Медленно меняющаяся функция - Slowly varying function

В реальный анализ, филиал математика, а медленно меняющаяся функция это функция действительной переменной чье поведение в бесконечность в некотором смысле похоже на поведение функции, сходящейся на бесконечности. Аналогично регулярно меняющаяся функция является функцией действительной переменной, поведение которой при бесконечность похоже на поведение сила закона функция (как многочлен ) около бесконечности. Оба эти класса функций были введены Йован Карамата,^[1]^[2] и нашли несколько важных приложений, например, в теория вероятности.

Основные определения

Определение 1. Измеримая функция $L : (0,+\infty) \to (0,+\infty)$ называется медленно меняющийся (на бесконечности), если для всех $а > 0$ ,

{ displaystyle lim _ {x to infty} { frac {L (ax)} {L (x)}} = 1.}

Определение 2. Функция $L : (0,+\infty) \to (0,+\infty)$ для которого предел

{ displaystyle g (a) = lim _ {x to infty} { frac {L (ax)} {L (x)}}}

конечно, но ненулевое для любого $а > 0$ , называется регулярно меняющаяся функция.

Эти определения обусловлены Йован Карамата.^[1]^[2]

Примечание. В правильно меняющемся случае сумма двух медленно меняющихся функций снова является медленно меняющейся функцией.

Основные свойства

Регулярно меняющиеся функции обладают некоторыми важными свойствами:^[1] неполный их список приведен ниже. Более подробный анализ свойств, характеризующих регулярную изменчивость, представлен в монографии Бингхэм, Голди и Тюгелс (1987).

Равномерность предельного поведения

Теорема 1.. Предел в определения 1 и 2 является униформа если $а$ ограничивается компактным интервал.

Характеризационная теорема Караматы

Теорема 2.. Каждая регулярно меняющаяся функция $ж : (0,+\infty) \to (0,+\infty)$ имеет форму

{ Displaystyle е (х) = х ^ { бета} L (х)}

куда

$β$ является действительным числом, т.е. $β \in р$
$L$ - медленно меняющаяся функция.

Примечание. Отсюда следует, что функция $грамм (а)$ в определение 2 обязательно должен иметь следующий вид

{ Displaystyle г (а) = а ^ { rho}}

где действительное число $ρ$ называется индекс регулярной вариации.

Теорема Караматы о представлении

Теорема 3.. Функция $L$ медленно меняется тогда и только тогда, когда существует $B > 0$ такой, что для всех $Икс \geq B$ функцию можно записать в виде

{ Displaystyle L (x) = ехр влево ( eta (x) + int _ {B} ^ {x} { frac { varepsilon (t)} {t}} , dt right)}

куда

$η (Икс)$ это ограниченный измеримая функция действительной переменной, сходящейся к конечному числу как $Икс$ уходит в бесконечность
$ε (Икс)$ это ограниченный измеримая функция действительной переменной, сходящейся к нулю при $Икс$ уходит в бесконечность.

Примеры

Если $L$ имеет предел

{ Displaystyle lim _ {х к infty} L (х) = б в (0, infty),}

тогда

L

- медленно меняющаяся функция.

Для любого $β \in р$ , функция $L (Икс) = журнал β Икс$ медленно меняется.
Функция $L (Икс) = Икс$ не меняется медленно, и $L (Икс) = Икс β$ для любого реального $β \neq 0$ . Однако эти функции регулярно меняются.

Смотрите также

Аналитическая теория чисел
Тауберова теорема Харди – Литтлвуда и его лечение Караматой

Примечания

^ ^а ^б ^c Видеть (Галамбос и Сенета 1973 )
^ ^а ^б Видеть (Bingham, Goldie & Teugels, 1987 г. ).