Лемма Шефардса - Shephards lemma

Лемма Шепарда это главный результат в микроэкономика имея приложения в теория фирмы И в выбор потребителя.^[1] В лемма заявляет, что если кривые безразличия расходов или функция стоимости находятся выпуклый, то точка минимизации стоимости данного товара ( ${ displaystyle i}$ ) с цена ${ displaystyle p_ {i}}$ уникален. Идея в том, что потребитель купит уникальное идеальное количество каждого предмета, чтобы минимизировать цену за получение определенного уровня полезность учитывая цену товара в рынок.

Лемма названа в честь Рональд Шепард кто дал доказательство используя формулу расстояния из его книги Теория затрат и производственных функций (Издательство Принстонского университета, 1953). Эквивалентный результат в контексте теории потребителей был впервые получен Лайонел В. Маккензи в 1957 г.^[2] В нем говорится, что частные производные функции расходов по ценам товаров равны Хиксовские функции спроса для соответствующих товаров. Подобные результаты уже были получены Джон Хикс (1939) и Пол Самуэльсон (1947).

Определение

В потребитель теории, лемма Шепарда утверждает, что требовать для особого блага ${ displaystyle i}$ для данного уровня полезности ${ displaystyle u}$ и учитывая цены ${ displaystyle mathbf {p}}$ , равна производной от расходная функция относительно цены соответствующего товара:

{ displaystyle h_ {i} ( mathbf {p}, u) = { frac { partial e ( mathbf {p}, u)} { partial p_ {i}}}}

куда ${ displaystyle h_ {я} ( mathbf {p}, u)}$ это Хиксовский спрос для блага ${ displaystyle i}$ , ${ Displaystyle е ( mathbf {p}, u)}$ это расходная функция, и обе функции выражаются в ценах (a вектор ${ displaystyle mathbf {p}}$ ) и полезность ${ displaystyle u}$ .

Точно так же в теория фирмы, лемма дает аналогичную формулировку для условный факторный спрос для каждого входного фактора: производная функции затрат ${ Displaystyle с ( mathbf {ш}, у)}$ по цене фактора:

{ displaystyle x_ {i} ( mathbf {w}, y) = { frac { partial c ( mathbf {w}, y)} { partial w_ {i}}}}

куда ${ Displaystyle х_ {я} ( mathbf {ш}, у)}$ это условный факторный спрос для ввода ${ displaystyle i}$ , ${ Displaystyle с ( mathbf {ш}, у)}$ - функция затрат, и обе функции выражаются в ценах факторов производства (a вектор ${ displaystyle mathbf {w}}$ ) и вывод ${ displaystyle y}$ .

Хотя в первоначальном доказательстве Шепарда использовалась формула расстояния, современные доказательства леммы Шепарда используют теорема о конверте.^[3]

Доказательство дифференцируемого случая

Доказательство приведено для случая с двумя хорошими условиями для простоты обозначений. Расходная функция ${ displaystyle e (p_ {1}, p_ {2}, u)}$ - функция цены задачи оптимизации с ограничениями, характеризуемая следующим лагранжианом:

{ displaystyle { mathcal {L}} = p_ {1} x_ {1} + p_ {2} x_ {2} + lambda (u-U (x_ {1}, x_ {2}))}

Посредством теорема о конверте производные функции цены ${ displaystyle e (p_ {1}, p_ {2}, u)}$ по параметру ${ displaystyle p_ {1}}$ находятся:

{ displaystyle { frac { partial e} { partial p_ {1}}} = { frac { partial { mathcal {L}}} { partial p_ {1}}} = x_ {1} ^ {час}}

куда ${ displaystyle x_ {1} ^ {h}}$ минимизатор (т.е. функция спроса Хикса на товар 1). Это завершает доказательство.

Заявление

Лемма Шепарда устанавливает связь между функциями затрат (или затрат) и спросом Хикса. Лемму можно переписать как Личность Роя, что дает связь между косвенная функция полезности и соответствующий Маршаллианская функция спроса.

Смотрите также

дальнейшее чтение

Бивис, Брайан; Доббс, Ян М. (1990). «Введение в теорию двойственности». Теория оптимизации и устойчивости для экономического анализа. Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. С. 117–133. ISBN 0-521-33605-8.

[Varian-1] Вариан, Хэл (1992). Микроэкономический анализ (Третье изд.). Нью-Йорк: Нортон. С. 74–75. ISBN 0-393-95735-7.

[2] Маккензи, Лайонел (1957). «Теория спроса без индекса полезности». Обзор экономических исследований. 24 (3): 185–189. JSTOR 2296067.

[3] Зильберберг, Юджин (1978). Структура экономики. Макгроу-Хилл. стр.199-200. ISBN 0-07-057453-7.

[1]

[2]

[3]