Социальный выбор и индивидуальные ценности - Social Choice and Individual Values

Автор	Кеннет Эрроу
Страна	Соединенные Штаты Америки
Язык	английский
Предмет	Теория социального выбора
Опубликовано	1951 Джон Уайли и сыновья 1963 Издательство Йельского университета
ISBN	0-300-01364-7 (2-е издание)

Кеннет Эрроу с монография Социальный выбор и индивидуальные ценности (1951, 2-е изд., 1963) и содержащаяся в нем теорема создали современные теория социального выбора, строгое сочетание социальных этика и теория голосования с экономический вкус. В некоторой степени формально «социальный выбор» в названии относится к представлению Эрроу о том, как социальные ценности от набор индивидуальных заказов будет осуществляться в рамках конституция. Менее формально, каждый социальный выбор соответствует возможному набору законов, принятому «голосованием» (набором порядков) в соответствии с конституцией, даже если не каждый человек проголосовал за все законы.

Кульминацией работы стало то, что Эрроу назвал «Общей теоремой о возможности», более известной впоследствии как Теорема Эрроу (невозможность). Теорема утверждает, что при отсутствии ограничений либо на индивидуальные предпочтения, либо на нейтралитет конституции по отношению к возможным альтернативам, не существует правила социального выбора, удовлетворяющего набору правдоподобных требований. Результат обобщает парадокс голосования, который показывает, что голосование большинством может не дать стабильного результата.

Вступление

Во введении голосование и рынки противопоставляются диктатуре и социальным соглашениям (например, в религиозном кодексе). Оба служат примером социальных решений. Голосование и рынки способствуют Социальное выбор в определенном смысле, тогда как диктатура и условности ограничивают его. Бывшие объединяют, возможно, разные вкусы, чтобы сделать социальный выбор. Речь идет о формальных аспектах обобщения такого выбора. В этом отношении он сопоставим с анализом парадокс голосования от использования принцип большинства как ценность.

В простейшем случае парадокса голосования есть 3 кандидата, A, B и C, и 3 избирателя с предпочтениями, перечисленными в порядке убывания следующим образом. Избиратель 1: A B C Голосующий 2: B C A Голосующий 3: C A B Согласно правилу большинства при голосовании двух кандидатов, А превосходит В, В лучше, чем С, но С лучше, чем А. Правило большинства работает для человека, последовательно выбирающего из трех кандидатов, но не обязательно для «общественного выбора» в любом общем смысле.

Эрроу спрашивает, решают ли проблемы другие методы агрегирования вкусов (будь то голосование или рынок) с использованием других ценностей или они удовлетворяют другим требованиям. Здесь логическая последовательность - это проверка на приемлемость всех значений. Чтобы ответить на вопросы, Эрроу предлагает убрать различие между голосованием и рынками в пользу более общей категории коллективного социального выбора.

В анализе используются порядковые номера индивидуального выбора для представления моделей поведения. Кардинальные меры отдельных полезность и, a fortiori, межличностных сравнений полезности избегают на том основании, что такие меры не нужны для представления поведения и зависят от взаимно несовместимых оценочных суждений (стр. 9).

Следующий Абрам Бергсон, чья формулировка функция социального обеспечения начал ординалист экономика благосостояния,^[1] Стрелка избегает определения общественного блага как независимого от индивидуальных ценностей. Скорее, социальные ценности связаны с действиями, вытекающими из правил принятия социальных решений (гипостазированных как конституционные условия) с использованием индивидуальных значений в качестве входных. Тогда «социальные ценности» означают «не что иное, как социальный выбор» (стр. 106).

Темы, затронутые на этом пути, включают теория игры, то принцип компенсации в экономика благосостояния, проявленное сочувствие, Принцип Лейбница идентичность неразличимых, регистрация, и сходство социальных суждений через односторонние предпочтения, Канта категорический императив, или процесс принятия решения.

