Упаковка круга в круг - Circle packing in a circle

Упаковка круга в круг является двумерным проблема упаковки с целью упаковки единичных кругов в как можно меньшие и большие круг.

Минимальные решения (если было показано, что существует несколько минимальных решений, в таблице отображается только один вариант):^[1]

Количество единичные круги	Диаметр окружающего круга	Плотность	Оптимальность	Диаграмма
1	1	1.0000	Тривиально оптимально.
2	2	0.5000	Тривиально оптимально.
3	${\displaystyle 1+{\frac {2}{\sqrt {3}}}}$ ≈ 2.154...	0.6466...	Тривиально оптимально.
4	${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$ ≈ 2.414...	0.6864...	Тривиально оптимально.
5	${\displaystyle 1+{\sqrt {2\left(1+{\frac {1}{\sqrt {5}}}\right)}}}$ ≈ 2.701...	0.6854...	Тривиально оптимально. Также оптимальным оказался Грэм (1968)[2]
6	3	0.6666...	Тривиально оптимально. Также оптимальным оказался Грэм (1968)[2]
7	3	0.7777...	Тривиально оптимально.
8	${\displaystyle 1+{\frac {1}{\sin \left({\frac {\pi }{7}}\right)}}}$ ≈ 3.304...	0.7328...	Доказано оптимальным Pirl (1969)[3]
9	${\displaystyle 1+{\sqrt {2\left(2+{\sqrt {2}}\right)}}}$ ≈ 3.613...	0.6895...	Доказано оптимальным Pirl (1969)[3]
10	3.813...	0.6878...	Доказано оптимальным Pirl (1969)[3]
11	${\displaystyle 1+{\frac {1}{\sin \left({\frac {\pi }{9}}\right)}}}$ ≈ 3.923...	0.7148...	Оптимальность подтверждена Melissen (1994)[4]
12	4.029...	0.7392...	Оптимальность подтверждена Фодором (2000)[5]
13	${\displaystyle 2+{\sqrt {5}}}$ ≈ 4.236...	0.7245...	Оптимальность подтверждена Фодором (2003)[6]
14	4.328...	0.7474...	Предполагается оптимально.[7]
15	${\displaystyle 1+{\sqrt {6+{\frac {2}{\sqrt {5}}}+4{\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}}}}$ ≈ 4.521...	0.7339...	Предполагается оптимально.[7]
16	4.615...	0.7512...	Предполагается оптимально.[7]
17	4.792...	0.7403...	Предполагается оптимально.[7]
18	${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}}$ ≈ 4.863...	0.7611...	Предполагается оптимально.[7]
19	${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}}$ ≈ 4.863...	0.8034...	Оптимальность подтверждена Фодором (1999)[8]
20	5.122...	0.7623...	Предполагается оптимально.[7]

Смотрите также

• Проблема покрытия диска

Рекомендации

1. Фридман, Эрих, «Круги в кругах», Центр упаковки Эриха, заархивировано из оригинал на 2020-03-18
2. Р.Л. Грэм, Наборы точек с заданным минимальным расстоянием (Решение проблемы El921), Амер. Математика. Ежемесячно 75 (1968) 192-193.
3. У. Пирл, Der Mindestabstand von n in der Einheitskreisscheibe gelegenen Punkten, Mathematische Nachrichten 40 (1969) 111-124.
4. Х. Мелиссен, Плотная упаковка одиннадцати одинаковых кругов в круг, Geometriae Dedicata 50 (1994) 15-25.
5. Ф. Фодор, Самая плотная упаковка из 12 конгруэнтных кругов в круг, Beiträge zur Algebra und Geometrie, Contributions to Algebra and Geometry 41 (2000)?, 401–409.
6. Ф. Фодор, Плотная упаковка 13 конгруэнтных кругов в круг, Beiträge zur Algebra und Geometrie, Contributions to Algebra and Geometry 44 (2003) 2, 431–440.
7. Грэм Р.Л., Любачевский Б.Д., Нурмела К.Дж., Остергард ПРЖ. Плотные упаковки конгруэнтных кругов по кругу. Дискретная математика 1998; 181: 139–154.
8. Ф. Фодор, Самая плотная упаковка из 19 конгруэнтных кругов в круг, Геом. Dedicata 74 (1999), 139–145.

внешняя ссылка

• «Наиболее известные упаковки равных кругов в круге (полное до N = 2600)»
• "Онлайн-калькулятор" Сколько кругов можно получить, чтобы минимизировать отходы? "
• Пакомания до 2600 кругов.