{prime }} )}$. В этой статье выделенные координаты, такие как ${displaystyle mathbf {r^{prime }} }$ относятся к положению заряда (ей), тогда как координаты без штриха, такие как ${displaystyle mathbf {r} }$ относятся к точке, в которой наблюдается потенциал. Мы также используем сферические координаты повсюду, например, вектор ${displaystyle mathbf {r^{prime }} }$ имеет координаты ${displaystyle (r^{prime }, heta ^{prime },phi ^{prime })}$ куда ${displaystyle r^{prime }}$ это радиус, ${displaystyle heta ^{prime }}$ это холодность и ${displaystyle phi ^{prime }}$ это азимутальный угол.

Сферические мультипольные моменты точечного заряда

Рисунок 1: Определения для сферического мультипольного расширения

В электрический потенциал из-за точечного заряда, расположенного по адресу ${displaystyle mathbf {r^{prime }} }$ дан кем-то

${displaystyle Phi (mathbf {r} )={frac {q}{4pi varepsilon }}{frac {1}{R}}={frac {q}{4pi varepsilon }}{frac {1}{sqrt {r^{2}+r^{prime 2}-2r^{prime }rcos gamma }}}.}$

куда ${displaystyle R {stackrel {mathrm {def} }{=}} left|mathbf {r} -mathbf {r^{prime }} ight|}$расстояние между положением заряда и точкой наблюдения, а ${displaystyle gamma }$ угол между векторами ${displaystyle mathbf {r} }$ и ${displaystyle mathbf {r^{prime }} }$.Если радиус ${displaystyle r}$ точки наблюдения больше чем радиус ${displaystyle r^{prime }}$ заряда, мы можем вычесть 1 /р и раскладываем квадратный корень по степеням ${displaystyle (r^{prime }/r)<1}$ с помощью Полиномы Лежандра

${displaystyle Phi (mathbf {r} )={frac {q}{4pi varepsilon r}}sum _{l=0}^{infty }left({frac {r^{prime }}{r}}ight)^{l}P_{l}(cos gamma )}$

Это в точности аналогично осевое многополюсное расширение.

Мы можем выразить ${displaystyle cos gamma }$ по координатам точки наблюдения и позиции заряда с помощью сферический закон косинусов (Рис. 2)

${displaystyle cos gamma =cos heta cos heta ^{prime }+sin heta sin heta ^{prime }cos(phi -phi ^{prime })}$

Рисунок 2: Углы между единичными векторами ${displaystyle mathbf {hat {z}} }$ (ось координат), ${displaystyle mathbf {hat {r}} }$ (точка наблюдения) и ${displaystyle mathbf {{hat {r}}^{prime }} }$ (позиция заряда).

Подставляя это уравнение для ${displaystyle cos gamma }$ в Полиномы Лежандра а разложение на множители координат со штрихом и без штриха дает важную формулу, известную как теорема сложения сферических гармоник

${displaystyle P_{l}(cos gamma )={frac {4pi }{2l+1}}sum _{m=-l}^{l}Y_{lm}( heta ,phi )Y_{lm}^{*}( heta ^{prime },phi ^{prime })}$

где ${displaystyle Y_{lm}}$ функции сферические гармоники.Подстановка этой формулы в потенциальные доходности

${displaystyle Phi (mathbf {r} )={frac {q}{4pi varepsilon r}}sum _{l=0}^{infty }left({frac {r^{prime }}{r}}ight)^{l}left({frac {4pi }{2l+1}}ight)sum _{m=-l}^{l}Y_{lm}( heta ,phi )Y_{lm}^{*}( heta ^{prime },phi ^{prime })}$

который можно записать как

${displaystyle Phi (mathbf {r} )={frac {1}{4pi varepsilon }}sum _{l=0}^{infty }sum _{m=-l}^{l}left({frac {Q_{lm}}{r^{l+1}}}ight){sqrt {frac {4pi }{2l+1}}}Y_{lm}( heta ,phi )}$

где определены мультипольные моменты

${displaystyle Q_{lm} {stackrel {mathrm {def} }{=}} qleft(r^{prime }ight)^{l}{sqrt {frac {4pi }{2l+1}}}Y_{lm}^{*}( heta ^{prime },phi ^{prime })}$.