Терминология

В книге даны определения нескольких терминов и логических символов, используемых в дальнейшем, а также их прикладная эмпирическая интерпретация (стр. 11–19, 23). Ключевым среди них является «голосование» («набор порядков») общества (в более общем смысле «коллектив»), состоящее из индивидов (здесь «избиратели») в следующей форме:

• Избиратели, конечное множество, состоящее не менее чем из двух элементов, индексируемых как я = 1, 2, ... п.
• Товары, объекты выбора (вещи, которые могут захотеть избиратели, товары и услуги), как частные, так и государственные (муниципальные услуги, управление государством и т. д.).
• А социальное состояние спецификация (формально элемент вектор ) распределения среди избирателей товаров, труда и ресурсов, используемых в их производстве.
• В набор социальных состояний, набор всех «социальных состояний», индексируемых как Икс, у, z,. ., минимум с тремя членами.
• Слабый) заказ- рейтинг избирателем всех «социальных состояний» от более предпочтительного до менее предпочтительного, включая возможные связи.
• В набор "заказов", набор всех п заказы, одна заявка на избирателя.

Пример: три избирателя {1,2,3} и три состояния {х, у, г}. Учитывая три состояния, существует 13 логически возможных порядков (с учетом связей).* Поскольку каждый из участников может иметь любой из порядков, существует 13 * 13 * 13 = 2197 возможных «голосов» (наборов порядков). Четко определенное правило принятия социальных решений выбирает социальное состояние (или состояния, в случае равенства голосов), соответствующее каждому из этих «голосов». * А именно, от самого высокого до самого низкого ранга для каждой тройки и со связями индексации 'T: x y z x y T z (x z T y имеет тот же рейтинг, что и x y T z, поэтому опускается и т. д.) у х г у т х г z x y z x T y x z y x T z y y z x y z T x z y x z T y x z T y T x

Порядок каждого избирателя ранжирует социальные состояния, включая распределение товаров (возможно, на основе справедливости, по какой-либо метрике или по любым другим соображениям), а не просто прямое потребление этим избирателем. Итак, упорядочивание - это «индивидуальная ценность», а не просто, как в предыдущем анализе, чисто частный «вкус». Стрелка отмечает, что различие не резкое. Распределение ресурсов указывается в продукции каждого социального государства в заказе.

Комплексный характер товары, то набор из социальные состояния, а набор из заказы был отмечен ранними рецензентами.

Два свойства, которые определяют любой порядок набора объекты под вопросом (все социальные состояния вот:

• связность (полнота): Все объекты в наборе включены в рейтинг (нет «не определились» или «воздержались») и
• транзитивность: Если для любых объектов Икс, у, и z в комплекте, Икс имеет рейтинг не ниже у и у имеет рейтинг не ниже z, тогда Икс имеет рейтинг не ниже z.

Стандарт карта кривой безразличия поскольку у человека есть эти свойства, как и порядок. Каждый луч от источника ранжирует (мыслимые) товарные группы, начиная с наименее предпочтительного и далее вверх (нет связей в рейтинге). Каждая кривая безразличия оценивает товарные наборы как одинаково предпочтительные (все связи в рейтинге).

Предыдущее определение заказ подразумевает, что любой данный порядок влечет за собой один из трех ответов в «бюллетене» между любой парой социальных состояний (Икс, у): лучше чем, так хорошо, как, или же хуже чем (в рейтинге предпочтений). (Здесь «как хорошо» - это отношение «с одинаковым рейтингом», а не «не знаю».)

