Формула масс Смита – Минковского – Зигеля - Smith–Minkowski–Siegel mass formula

В математике Формула масс Смита – Минковского – Зигеля (или же Массовая формула Минковского – Зигеля) - формула суммы весов решеток (квадратичные формы ) в род, взвешенные обратными порядками их групп автоморфизмов. Формула массы часто приводится для целых квадратичных форм, хотя ее можно обобщить на квадратичные формы над любым полем алгебраических чисел.

В измерениях 0 и 1 формула массы тривиальна, в двух измерениях она по существу эквивалентна Дирихле формулы номера класса за мнимые квадратичные поля, а в трехмерном пространстве некоторые частичные результаты были даны Готтхольд Эйзенштейн. Формула массы в высших измерениях была впервые дана Х. Дж. С. Смит  (1867 ), хотя его результаты были забыты на долгие годы. Х. Минковский  (1885 ), а ошибка в статье Минковского была обнаружена и исправлена К. Л. Сигель  (1935 ).

Многие опубликованные версии формулы масс содержат ошибки; в частности, трудно определить 2-адические плотности, и иногда забывают, что тривиальные случаи размерностей 0 и 1 отличаются от случаев размерностей не менее 2. Конвей и Слоан (1988) дают пояснительное изложение и точное изложение формулы массы для целочисленных квадратичных форм, что является надежным, поскольку они проверяют ее на большом количестве явных случаев.

Недавние доказательства формулы массы см. В (Китаока 1999 ) и (Эскин, Рудник и Сарнак 1991 ).

Формула массы Смита – Минковского – Зигеля является, по сути, постоянным членом Формула Вейля – Зигеля.

Постановка формулы массы

Если ж является п-мерная положительно определенная целая квадратичная форма (или решетка), то массасвоего рода определяется как

${displaystyle m(f)=sum _{Lambda }{1 over |{operatorname {Aut} (Lambda )}|}}$

где сумма берется по всем интегрально неэквивалентным формам того же рода, что и ж, Aut (Λ) - группа автоморфизмов алгебры Λ. Форма формула массы данный Конвей и Слоан (1988) заявляет, что для п ≥ 2 масса определяется как

${displaystyle m(f)=2pi ^{-n(n+1)/4}prod _{j=1}^{n}Gamma (j/2)prod _{p{ ext{ prime}}}2m_{p}(f)}$

куда м_п(ж) это п-масса ж, данный

${displaystyle m_{p}(f)={p^{(rn(n-1)+s(n+1))/2} over N(p^{r})}}$

для достаточно большого р, куда п^s это высшая сила п деление определителя ж. Номер N(п^р) - количество п к п матрицыИкс с коэффициентами, которые являются целыми числами modп ^р такой, что

${displaystyle X^{ ext{tr}}AXequiv A {mod { }}p^{r}}$

куда А матрица Грама ж, или, другими словами, порядок группы автоморфизмов вида редуцированный modп ^р.

Некоторые авторы формулируют массовую формулу через п-адическая плотность

${displaystyle alpha _{p}(f)={N(p^{r}) over p^{rn(n-1)/2}}={p^{s(n+1)/2} over m_{p}(f)}}$

вместо п-масс. В п-масса инвариантна при изменении масштаба ж но п-плотность нет.

В (тривиальных) случаях размерности 0 или 1 массовая формула требует некоторых изменений. Фактор 2 перед ним представляет собой число Тамагавы специальной ортогональной группы, которое равно только 1 в размерностях 0 и 1. Также множитель 2 перед м_п(ж) представляет собой индекс специальной ортогональной группы в ортогональной группе, который равен только 1 из 0 измерений.

