Уравнение Слуцкого - Slutsky equation

В Уравнение Слуцкого (или же Слуцкий идентичность) в экономика, названный в честь Евгений Слуцкий, связывает изменения в Маршаллианский (некомпенсированный) спрос к изменениям в Хиксианский (компенсированный) спрос, который известен как таковой, поскольку он компенсирует поддержание фиксированного уровня полезности. Уравнение Слуцкого состоит из двух частей: эффекта замещения и эффекта дохода. В целом эффект замещения отрицательный. Он разработал эту формулу, чтобы изучить реакцию потребителя на изменение цены. Когда цена увеличивается, бюджетный набор перемещается внутрь, что приводит к уменьшению объема спроса. Напротив, когда цена снижается, установленный бюджет перемещается наружу, что приводит к увеличению объема спроса. Уравнение показывает, что изменение спроса на товар, вызванное изменением цены, является результатом двух эффектов:

• а эффект замещения: товар становится относительно дешевле, поэтому потребитель покупает другие товары в качестве заменителей
• ан эффект дохода: покупательная способность потребителя увеличивается в результате снижения цены, поэтому теперь потребитель может позволить себе более качественные продукты или большее количество тех же продуктов, в зависимости от того, является ли сам продукт нормально хорошо или низшее хорошее.

Уравнение Слуцкого разлагает изменение спроса на товары я в ответ на изменение цены товара j:

${\displaystyle {\partial x_{i}(\mathbf {p} ,w) \over \partial p_{j}}={\partial h_{i}(\mathbf {p} ,u) \over \partial p_{j}}-{\partial x_{i}(\mathbf {p} ,w) \over \partial w}x_{j}(\mathbf {p} ,w),\,}$

куда ${\displaystyle h(\mathbf {p} ,u)}$ - требование Хикса и ${\displaystyle x(\mathbf {p} ,w)}$ это маршаллианский спрос на векторе уровней цен ${\displaystyle \mathbf {p} }$, уровень благосостояния (или, альтернативно, уровень дохода) ${\displaystyle w}$, и фиксированный уровень полезности ${\displaystyle u}$ дается путем максимизации полезности по первоначальной цене и дохода, формально заданного косвенная функция полезности ${\displaystyle v(\mathbf {p} ,w)}$. Правая часть уравнения равна изменению спроса на товары я фиксированная полезность ты минус количество добра j спрос, помноженный на изменение спроса на товары я когда богатство меняется.

Первый член в правой части представляет эффект замещения, а второй член представляет эффект дохода.^[1] Обратите внимание, что, поскольку полезность не наблюдаема, эффект замещения не наблюдается напрямую, но его можно рассчитать, ссылаясь на два других члена в уравнении Слуцкого, которые наблюдаются. Этот процесс иногда называют разложением Хикса изменения спроса.^[2]

Уравнение можно переписать в терминах эластичность:

${\displaystyle \epsilon _{p,ij}=\epsilon _{p,ij}^{h}-\epsilon _{w,i}b_{j}}$

куда ε_п это (без компенсации) эластичность цены, ε_п^час компенсированная эластичность цены, ε_{ш, я} то эластичность дохода добра я, и б_j доля бюджета хорошо j.

Вывод

Хотя есть несколько способов вывести уравнение Слуцкого, следующий метод, вероятно, самый простой. Начните с обозначения личности ${\displaystyle h_{i}(\mathbf {p} ,u)=x_{i}(\mathbf {p} ,e(\mathbf {p} ,u))}$ куда ${\displaystyle e(\mathbf {p} ,u)}$ это расходная функция, и ты это полезность, полученная путем максимизации полезности данной п и ш. Полностью дифференцирующий по п_j дает следующее:

${\displaystyle {\frac {\partial h_{i}(\mathbf {p} ,u)}{\partial p_{j}}}={\frac {\partial x_{i}(\mathbf {p} ,e(\mathbf {p} ,u))}{\partial p_{j}}}+{\frac {\partial x_{i}(\mathbf {p} ,e(\mathbf {p} ,u))}{\partial e(\mathbf {p} ,u)}}\cdot {\frac {\partial e(\mathbf {p} ,u)}{\partial p_{j}}}}$.