Обозначения этих трех вариантов "голосования" соответственно: x P y (избиратель предпочитает Икс к у) х я у (избиратель безразличен между Икс и у) y P x (избиратель предпочитает у к Икс). Для вывода результатов удобно сжать первые два из этих вариантов в бюллетене до одного, "по меньшей мере так хорошо, как "отношение, обозначенное р: x R y: избиратель либо предпочитает Икс к у или безразлично между Икс и у но не то и другое. Затем два указанных выше свойства упорядочения аксиоматизируются следующим образом: связность: Для всех (предметы по выбору в наборе) Икс и у, либо x R y или же y R x. транзитивность: Для всех Икс, у, и z, x R y и y R z подразумевать х R z. Таким образом, чередование ('или') и соединение ('и') р отношения представляют оба свойства упорядочивания для всех объектов выбора. В я и п отношения тогда определяются как: х я у: x R y и y R x (Икс так хорошо, как у средства Икс по крайней мере так хорошо, как у наоборот). x P y: нет y R x (y R x включает один из двух вариантов. Отрицание этого варианта оставляет только x P y, третий из трех вариантов в бюллетене.) Отсюда союз ('и') и отрицание ('не') простого попарного р отношения могут (также) представлять все свойства упорядочения для всех объектов выбора. Отсюда следующая стенография.

An заказ избирателя обозначается р. Это распоряжение избирателя я обозначается с нижним индексом как ${displaystyle R_{i}}$.

Если избиратель я меняет порядок, простые числа различают первое и второе, скажем ${displaystyle R_{i}}$ в сравнении с ${displaystyle R_{i}}$' . Одно и то же обозначение может применяться для двух различных гипотетических порядков одного и того же избирателя.

Интерес книги заключается в объединении наборов упорядочений. Это достигается через «конституцию».

• А конституция (или же функция социального обеспечения) это правило голосования отображение каждого (по крайней мере одного) набора порядков на социальный заказ, соответствующий порядок набора социальных состояний, применимый к каждому избирателю.

Социальный порядок конституции обозначается р. (Контекст или нижний индекс определяют порядок избирателя р от того же символа социального порядка.)

Для любых двух социальных состояний Икс и у данного социального заказа р:

x P y "социальное предпочтение" Икс над у (Икс выбран над у по правилу).

х я у "социальное безразличие" между Икс и у (оба оцениваются по правилу одинаково).

x R y является либо "социальным предпочтением" Икс над у или "социальное безразличие" между Икс и у (Икс занимает меньше всего места в рейтинге у по правилу).

Социальное упорядочивание применяется к каждому упорядочиванию в наборе упорядочений (отсюда «социальная» часть и связанное с ней объединение). Это так, независимо от (не) сходства между социальным порядком и любым или всеми порядками в наборе. Но Эрроу помещает конституцию в контекст ординалистов. экономика благосостояния, который пытается объединить различные вкусы логичным и убедительным образом.

Социальный порядок для данного набора порядков относительно набора социальных состояний аналогичен карта кривой безразличия для физического лица по набору товарных позиций. Отсюда нет необходимой интерпретации, что «общество» - это просто большой избиратель. Тем не менее, отношение набора распоряжений избирателя к результату правила голосования, будь то социальное упорядочение или нет, находится в центре внимания книги.

Стрелка (стр. 15, 26–28) показывает, как отказаться от социального порядка. р для данного набора порядков к конкретному «социальному выбору», указав:

• то среда, S: the подмножество социальных состояний, которые (гипотетически) имеется в наличии (достижимый относительно ресурс количество и производительность), а не просто мыслимые.

Социальный заказ р затем выбирает социальное состояние (а) с наивысшим рейтингом из подмножества в качестве социальный выбор набор.

Это обобщение из теория потребительского спроса с идеальное соревнование на стороне покупателя. S соответствует набору товарных групп в рамках или в рамках бюджетного ограничения для физического лица. Главный выбор потребителя находится на самой высокой кривой безразличия к бюджетным ограничениям.

Менее неформально функция общественного выбора функция, отображающая каждую среду S доступных социальных состояний (не менее двух) для любых данный набор заказов (и соответствующий социальный заказ р) к социальный выбор набор, набор социальных состояний каждый элемент из которых занимает первое место (по р) для этой среды и этого набора порядков.