Оценка массы

Формула массы дает массу как бесконечное произведение по всем простым числам. Это можно переписать как конечное произведение следующим образом. Для всех простых чисел, кроме конечного (не делящих 2 det (ƒ)) п-масса м_п(ƒ) равно стандартная p-масса стандартное_п(ƒ), заданный

${displaystyle operatorname {std} _{p}(f)={1 over 2(1-p^{-2})(1-p^{-4})dots (1-p^{2-n})(1-{(-1)^{n/2}det(f) choose p}p^{-n/2})}quad }$ (за п = тусклый (ƒ) четное)

${displaystyle operatorname {std} _{p}(f)={1 over 2(1-p^{-2})(1-p^{-4})dots (1-p^{1-n})}}$ (за п = тусклый (ƒ) странный)

где символ Лежандра во второй строке интерпретируется как 0, если п делит 2 det (ƒ).

Если все п-массы имеют стандартное значение, тогда общая масса равнастандартная масса

${displaystyle operatorname {std} (f)=2pi ^{-n(n+1)/4}left(prod _{j=1}^{n}Gamma (j/2)ight)zeta (2)zeta (4)dots zeta (n-1)}$ (За п странный)

${displaystyle operatorname {std} (f)=2pi ^{-n(n+1)/4}left(prod _{j=1}^{n}Gamma (j/2)ight)zeta (2)zeta (4)dots zeta (n-2)zeta _{D}(n/2)}$ (За п четное)

куда

${displaystyle zeta _{D}(s)=prod _{p}{1 over 1-{{ig (}{frac {D}{p}}{ig )}}p^{-s}}}$

D = (−1)^п/2 det (ƒ)

Ценности Дзета-функция Римана для четных чисел s даны с точки зрения Числа Бернулли к

${displaystyle zeta (s)={(2pi )^{s} over 2 imes s!}|B_{s}|.}$

Итак, масса ƒ дается как конечное произведение рациональных чисел как

${displaystyle m(f)=operatorname {std} (f)prod _{p|2det(f)}{m_{p}(f) over operatorname {std} _{p}(f)}.}$

Оценка п-масса

Если форма ж имеет p-адическое разложение Жордана

${displaystyle f=sum qf_{q}}$

куда q проходит через силы п и ж_q имеет простой детерминант п и размер п(q), то п-масса задается

${displaystyle m_{p}(f)=prod _{q}M_{p}(f_{q}) imes prod _{q<q'}(q'/q)^{n(q)n(q')/2} imes 2^{n(I,I)-n(II)}}$

Здесь п(II) - это сумма размерностей всех жордановых компонент типа 2 и п = 2 и п(I, I) - общее количество пар соседних составляющих ж_q, ж_2q которые оба относятся к типу I.

Фактор M_п(ж_q) называется диагональный фактор и это сила п умноженный на порядок некоторой ортогональной группы над полем с п элементы. для нечетных п его значение определяется как

${displaystyle {1 over 2(1-p^{-2})(1-p^{-4})dots (1-p^{1-n})}}$

когда п странно, или

${displaystyle {1 over 2(1-p^{-2})(1-p^{-4})dots (1-p^{2-n})(1-p^{-n/2})}}$

когда п четно и (−1)^п/2d_q является квадратичным вычетом, или

${displaystyle {1 over 2(1-p^{-2})(1-p^{-4})dots (1-p^{2-n})(1+p^{-n/2})}}$

когда п четно и (−1)^п/2d_q является квадратичным невычетом.

За п = 2 диагональный фактор M_п(ж_q), как известно, сложно вычислить. (Обозначения вводят в заблуждение, поскольку они зависят не только от ж_q но и на ж_2q и ж_q/2.)

• Мы говорим что ж_q является странный если он представляет собой нечетное 2-адическое целое число, и четное иначе.
• В октановое число из ж_q является целым числом по модулю 8; если ж_q даже его октановое число равно 0, если определитель равен +1 или -1 по модулю 8, и равен 4, если определитель равен +3 или -3 по модулю 8, а если ж_q нечетно, его можно диагонализовать, и его октановое число тогда равно количеству диагональных элементов, равных 1 по модулю 4 минус число 3 по модулю 4.
• Мы говорим что ж_q является граница если хотя бы один из ж_2q и ж_q/2 это странно, и говорят, что это свободный иначе.
• Целое число т определяется так, чтобы размерность ж_q 2т если ж_q четно, и 2т + 1 или 2т + 2, если ж_q странно.

