Разложение Лапласа (потенциал) - Laplace expansion (potential)

Эта статья о приближении радиальных потенциалов. Для детерминантного правила Лапласа см. Разложение Лапласа.

В физике Разложение Лапласа потенциалов, которые прямо пропорциональны обратной величине расстояния (${displaystyle 1/r}$), Такие как Гравитационный потенциал Ньютона или же Кулоновский электростатический потенциал, выражает их через сферические полиномы Лежандра. В квантово-механических расчетах атомов разложение используется для оценки интегралов межэлектронного отталкивания.

Фактически расширение Лапласа - это увеличение обратного расстояния между двумя точками. Пусть точки имеют векторы положения ${displaystyle { extbf {r}}}$ и ${displaystyle { extbf {r}}'}$, то разложение Лапласа имеет вид

${displaystyle {frac {1}{|mathbf {r} -mathbf {r} '|}}=sum _{ell =0}^{infty }{frac {4pi }{2ell +1}}sum _{m=-ell }^{ell }(-1)^{m}{frac {r_{scriptscriptstyle <}^{ell }}{r_{scriptscriptstyle >}^{ell +1}}}Y_{ell }^{-m}( heta ,varphi )Y_{ell }^{m}( heta ',varphi ').}$

Здесь ${displaystyle { extbf {r}}}$ имеет сферические полярные координаты ${displaystyle (r, heta ,varphi )}$ и ${displaystyle { extbf {r}}'}$ имеет ${displaystyle (r', heta ',varphi ')}$ с однородными многочленами степени ${displaystyle ell }$. Дальше р_< мин (р, р') и р_> макс (р, р′). Функция ${displaystyle Y_{ell }^{m}}$ нормализованный сферическая гармоническая функция. Расширение принимает более простую форму, если записать его в терминах сплошные гармоники,

${displaystyle {frac {1}{|mathbf {r} -mathbf {r} '|}}=sum _{ell =0}^{infty }sum _{m=-ell }^{ell }(-1)^{m}I_{ell }^{-m}(mathbf {r} )R_{ell }^{m}(mathbf {r} ')quad { ext{with}}quad |mathbf {r} |>|mathbf {r} '|.}$

Вывод

Вывод этого разложения прост. Посредством закон косинусов,

${displaystyle {frac {1}{|mathbf {r} -mathbf {r} '|}}={frac {1}{sqrt {r^{2}+(r')^{2}-2rr'cos gamma }}}={frac {1}{r{sqrt {1+h^{2}-2hcos gamma }}}}quad {hbox{with}}quad h:={frac {r'}{r}}.}$

Мы находим здесь производящую функцию Полиномы Лежандра ${displaystyle P_{ell }(cos gamma )}$ :

${displaystyle {frac {1}{sqrt {1+h^{2}-2hcos gamma }}}=sum _{ell =0}^{infty }h^{ell }P_{ell }(cos gamma ).}$

Использование теорема сложения сферических гармоник

${displaystyle P_{ell }(cos gamma )={frac {4pi }{2ell +1}}sum _{m=-ell }^{ell }(-1)^{m}Y_{ell }^{-m}( heta ,varphi )Y_{ell }^{m}( heta ',varphi ')}$

дает желаемый результат.

Рекомендации

• Гриффитс, Дэвид Дж. (Дэвид Джеффри). Введение в электродинамику. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл, 1981.