Функция общественного выбора обозначается C (S). Рассмотрим среду, в которой всего два социальных состояния, Икс и у: C (S) = С ([х, у]). Предполагать Икс - единственное социальное государство с высоким рейтингом. Тогда C ([Икс, у]) = {Икс}, социальный выбор набор. Если Икс и у вместо этого связаны, С ([х, у]) = {Икс, у}. Формально (с. 15), C (S) это набор всех Икс в S такое, что для всех у в S, x R y ("Икс по крайней мере так же хорошо, как у").

Следующий раздел вызывает следующее. Позволять р и Р' обозначают социальные порядки конституции, соответствующие любым двум наборам порядков. Если р и Р' для той же среды S соответствуют одному и тому же социальному выбору (ам), отношение идентичных социальных выборов для р и Р' представлен как: C (S) = C '(S).

Условия и теорема

Конституция может показаться многообещающей альтернативой диктатуре и социальным условностям без права голоса или внешнему контролю. Стрелка описывает связность социального порядка, требующего только этого немного социальный выбор может быть сделан из любой среды доступных социальных состояний. Поскольку какое-то социальное состояние будет преобладать, это трудно отрицать (особенно, если в бюллетенях нет места для воздержания). В транзитивность социального порядка имеет преимущество перед требованием единодушия (или гораздо меньшего) для смены социальных состояний, если есть неадаптированный статус-кво (то есть один объект "демократический паралич "). В отсутствие тупика транзитивность вытесняет любую ссылку на статус-кво как привилегированное значение по умолчанию, блокирующее путь к социальному выбору (стр. 120).

Эрроу предлагает следующее «очевидно разумное» условия чтобы ограничить социальный порядок (и) конституции (стр. 25, 96-97).^[2]

• 1. Универсальный (неограниченный) домен U (впоследствии так называемое): каждый логически возможный набор упорядочений соответствует своему собственному социальному упорядочению.

Конституция разрешает каждому избирателю ранжировать совокупность социальных состояний в любом порядке, но только с одним порядком для каждого избирателя для данного набора порядков.

Стрелка относится к конституции, удовлетворяющей этому условию, как коллективная рациональность. Его можно сравнить с рациональность заказа избирателя. Но рецепт коллективной рациональности, которую предлагает Эрроу, отличается от описательного использования порядка избирателя, которое он применяет. Отсюда его отрицание в конце книги того, что коллективная рациональность - это «просто незаконный переход от индивида к обществу». (стр.120)

• 2. Независимость от несущественных альтернатив я: Позволять ${displaystyle R_{1}}$, ..., ${displaystyle R_{n}}$ и ${displaystyle R_{1}}$' , ..., ${displaystyle R_{n}}$' быть 2 наборами порядков в конституции. Позволять S быть подмножество гипотетически имеется в наличии (не просто мыслимый) социальные состояния, скажем Икс и у, из множества социальных состояний. Для каждого избирателя я, пусть рейтинг Икс и у быть таким же для ${displaystyle R_{i}}$ и для ${displaystyle R_{i}}$' . (Разные избиратели могут по-прежнему иметь разные рейтинги двух социальных состояний.) Затем социальные упорядочения для двух соответствующих наборов порядков выбирают одно и то же состояние (я) из подмножества в качестве социального выбора.

Состояние I: Позволять ${displaystyle R_{1}}$, ..., ${displaystyle R_{n}}$ и ${displaystyle R_{1}}$' , ..., ${displaystyle R_{n}}$' быть 2 наборами порядков в конституции. Позволять S быть любой подмножество гипотетически доступных социальных состояний из множества социальных состояний. Для каждого избирателя я и для каждой пары Икс и у в S, позволять Икс ${displaystyle R_{i}}$ у если и только если Икс ${displaystyle R_{i}}$'у. Затем функции социального выбора для двух соответствующих наборов порядков отображаются в идентичный набор социального выбора: C (S) = C '(S).

