Правило Симпсонов - Simpsons rule

Для правила голосования Симпсона см. Минимакс Кондорсе.

Правило Симпсона может быть получено путем приближения подынтегральной функции ж (Икс) (в синем) квадратичным интерполянтом п(Икс) (в красном).

Анимация, показывающая, как правило Симпсона аппроксимирует функцию параболой и уменьшает ошибку с уменьшением размера шага

Анимация, показывающая, как приближение правила Симпсона улучшается с увеличением количества полос.

В численное интегрирование, Правила Симпсона несколько приближения за определенные интегралы, названный в честь Томас Симпсон (1710–1761).

Самое основное из этих правил, называемое Правило Симпсона 1/3, или просто Правило Симпсона, читает

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\tfrac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right].}$

На немецком и некоторых других языках он назван в честь Иоганн Кеплер кто получил его в 1615 году, увидев, что он использовался для винных бочек (правило бочек, Кеплерше Фассрегель). Примерное равенство в правиле становится точным, если ж является многочленом до квадратичной степени.

Если правило 1/3 применяется к п равные части диапазона интегрирования [а, б], получаем составное правило Симпсона. Точкам внутри диапазона интегрирования даются попеременные веса 4/3 и 2/3.

Правило Симпсона 3/8, также называемый Второе правило Симпсона запрашивает еще одну оценку функции внутри диапазона интегрирования и является точным, если ж - многочлен до кубической степени.

Правила Симпсона 1/3 и 3/8 - это два особых случая закрытых Формулы Ньютона – Котеса.

В военно-морской архитектуре и оценке остойчивости кораблей также существует Третье правило Симпона, который не имеет особого значения для общего численного анализа, см. Правила Симпсона (остойчивость корабля).

Правило Симпсона 1/3

Производные

Квадратичная интерполяция

Один вывод заменяет подынтегральное выражение ${\displaystyle f(x)}$ посредством квадратичный многочлен (т.е. парабола) ${\displaystyle P(x)}$ который принимает те же значения, что и ${\displaystyle f(x)}$ в конечных точках ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ и середина ${\displaystyle m=(a+b)/2}$. Можно использовать Полиномиальная интерполяция Лагранжа чтобы найти выражение для этого многочлена,

${\displaystyle P(x)=f(a){\tfrac {(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}}+f(m){\tfrac {(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}}+f(b){\tfrac {(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)}}.}$

С помощью интеграция путем замены можно показать, что^[1]

${\displaystyle \int _{a}^{b}P(x)\,dx={\tfrac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right].}$

Представляем размер шага ${\displaystyle h=(b-a)/2}$ это также обычно записывается как

${\displaystyle \int _{a}^{b}P(x)\,dx={\tfrac {h}{3}}\left[f(a)+4f\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right].}$

Из-за ${\displaystyle 1/3}$ фактор Правило Симпсона также называется правилом Симпсона 1/3 (см. обобщение ниже).

Усреднение средней точки и трапецеидальных правил

Другой вывод строит правило Симпсона из двух более простых приближений: правило средней точки

${\displaystyle M=(b-a)f\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)}$

и трапеция

${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}(b-a)(f(a)+f(b)).}$

Погрешности этих приближений составляют

${\displaystyle {\tfrac {1}{24}}(b-a)^{3}f''(a)+O((b-a)^{4})\quad {\text{and}}\quad -{\tfrac {1}{12}}(b-a)^{3}f''(a)+O((b-a)^{4}),}$

соответственно, где ${\displaystyle O((b-a)^{4})}$ обозначает член, асимптотически пропорциональный ${\displaystyle (b-a)^{4}}$. Два ${\displaystyle O((b-a)^{4})}$ сроки не равны; видеть Обозначение Big O Больше подробностей. Из приведенных выше формул для ошибок средней точки и правила трапеции следует, что главный член ошибки обращается в нуль, если мы берем средневзвешенное

${\displaystyle {\tfrac {2M+T}{3}}.}$

Это средневзвешенное значение в точности соответствует правилу Симпсона.

Используя другое приближение (например, правило трапеций с вдвое большим количеством точек), можно взять подходящее средневзвешенное значение и исключить другой член ошибки. Это Метод Ромберга.

Неопределенные коэффициенты

Третий вывод начинается с анзац

${\displaystyle {\tfrac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \alpha f(a)+\beta f\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)+\gamma f(b).}$

Коэффициенты α, β и γ можно зафиксировать, потребовав, чтобы это приближение было точным для всех квадратичных многочленов. Это дает правило Симпсона.