Воспользовавшись тем, что ${\displaystyle {\frac {\partial e(\mathbf {p} ,u)}{\partial p_{j}}}=h_{j}(\mathbf {p} ,u)}$ к Лемма Шепарда и что при оптимуме

${\displaystyle h_{j}(\mathbf {p} ,u)=h_{j}(\mathbf {p} ,v(\mathbf {p} ,w))=x_{j}(\mathbf {p} ,w),}$ куда ${\displaystyle v(\mathbf {p} ,w)}$ это косвенная функция полезности,

можно заменить и переписать приведенный выше вывод как уравнение Слуцкого.

Пример

Функция полезности Кобба-Дугласа (см. Производственная функция Кобба-Дугласа ) с двумя товарами и доходом ${\displaystyle w}$ генерирует маршаллианский спрос на товары 1 и 2 из ${\displaystyle x_{1}=.7w/p_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}=.3w/p_{2}.}$Переставьте уравнение Слуцкого, поместив производную Хикса в левую часть, дает эффект замещения:

${\displaystyle {\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}={\frac {\partial x_{1}}{\partial p_{1}}}+{\frac {\partial x_{1}}{\partial w_{1}}}x_{1}=-{\frac {.7w}{p_{1}^{2}}}+{\frac {.7}{p_{1}}}{\frac {.7w}{p_{1}}}=-{\frac {.21w}{p_{1}^{2}}}}$

Возвращение к исходному уравнению Слуцкого показывает, как в сумме эффекты замещения и дохода дают общий эффект роста цен на объем спроса:

${\displaystyle {\frac {\partial x_{1}}{\partial p_{1}}}={\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}-{\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}x_{1}=-{\frac {.21w}{p_{1}^{2}}}-{\frac {.49w}{p_{1}^{2}}}}$

Таким образом, из общего снижения ${\displaystyle .7w/p_{1}^{2}}$ в количестве, требуемом, когда ${\displaystyle p_{1}}$ повышается, 21/70 - от эффекта замещения и 49/70 - от эффекта дохода. Товар 1 - это товар, на который потребитель тратит большую часть своего дохода (${\displaystyle p_{1}q_{1}=.7w}$), поэтому эффект дохода так велик.

Можно проверить, что ответ от уравнения Слуцкого такой же, как от прямого дифференцирования функции спроса Хикса, которая здесь^[3]

${\displaystyle h_{1}(p_{1},p_{2},u)=.7p_{1}^{-.3}p_{2}^{.3}u,}$

куда ${\displaystyle u}$ это полезность. Производная

${\displaystyle {\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}=-.21p_{1}^{-1.3}p_{2}^{.3}u,}$

поэтому, поскольку косвенная функция полезности Кобба-Дугласа равна ${\displaystyle v=wp_{1}^{-.7}p_{2}^{-.3},}$ и ${\displaystyle u=v}$ когда потребитель использует указанные функции спроса, производная:

${\displaystyle {\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}=-.21p_{1}^{-1.3}p_{2}^{.3}(wp_{1}^{-.7}p_{2}^{-.3})=-.21wp_{1}^{-2}p_{2}^{0}=-{\frac {.21w}{p_{1}^{2}}},}$

что и есть ответ на уравнение Слуцкого.

Уравнение Слуцкого также можно применить для вычисления эффекта замещения перекрестных цен. Можно было подумать, что здесь было ноль, потому что когда ${\displaystyle p_{2}}$ возрастает маршаллианское количество потребляемого товара 1, ${\displaystyle x_{1}(p_{1},p_{2},w),}$ не затронут (${\displaystyle \partial x_{1}/\partial p_{2}=0}$), но это неправильно. Снова переформулируя уравнение Слуцкого, эффект замещения перекрестных цен имеет вид:

${\displaystyle {\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{2}}}={\frac {\partial x_{1}}{\partial p_{2}}}+{\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}x_{2}=0+{\frac {.7}{p_{1}}}{\frac {.3w}{p_{2}}}=-{\frac {.21w}{p_{1}p_{2}}}}$

Это говорит о том, что когда ${\displaystyle p_{2}}$ повышается, возникает эффект замещения ${\displaystyle -.21w/(p_{1}p_{2})}$ в сторону хорошего 1. В то же время рост ${\displaystyle p_{2}}$ оказывает отрицательное влияние на доход на спрос на товар 1, противоположный эффект того же размера, что и эффект замещения, поэтому чистый эффект равен нулю. Это особое свойство функции Кобба-Дугласа.