Как и с осевые мультипольные моменты, можно также рассмотреть случай, когда радиус ${displaystyle r}$ точки наблюдения меньше чем радиус ${displaystyle r^{prime }}$ заряда. В этом случае мы можем написать

${displaystyle Phi (mathbf {r} )={frac {q}{4pi varepsilon r^{prime }}}sum _{l=0}^{infty }left({frac {r}{r^{prime }}}ight)^{l}left({frac {4pi }{2l+1}}ight)sum _{m=-l}^{l}Y_{lm}( heta ,phi )Y_{lm}^{*}( heta ^{prime },phi ^{prime })}$

который можно записать как

${displaystyle Phi (mathbf {r} )={frac {1}{4pi varepsilon }}sum _{l=0}^{infty }sum _{m=-l}^{l}I_{lm}r^{l}{sqrt {frac {4pi }{2l+1}}}Y_{lm}( heta ,phi )}$

где внутренние сферические мультипольные моменты определены как комплексно сопряженные нерегулярные сплошные гармоники

${displaystyle I_{lm} {stackrel {mathrm {def} }{=}} {frac {q}{left(r^{prime }ight)^{l+1}}}{sqrt {frac {4pi }{2l+1}}}Y_{lm}^{*}( heta ^{prime },phi ^{prime })}$

Эти два случая можно объединить в одно выражение, если${displaystyle r_{<}}$ и ${displaystyle r_{>}}$ определены как соответственно меньший и больший из двух радиусов ${displaystyle r}$ и ${displaystyle r^{prime }}$; тогда потенциал точечного заряда принимает форму, которую иногда называют Разложение лапласа

${displaystyle Phi (mathbf {r} )={frac {q}{4pi varepsilon }}sum _{l=0}^{infty }{frac {r_{<}^{l}}{r_{>}^{l+1}}}left({frac {4pi }{2l+1}}ight)sum _{m=-l}^{l}Y_{lm}( heta ,phi )Y_{lm}^{*}( heta ^{prime },phi ^{prime })}$

Общие сферические мультипольные моменты

Эти формулы легко обобщить, заменив точечный заряд ${displaystyle q}$с бесконечно малым элементом заряда ${displaystyle ho (mathbf {r} ^{prime })dmathbf {r} ^{prime }}$ и интеграция. Функциональная форма расширения такая же

${displaystyle Phi (mathbf {r} )={frac {1}{4pi varepsilon }}sum _{l=0}^{infty }sum _{m=-l}^{l}left({frac {Q_{lm}}{r^{l+1}}}ight){sqrt {frac {4pi }{2l+1}}}Y_{lm}( heta ,phi )}$

где определены общие мультипольные моменты

${displaystyle Q_{lm} {stackrel {mathrm {def} }{=}} int dmathbf {r} ^{prime }ho (mathbf {r} ^{prime })left(r^{prime }ight)^{l}{sqrt {frac {4pi }{2l+1}}}Y_{lm}^{*}( heta ^{prime },phi ^{prime })}$

Примечание

Потенциал Φ (р) действительна, так что комплексно сопряженное разложение также верно. Взятие комплексно сопряженного приводит к определению мультипольного момента, который пропорционален Y_lm, а не его комплексно сопряженный. Это обычное соглашение, см. молекулярные мультиполи для получения дополнительной информации об этом.

Внутренние сферические мультипольные моменты

Точно так же внутреннее многополюсное расширение имеет такую ​​же функциональную форму

${displaystyle Phi (mathbf {r} )={frac {1}{4pi varepsilon }}sum _{l=0}^{infty }sum _{m=-l}^{l}I_{lm}r^{l}{sqrt {frac {4pi }{2l+1}}}Y_{lm}( heta ,phi )}$

с внутренними мультипольными моментами, определенными как

${displaystyle I_{lm} {stackrel {mathrm {def} }{=}} int dmathbf {r} ^{prime }{frac {ho (mathbf {r} ^{prime })}{left(r^{prime }ight)^{l+1}}}{sqrt {frac {4pi }{2l+1}}}Y_{lm}^{*}( heta ^{prime },phi ^{prime })}$

Энергии взаимодействия сферических мультиполей

Может быть получена простая формула для энергии взаимодействия двух неперекрывающихся, но концентрических распределений заряда. Пусть первое распределение заряда ${displaystyle ho _{1}(mathbf {r} ^{prime })}$ центрироваться в начале координат и полностью лежать внутри второго распределения заряда ${displaystyle ho _{2}(mathbf {r} ^{prime })}$. Энергия взаимодействия между любыми двумя распределениями статического заряда определяется выражением