Ошибка

Ошибка аппроксимации интеграла правилом Симпсона для ${\displaystyle n=2}$ является

${\displaystyle -{\tfrac {1}{90}}\left({\tfrac {b-a}{2}}\right)^{5}f^{(4)}(\xi ),}$

куда ${\displaystyle \xi }$ (в Греческая буква кси ) - некоторое число между ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$.^[2]

Ошибка асимптотически пропорциональна ${\displaystyle (b-a)^{5}}$. Однако приведенные выше выводы предполагают ошибку, пропорциональную ${\displaystyle (b-a)^{4}}$. Правило Симпсона получает дополнительный порядок, потому что точки, в которых вычисляется подынтегральное выражение, симметрично распределены в интервале ${\displaystyle [a,\ b]}$.

Поскольку член ошибки пропорционален четвертой производной от ${\displaystyle f}$ в ${\displaystyle \xi }$, это показывает, что правило Симпсона дает точные результаты для любого полинома ${\displaystyle f}$ степени три или меньше, поскольку четвертая производная такого многочлена равна нулю во всех точках.

Если вторая производная ${\displaystyle f''}$ существует и является выпуклый в интервале ${\displaystyle (a,\ b)}$:

${\displaystyle (b-a)f\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)+{\tfrac {1}{3}}\left({\tfrac {b-a}{2}}\right)^{3}f''\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq {\tfrac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right].}$

Составное правило Симпсона

Если интервал интегрирования ${\displaystyle [a,b]}$ в некотором смысле "мал", то правило Симпсона с ${\displaystyle n=2}$ подынтервалы обеспечат адекватное приближение к точному интегралу. Под малым мы на самом деле подразумеваем, что интегрируемая функция относительно гладкая на интервале ${\displaystyle [a,b]}$. Для такой функции гладкий квадратичный интерполянт, подобный тому, который используется в правиле Симпсона, даст хорошие результаты.

Однако часто бывает так, что функция, которую мы пытаемся интегрировать, не является гладкой по интервалу. Обычно это означает, что либо функция сильно колеблется, либо в определенных точках отсутствуют производные. В этих случаях правило Симпсона может дать очень плохие результаты. Один из распространенных способов решения этой проблемы - разбить интервал ${\displaystyle [a,b]}$ в ${\displaystyle n>2}$ небольшие подынтервалы. Затем к каждому подинтервалу применяется правило Симпсона, и результаты суммируются, чтобы получить приближение для интеграла по всему интервалу. Такой подход называется составное правило Симпсона.

Предположим, что интервал ${\displaystyle [a,b]}$ разделен на ${\displaystyle n}$ подинтервалы, с ${\displaystyle n}$ четное число. Тогда составное правило Симпсона имеет вид

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx {\frac {h}{3}}\sum _{j=1}^{n/2}{\bigg [}f(x_{2j-2})+4f(x_{2j-1})+f(x_{2j}){\bigg ]}\\{}&={\frac {h}{3}}{\bigg [}f(x_{0})+2\sum _{j=1}^{n/2-1}f(x_{2j})+4\sum _{j=1}^{n/2}f(x_{2j-1})+f(x_{n}){\bigg ]},\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle x_{j}=a+jh}$ за ${\displaystyle j=0,1,...,n-1,n}$ с ${\displaystyle h=(b-a)/n}$; особенно, ${\displaystyle x_{0}=a}$ и ${\displaystyle x_{n}=b}$. Это составное правило с ${\displaystyle n=2}$ соответствует обычному правилу Симпсона из предыдущего раздела.

Ошибка, допущенная составным правилом Симпсона:

${\displaystyle -{\frac {h^{4}}{180}}(b-a)f^{(4)}(\xi ),}$

куда ${\displaystyle \xi }$ какое-то число между ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle h=(b-a)/n}$ это «длина шага».^[3] Погрешность ограничена (по модулю) величиной

${\displaystyle {\tfrac {h^{4}}{180}}(b-a)\max _{\xi \in [a,b]}|f^{(4)}(\xi )|.}$

Эта формулировка разбивает интервал ${\displaystyle [a,b]}$ в подынтервалы одинаковой длины. На практике часто бывает выгодно использовать подынтервалы разной длины и концентрировать усилия на тех местах, где подынтегральное выражение ведет себя хуже. Это приводит к адаптивный метод Симпсона.