Это идентичное отображение происходит даже при различиях в рейтинге любого избирателя между двумя наборами порядков. вне этого подмножества социальных состояний. Рассмотрим гипотетический «второй тур голосования» только между двумя доступными социальными состояниями. Социальный выбор связан с наборами рейтингов для этого подмножества, а не с рейтингом недоступных социальных состояний за пределами подмножества. Таким образом, этот социальный выбор для подмножества не зависит, скажем, только от изменения порядка. вне подмножество.

Стрелка описывает это состояние как расширение ординализм с его упором на перспективно наблюдаемое поведение (для рассматриваемого подмножества). Он приписывает практическую пользу условию от "каждой известной избирательной системы", удовлетворяющей ему (с. 110).

• 3. (слабый) Принцип Парето P: Для любого Икс и у во множестве социальных состояний, если все предпочитают Икс над у, тогда Икс социально отобран у.#

Условие P: Для любого Икс и у в совокупности социальных состояний, если для каждого избирателя я, Икс ${displaystyle P_{i}}$ у, тогда x P y.

Как предполагает Сен,[3] Единогласие Парето (с универсальной областью) преобладает любой социальная конвенция, выбирающая какое-то социальное состояние.

Условия, особенно вторые и третьи, могут показаться минимальными, но вместе они суровы, что можно представить двумя способами.

• Теорема Эрроу [1]: 3 условия конституции подразумевают диктатор кто преобладает в отношении социального выбора, независимо от предпочтений этого человека и всех остальных.

Альтернативное утверждение теоремы добавляет к сказанному выше следующее условие:

• 4. Недиктатура D: Ни один избиратель в обществе не является диктатором. То есть избирателя нет я в обществе так, что для каждого набора порядков в области конституции и каждой пары отдельных социальных состояний Икс и у, если избиратель я строго предпочитает Икс над у, Икс социально отобран у.^[4]

Условие D: Нет избирателя я в {1, ..., п} такой, что для каждого набора порядков в области конституции и каждой пары социальных состояний Икс и у, Икс ${displaystyle P_{i}}$ у подразумевает x P y.

• Теорема Эрроу [2]: Конституция невозможно, то есть четыре условия конституции подразумевают противоречие.

У каждого избирателя есть упорядоченность (по атрибуции). Тем не менее, набор порядков, используемых в качестве аргумента правила голосования, не распространяется на социальный порядок с соответствующей потерей социальной адаптивности и конституционной общности, будь то описательные или предписывающие.

# Парето сильнее необходимого в доказательстве следующей теоремы. Но он используется в Эрроу (1963, гл. VIII) для более простого доказательства, чем в Эрроу (1951). В последнем случае Эрроу использует 2 других условия, которые с (2) выше подразумевают Парето (1963, с. 97; 1987, с. 127):

• 3а. Монотонность M (Позитивная ассоциация личных и социальных ценностей), как у Эрроу (1987, с. 125): для данного набора порядков с социальным порядком р, такое, что состояние Икс в обществе предпочитают заявлять у, если предпочтение Икс повышается в каком-то индивидуальном порядке (ах) и не падает ни в каком, Икс также социально предпочитается у в социальном заказе для нового набора порядков.

Эрроу (1951, стр. 26) описывает здесь социальное благополучие как по крайней мере не имеющее отрицательного отношения к индивидуальным предпочтениям.

• 3b. Согласно определению Эрроу (1951, стр. 28–29), Навязываемая конституция такая конституция, что для некоторых альтернативных социальных государств Икс и у и для любого набора заказов ${displaystyle R_{1}}$, ..., ${displaystyle R_{n}}$ в домене и соответствующем социальном заказе р, социальный рейтинг x R y.

Не наложение N (Гражданский суверенитет): Конституцию навязывать нельзя.

При наложении для каждого набора порядков в домене социальный рейтинг по крайней мере для одного Икс и у только x R y. Голосование не влияет на результат.

Для особого случая всех предпочитающих у над Икс, голосование по-прежнему не имеет значения. Если инвариантный социальный рейтинг применим только к одной паре отдельных социальных состояний, конституция нарушит N. В этом отношении, как представление об исключительной конвенции, N тщательно.