${displaystyle U {stackrel {mathrm {def} }{=}} int dmathbf {r} ho _{2}(mathbf {r} )Phi _{1}(mathbf {r} )}$

Потенциал ${displaystyle Phi _{1}(mathbf {r} )}$ распределения первого (центрального) заряда можно разложить по внешним мультиполям

${displaystyle Phi (mathbf {r} )={frac {1}{4pi varepsilon }}sum _{l=0}^{infty }sum _{m=-l}^{l}Q_{1lm}left({frac {1}{r^{l+1}}}ight){sqrt {frac {4pi }{2l+1}}}Y_{lm}( heta ,phi )}$

куда ${displaystyle Q_{1lm}}$ представляет ${displaystyle lm}$внешний мультипольный момент первого распределения заряда. Подстановка этого разложения дает формулу

${displaystyle U={frac {1}{4pi varepsilon }}sum _{l=0}^{infty }sum _{m=-l}^{l}Q_{1lm}int dmathbf {r} ho _{2}(mathbf {r} )left({frac {1}{r^{l+1}}}ight){sqrt {frac {4pi }{2l+1}}}Y_{lm}( heta ,phi )}$

Поскольку интеграл равен комплексному сопряжению внутренних мультипольных моментов ${displaystyle I_{2lm}}$ второго (периферийного) распределения заряда формула энергии сводится к простому виду

${displaystyle U={frac {1}{4pi varepsilon }}sum _{l=0}^{infty }sum _{m=-l}^{l}Q_{1lm}I_{2lm}^{*}}$

Например, эту формулу можно использовать для определения энергий электростатического взаимодействия атомного ядра с окружающими его электронными орбиталями. И наоборот, зная энергии взаимодействия и внутренние мультипольные моменты электронных орбиталей, можно найти внешние мультипольные моменты (и, следовательно, форму) атомного ядра.

Частный случай осевой симметрии

Сферическое мультипольное расширение принимает простой вид, если распределение заряда аксиально-симметрично (т. Е. Не зависит от азимутальный угол ${displaystyle phi ^{prime }}$). Путем проведения ${displaystyle phi ^{prime }}$ интеграции, которые определяют ${displaystyle Q_{lm}}$ и ${displaystyle I_{lm}}$, можно показать, что все мультипольные моменты равны нулю, кроме тех случаев, когда ${displaystyle m=0}$. Использование математической идентичности

${displaystyle P_{l}(cos heta ) {stackrel {mathrm {def} }{=}} {sqrt {frac {4pi }{2l+1}}}Y_{l0}( heta ,phi )}$

внешнее мультипольное расширение становится

${displaystyle Phi (mathbf {r} )={frac {1}{4pi varepsilon }}sum _{l=0}^{infty }left({frac {Q_{l}}{r^{l+1}}}ight)P_{l}(cos heta )}$

где определены аксиально-симметричные мультипольные моменты

${displaystyle Q_{l} {stackrel {mathrm {def} }{=}} int dmathbf {r} ^{prime }ho (mathbf {r} ^{prime })left(r^{prime }ight)^{l}P_{l}(cos heta ^{prime })}$

В том случае, если заряд ограничен ${displaystyle z}$- ось, восстанавливаем экстерьер осевые мультипольные моменты.

Аналогичным образом внутреннее мультипольное расширение становится

${displaystyle Phi (mathbf {r} )={frac {1}{4pi varepsilon }}sum _{l=0}^{infty }I_{l}r^{l}P_{l}(cos heta )}$

где определены осесимметричные внутренние мультипольные моменты

${displaystyle I_{l} {stackrel {mathrm {def} }{=}} int dmathbf {r} ^{prime }{frac {ho (mathbf {r} ^{prime })}{left(r^{prime }ight)^{l+1}}}P_{l}(cos heta ^{prime })}$

В том случае, если заряд ограничен ${displaystyle z}$-оси, восстанавливаем салон осевые мультипольные моменты.

Смотрите также

• Сплошные гармоники
• Разложение лапласа
• Многополюсное расширение
• Полиномы Лежандра
• Осевые мультипольные моменты
• Цилиндрические мультипольные моменты

внешняя ссылка