Тогда диагональный фактор M_п(ж_q) задается следующим образом.

${displaystyle {1 over 2(1-p^{-2})(1-p^{-4})dots (1-p^{-2t})}}$

когда форма связана или имеет октановое число +2 или -2 по модулю 8 или

${displaystyle {1 over 2(1-p^{-2})(1-p^{-4})dots (1-p^{2-2t})(1-p^{-t})}}$

когда форма свободна и имеет октановое число -1 или 0 или 1 по модулю 8 или

${displaystyle {1 over 2(1-p^{-2})(1-p^{-4})dots (1-p^{2-2t})(1+p^{-t})}}$

когда форма свободна и имеет октановое число -3, или 3, или 4 по модулю 8.

Оценка ζ_D(s)

Требуемые значения ряда Дирихле ζ_D(s) можно оценить следующим образом. Мы пишем χ вместо Dirichlet персонаж с χ (м), задаваемый 0, если м четный, и Символ Якоби ${displaystyle {left({frac {D}{m}}ight)}}$ если м странно. Мы пишем k для модуля этого символа и k₁ проводника и положим χ = χ₁ψ где χ₁ это мод главного персонажа k и ψ - примитивный символьный мод k₁. потом

${displaystyle zeta _{D}(s)=L(s,chi )=L(s,psi )prod _{p|k}left(1-{psi (p) over p^{s}}ight)}$

Функциональное уравнение для L-серии:

${displaystyle L(1-s,psi )={k_{1}^{s-1}Gamma (s) over (2pi )^{s}}(i^{-s}+psi (-1)i^{s})G(psi )L(s,psi )}$

куда грамм это Сумма Гаусса

${displaystyle G(psi )=sum _{r=1}^{k_{1}}psi (r)e^{2pi ir/k_{1}}.}$

Если s является положительным целым числом, то

${displaystyle L(1-s,psi )=-{k_{1}^{s-1} over s}sum _{r=1}^{k_{1}}psi (r)B_{s}(r/k_{1})}$

куда B_s(Икс) это Многочлен Бернулли.

Примеры

В случае даже унимодулярные решетки Λ размерности п > 0 делится на 8, массовая формула

${displaystyle sum _{Lambda }{1 over |operatorname {Aut} (Lambda )|}={|B_{n/2}| over n}prod _{1leq j<n/2}{|B_{2j}| over 4j}}$

куда B_k это Число Бернулли.

Измерение п = 0

Приведенная выше формула не подходит для п = 0, и в общем случае формулу массы необходимо модифицировать в тривиальных случаях, когда размерность не больше 1. Для п = 0 есть только одна решетка, нулевая решетка, с весом 1, поэтому общая масса равна 1.

Измерение п = 8

Формула массы дает общую массу как

${displaystyle {|B_{4}| over 8}{|B_{2}| over 4}{|B_{4}| over 8}{|B_{6}| over 12}={1/30 over 8};{1/6 over 4};{1/30 over 8};{1/42 over 12}={1 over 696729600}.}$

Существует ровно одна четная унимодулярная решетка размерности 8, т.е. Решетка E8, группа автоморфизмов которого является группой Вейля E₈ порядка 696729600, так что это подтверждает формулу массы в данном случае. Первоначально Смит дал неконструктивное доказательство существования четной унимодулярной решетки размерности 8, используя тот факт, что масса не равна нулю.

