Упаковка сферы в сферу - Sphere packing in a sphere

Упаковка сферы в сферу это трехмерный проблема упаковки с целью упаковки заданного числа равных сфер внутри единичная сфера. Это трехмерный эквивалент упаковка круга в круг проблема в двух измерениях.

Количество внутренние сферы	Максимальный радиус внутренних сфер[1]		Упаковка плотность	Оптимальность	Диаграмма
	Точная форма	Приблизительно
1	${\displaystyle 1}$	1.0000	1	Тривиально оптимально.
2	${\displaystyle {\dfrac {1}{2}}}$	0.5000	0.25	Тривиально оптимально.
3	${\displaystyle 2{\sqrt {3}}-3}$	0.4641...	0.29988...	Тривиально оптимально.
4	${\displaystyle {\sqrt {6}}-2}$	0.4494...	0.36326...	Доказано оптимально.
5	${\displaystyle {\sqrt {2}}-1}$	0.4142...	0.35533...	Доказано оптимально.
6	${\displaystyle {\sqrt {2}}-1}$	0.4142...	0.42640...	Доказано оптимально.
7		0.3859...	0.40231...	Доказано оптимально.
8		0.3780...	0.43217...	Доказано оптимально.
9		0.3660...	0.44134...	Доказано оптимально.
10		0.3530...	0.44005...	Доказано оптимально.
11	${\displaystyle {\dfrac {{\sqrt {5}}-3}{2}}+{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}$	0.3445...	0.45003...	Доказано оптимально.
12	${\displaystyle {\dfrac {{\sqrt {5}}-3}{2}}+{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}$	0.3445...	0.49095...	Доказано оптимально.

Рекомендации

1. Лучшая упаковка m> 1 равных сфер в сфере, устанавливающей новый рекорд плотности