Изменение сразу нескольких цен: матрица Слуцкого

То же уравнение можно переписать в матричной форме, чтобы разрешить сразу несколько изменений цены:

${\displaystyle \mathbf {D_{p}x} (\mathbf {p} ,w)=\mathbf {D_{p}h} (\mathbf {p} ,u)-\mathbf {D_{w}x} (\mathbf {p} ,w)\mathbf {x} (\mathbf {p} ,w)^{\top },\,}$

куда D_п является производным оператором по цене и D_ш является производным оператором по богатству.

Матрица ${\displaystyle \mathbf {D_{p}h} (\mathbf {p} ,u)}$ известен как Слуцкий матрица, и при достаточных условиях гладкости функции полезности она является симметричной, отрицательно полуопределенной и Гессен расходной функции.

При наличии двух товаров уравнение Слуцкого в матричной форме имеет вид:^[4]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {\partial x_{1}}{\partial p_{1}}}&{\frac {\partial x_{1}}{\partial p_{2}}}\\{\frac {\partial x_{2}}{\partial p_{1}}}&{\frac {\partial x_{2}}{\partial p_{2}}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}&{\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{2}}}\\{\frac {\partial h_{2}}{\partial p_{1}}}&{\frac {\partial h_{2}}{\partial p_{2}}}\\\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}{\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}x_{1}&{\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}x_{1}\\{\frac {\partial x_{2}}{\partial w}}x_{2}&{\frac {\partial x_{2}}{\partial w}}x_{2}\\\end{bmatrix}}}$

Хотя, строго говоря, уравнение Слуцкого применимо только к бесконечно малым изменениям цен, для конечных изменений обычно используется линейное приближение. Если цены двух товаров изменяются на Delta p_1 и Delta p_2, влияние на спрос на эти два товара будет следующим:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Delta x_{1}\\\Delta x_{2}\end{bmatrix}}\approx {\begin{bmatrix}{\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}&{\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{2}}}\\{\frac {\partial h_{2}}{\partial p_{1}}}&{\frac {\partial h_{2}}{\partial p_{2}}}\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\Delta p_{1}\\\Delta p_{2}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}{\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}x_{1}&{\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}x_{1}\\{\frac {\partial x_{2}}{\partial w}}x_{2}&{\frac {\partial x_{2}}{\partial w}}x_{2}\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\Delta p_{1}\\\Delta p_{2}\end{bmatrix}}}$

Если перемножить матрицы, то влияние на товар 1, например, будет

${\displaystyle \Delta x_{1}\approx \left({\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}\Delta p_{1}+{\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{2}}}\Delta p_{2}\right)-\left({\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}\right)\left(x_{1}\Delta p_{1}+x_{2}\Delta p_{2}\right)}$

Первое слагаемое - эффект замещения. Второй член - это эффект дохода, состоящий из реакции потребителя на потерю дохода, умноженной на размер потери дохода от каждого повышения цены.

Товары Giffen

А Гиффен хорошо - это продукт, который пользуется большим спросом при повышении цены, что также является частным случаем низкокачественных товаров.^[5] В крайнем случае неполноценного дохода размер эффекта дохода превосходил размер эффекта замещения, что приводило к положительному общему изменению спроса в ответ на увеличение цены. Разложение Слуцким изменения спроса на чистый эффект замещения и эффект дохода объясняет, почему закон спроса не выполняется для товаров Гиффена.

Смотрите также

• Потребительский выбор
• Лемма Хотеллинга
• Функция спроса Хикса
• Маршаллианская функция спроса
• Производственная функция Кобба-Дугласа
• Giffen Товары

Рекомендации

1. Николсон, В. (2005). Микроэкономическая теория (10-е изд.). Мейсон, Огайо: Высшее образование Томсона.
2. Вариан, Х. (1992). Микроэкономический анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: У. В. Нортон.
3. Вариан, Х. (1992). Микроэкономический анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: У. В. Нортон., п. 121.
4. Вариан, Х. (1992). Микроэкономический анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: У. В. Нортон.С. 120-121.
5. Вариан, Хэл Р. «Глава 8: Уравнение Слуцкого». Сочинение. In Intermediate Microeconomics with Calculus, 1st ed., 137. New York, NY: W. W. Norton, 2014.