Измерение п = 16

Формула массы дает общую массу как

${displaystyle {|B_{8}| over 16}{|B_{2}| over 4}{|B_{4}| over 8}{|B_{6}| over 12}{|B_{8}| over 16}{|B_{10}| over 20}{|B_{12}| over 24}{|B_{14}| over 28}={691 over 277667181515243520000}.}$

Имеются две четные унимодулярные решетки размерности 16, одна с корневой системой E₈²и группа автоморфизмов порядка 2 × 696729600² = 970864271032320000, и один с корневой системой D₁₆ и группа автоморфизмов порядка 2¹⁵16! = 685597979049984000.

Итак, массовая формула

${displaystyle {1 over 970864271032320000}+{1 over 685597979049984000}={691 over 277667181515243520000}.}$

Измерение п = 24

Существует 24 четных унимодулярных решетки размерности 24, называемых Решетки Нимейера. Формула массы для них проверена в (Конвей и Слоан 1998, стр. 410–413).

Измерение п = 32

Масса в данном случае большая, более 40 миллионов. Это означает, что существует более 80 миллионов четных монодулярных решеток размерности 32, поскольку каждая имеет группу автоморфизмов порядка не менее 2, поэтому вклад в массу не превышает 1/2. Уточняя этот аргумент, Король (2003) показал, что таких решеток более миллиарда. В более высоких измерениях масса, а следовательно, и количество решеток очень быстро увеличивается.

Обобщения

Сигель дал более общую формулу, которая считает взвешенное количество представлений одной квадратичной формы формами некоторого рода; массовая формула Смита – Минковского – Зигеля является частным случаем, когда одна форма является нулевой.

Тамагава показал, что формула массы эквивалентна утверждению, что Число тамагава ортогональной группы равно 2, что равносильно утверждению, что число Тамагавы ее односвязного покрытия спиновой группы равно 1. Андре Вайль предположил в более общем смысле, что число Тамагавы любой односвязной полупростой группы равно 1, и эта гипотеза была доказана Коттвицем в 1988 г.

Король (2003) дал массовую формулу для унимодулярные решетки без корней (или с заданной корневой системой).

Смотрите также

• Личность Зигеля

Рекомендации

• Конвей, Дж. Х.; Слоан, Н. Дж. А. (1998), Сферические упаковки, решетки и группы, Берлин: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-98585-5
• Conway, J. H .; Слоан, Н. Дж. А. (1988), "Низкоразмерные решетки. IV. Формула массы", Труды Лондонского королевского общества. Серия A, Математические и физические науки, 419 (1988): 259–286, Bibcode:1988RSPSA.419..259C, CiteSeerX  10.1.1.24.2955, Дои:10.1098 / rspa.1988.0107, JSTOR  2398465
• Эскин, Алекс; Рудник, Зеев; Сарнак, Питер (1991), «Доказательство формулы веса Зигеля». Уведомления о международных математических исследованиях, 1991 (5): 65–69, Дои:10.1155 / S1073792891000090, МИСТЕР  1131433
• Кинг, Оливер (2003), "Формула массы для унимодулярных решеток без корней", Математика вычислений, 72 (242): 839–863, arXiv:math.NT / 0012231, Bibcode:2003MaCom..72..839K, Дои:10.1090 / S0025-5718-02-01455-2.
• Китаока, Ёсиюки (1999), Арифметика квадратичных форм, Кембриджские трактаты по математике, Кембридж: Cambridge Univ. Нажмите, ISBN  978-0-521-64996-4
• Минковский, Германн (1885), "Untersuchungen über quadratische Formen I. Bestimmung der Anzahl verschiedener Formen, welche ein gegebenes Genus enthält", Acta Mathematica, 7 (1): 201–258, Дои:10.1007 / BF02402203
• Сигель, Карл Людвиг (1935), "Uber Die Analytische Theorie Der Quadratischen Formen", Анналы математики, Вторая серия, 36 (3): 527–606, Дои:10.2307/1968644, JSTOR  1968644
• Смит, Х. Дж. Стивен (1867), «О порядках и родах квадратичных форм, содержащих более трех неопределенностей», Труды Лондонского королевского общества, 16: 197–208, Дои:10.1098 / rspl.1867.0036, JSTOR  112491