Доказательство

Доказательство состоит из двух частей (Эрроу, 1963, с. 97–100). В первой части рассматривается гипотетический случай, когда какой-то избиратель приказал, чтобы преобладает ('имеет решающее значение') в отношении социального выбора для немного пара социальных состояний, независимо от того, что избиратель предпочитает пару, несмотря на то, что все остальные избиратели против. Показано, что для конституции, удовлетворяющей Неограниченный домен, Парето и Независимость, приказ этого избирателя будет преобладать каждый пара социальных состояний, независимо от того, как устроены другие. Итак, избиратель был бы Диктатор. Таким образом, Недиктатура требует постулата, что никто не будет преобладать даже для одной пары социальных состояний.

Вторая часть рассматривает в более общем плане набор избирателей, которые будут преобладать для некоторой пары социальных состояний, несмотря на то, что все другие избиратели (если таковые имеются) предпочитают иное. Парето и Неограниченный домен для конституции подразумевает, что такой набор будет включать, по крайней мере, весь набор избирателей. К Недиктатура, в наборе должно быть не менее 2 голосующих. Постулируйте среди всех таких множеств такое, что никакое другое множество не меньше. Такой набор можно построить с помощью Неограниченный домен и адаптация парадокс голосования подразумевает еще меньший набор. Это противоречит постулату и доказывает теорему.

Резюме, интерпретация и последствия

В книге предлагаются некоторые очевидно разумные условия для правила «голосования», в частности, «конституция», позволяющая делать последовательный, осуществимый социальный выбор в велфарист контекст. Но тогда любая конституция, допускающая диктатуру, требует этого, а любая конституция, которая требует недиктатуры, противоречит одному из других условий. Следовательно парадокс общественного выбора.

Набор условия через разные возможные голоса уточнены экономика благосостояния и дифференцировал конституцию Эрроу от pre-Arrow функция социального обеспечения. Поступая таким образом, он также исключал какой-либо один последовательный социальный порядок, который агент или должностное лицо может апеллировать, пытаясь реализовать социальное обеспечение, голосами другихs по конституции.^[5] Результат обобщает и углубляет парадокс голосования к любому правилу голосования, удовлетворяющему условиям, даже сложным или всеобъемлющим.

Издание 1963 года включает дополнительную главу с более простым доказательством Теорема Эрроу и исправляет более ранний момент, отмеченный Блау.^[6] В нем также подробно рассматриваются преимущества условий и цитируются исследования Райкер^[7] и Даль^[8] это как эмпирический вопрос непроницаемость механизма голосования может привести к неудовлетворительному бездействию или противодействию большинства. Они подтверждают характеристику Эрроу конституции посредством возможных голосований (то есть коллективной рациональности) как «важного атрибута подлинно демократической системы, способной полностью адаптироваться к различным условиям» (стр. 120).

Может показаться, что эта теорема распутала клубок социально-этической теории, основанной на поведении. Адам Смит и Бентам на. Но сам Эрроу в конце своей лекции о Нобелевской премии выражает надежду, что, хотя философские и распределительные последствия парадокса социального выбора «все еще не ясны», другие «воспримут этот парадокс как вызов, а не как препятствующий барьер. "

В обширную последующую литературу были включены переформулировки с целью расширить, ослабить или заменить условия и получить последствия. В этом отношении структура Эрроу была инструментом для обобщения теория голосования и критически оценивая и расширяя экономическая политика и теория социального выбора.

Смотрите также

• Теорема о невозможности Эрроу
• Кеннет Эрроу, Раздел 1 (теорема и распределительная трудность непереходности + правило большинства)
• Абрам Бергсон
• Бьюкенен и Таллок, Исчисление согласия: логические основы конституционной демократии
• Независимость от нерелевантных альтернатив
• Парето эффективность, сильные и слабые
• Зависимость от пути, в отличие от Arrow с независимостью от пути, которую обеспечивает социальный порядок.
• Политический аргумент
• Теория общественного выбора
• Теория социального выбора
• Функция социального обеспечения
• Правило по высшему закону
• Утилитаризм
• Парадокс голосования
• Система голосования
• Экономика благосостояния
• Велфаризм
• JEL D71 прокрутив вниз до пункта "Социальный выбор"

Примечания

1. Абрам Бергсон, 1938. «Переформулировка некоторых аспектов экономики благосостояния», 1938. Ежеквартальный журнал экономики, 52 (2), п. п. 310 -334 ([HTML.^{[постоянная мертвая ссылка ]})
2. В мнемонический метки `для условий такие же, как у Amartya K. Sen, 1970, Коллективный выбор и социальное обеспечение, п. 41, со следующей корреспонденцией.
   Стрелка Сен
      1'         U
      п          п
      3           я
      5          D.
3. Амартья К. Сен, 1970, Коллективный выбор и социальное обеспечение, гл. 3.4.
4. Фраза «для каждого набора порядков в области конституции» включена здесь, хотя не заявление Эрроу о D, чтобы устранить двусмысленность, предполагающую абсолютное безразличие избирателя, отрицая предшествующий, будет диктатура. Об этом см. Amartya K. Sen, 1970, Коллективный выбор и социальное обеспечение, п. 42.
5. Абрам Бергсон, 1954. «О концепции социального обеспечения». Ежеквартальный журнал экономики, 68 (2), с. 242 [стр. 233] -252 - интерпретация, которую Эрроу (1963, стр. 106-7) отмечает как совпадающую с его собственным взглядом на конституцию.
6. Джулиан Х. Блау, 1957 год.«Существование функций социального обеспечения», Econometrica, 25 (2), стр. п. 302 -313.
7. Уильям Х. Райкер, 1958. «Парадокс голосования и правила Конгресса для голосования по поправкам». Обзор американской политической науки, 52, стр п. 349 -366.
8. Роберт А. Даль, 1956. Предисловие к теории демократии, стр. 39-41.

Рекомендации

• Кеннет Дж. Эрроу, 1951, 2 изд., 1963. Социальный выбор и индивидуальные ценности, Издательство Йельского университета. ISBN  0-300-01364-7
• _____, 1983. Собрание статей Кеннета Дж. Эрроу, т. 1, Социальный выбор и справедливость. Описание и глава-превью ссылки. Издательство Гарвардского университета. ISBN  0-674-13760-4
• _____, 1987. «Теорема Эрроу», Новый Палгрейв: экономический словарь, т. 1, стр. 124–26.
• _____, 2008. «Теорема Эрроу». Новый экономический словарь Пэлгрейва, 2-е издание Абстрактный.
• Амартья К. Сен, 1970 [1984]. Коллективный выбор и социальное обеспечение (описание), гл. 1–7.1. LCCN  83-27163. ISBN  0-444-85127-5.
• Майкл Морро, 2014. "Теорема Стрелка", Стэнфордская энциклопедия философии (Зимнее издание), Эдвард Н. Залта (ред.).

внешняя ссылка

• Оглавление со ссылками на главы.
• Ссылка на текст лекции Нобелевской премии с разделом 8 по теории и основам.
• Комментарии из Фрэнк Хан, Дональд Саари, и лауреаты Нобелевской премии Джеймс М. Бьюкенен и Дуглас Норт.
• Высшая теория экономической справедливости со структурой Arrow, контекстом и ссылками в разделах 1 и 4.
• Джеймс М. Бьюкенен (1954). «Социальный выбор, демократия и свободные рынки», Журнал политической экономии, 62(2), стр. 114-123.
• H.S. Houthakker (1952). [Рассмотрение], Экономический журнал, 62(246), стр. 355-58.
• И. М. Д. Литтл (1952). «Социальный выбор и индивидуальные ценности», Журнал политической экономии, 60(5), стр. 422-432.