Правило Симпсона 3/8

Правило Симпсона 3/8, также называемое вторым правилом Симпона, - это еще один метод численного интегрирования, предложенный Томасом Симпсоном. Он основан на кубической интерполяции, а не на квадратичной интерполяции. Правило Симпсона 3/8 выглядит следующим образом:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\tfrac {3h}{8}}\left[f(a)+3f\left({\tfrac {2a+b}{3}}\right)+3f\left({\tfrac {a+2b}{3}}\right)+f(b)\right]={\tfrac {(b-a)}{8}}\left[f(a)+3f\left({\tfrac {2a+b}{3}}\right)+3f\left({\tfrac {a+2b}{3}}\right)+f(b)\right],}$

куда б − а = 3час. Ошибка этого метода:

${\displaystyle -{\tfrac {(b-a)^{5}}{6480}}f^{(4)}(\xi ),}$

куда ${\displaystyle \xi }$ какое-то число между ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$. Таким образом, правило 3/8 примерно в два раза точнее стандартного метода, но использует еще одно значение функции. Составное правило 3/8 также существует, как и выше.^[4]

Дальнейшим обобщением этой концепции для интерполяции с полиномами произвольной степени являются Формулы Ньютона – Котеса.

Составное правило Симпсона 3/8

Деление интервала ${\displaystyle [a,b]}$ в ${\displaystyle n}$ подынтервалы длины ${\displaystyle h=(b-a)/n}$ и вводим узлы ${\displaystyle x_{i}=a+ih}$ у нас есть

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx {\tfrac {3h}{8}}\left[f(x_{0})+3f(x_{1})+3f(x_{2})+2f(x_{3})+3f(x_{4})+3f(x_{5})+2f(x_{6})+\cdots +3f(x_{n-2})+3f(x_{n-1})+f(x_{n})\right].\\&={\frac {3h}{8}}\left[f(x_{0})+3\sum _{i\neq 3k}^{n-1}f(x_{i})+2\sum _{j=1}^{n/3-1}f(x_{3j})+f(x_{n})\right]\qquad {\text{For: }}k\in \mathbb {N} _{0}\end{aligned}}}$

В то время как остаток правила отображается как:

${\displaystyle -{\frac {h^{4}}{80}}(b-a)f^{(4)}(\xi ),}$^[4]

Мы можем использовать это, только если ${\displaystyle n}$ делится на три.

Альтернативное расширенное правило Симпсона

Это еще одна формулировка составного правила Симпсона: вместо применения правила Симпсона к непересекающимся сегментам интеграла, подлежащего аппроксимации, правило Симпсона применяется к перекрывающимся сегментам, что дает:^[5]

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\tfrac {h}{48}}{\bigg [}17f(x_{0})+59f(x_{1})+43f(x_{2})+49f(x_{3})+48\sum _{i=4}^{n-4}f(x_{i})+49f(x_{n-3})+43f(x_{n-2})+59f(x_{n-1})+17f(x_{n}){\bigg ]}.}$

Приведенная выше формула получается путем объединения исходного составного правила Симпсона с правилом, состоящим из использования правила Симпсона 3/8 на крайних подынтервалах и стандартного правила трех точек на остальных подынтервалах. Затем результат получается путем усреднения двух формул.

Правила Симпсона в случае узких пиков

В задаче оценки полной площади узких пикообразных функций правила Симпсона гораздо менее эффективны, чем трапеция. А именно, составное правило Симпсона 1/3 требует в 1,8 раза больше точек для достижения той же точности.^[6] как правило трапеции. Составное правило Симпсона 3/8 еще менее точно. Интеграл по правилу 1/3 Симпсона может быть представлен как сумма 2/3 интеграла по правилу трапеций с шагом h и 1/3 интеграла по правилу прямоугольников с шагом 2h. Неудивительно, что погрешность суммы соответствует менее точному члену. Усреднение составных сумм по правилу Симпсона 1/3 с правильно сдвинутыми фреймами дает следующие правила:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\tfrac {h}{24}}{\bigg [}-f(x_{-1})+12f(x_{0})+25f(x_{1})+24\sum _{i=2}^{n-2}f(x_{i})+25f(x_{n-1})+12f(x_{n})-f(x_{n+1}){\bigg ]}}$

где используются две точки вне интегрированного региона и

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\tfrac {h}{24}}{\bigg [}9f(x_{0})+28f(x_{1})+23f(x_{2})+24\sum _{i=3}^{n-3}f(x_{i})+23f(x_{n-2})+28f(x_{n-1})+9f(x_{n}){\bigg ]}}$

Эти правила очень похожи на альтернативное расширенное правило Симпсона Пресса. Коэффициенты внутри большей части интегрируемой области равны единице, различия только по краям. Эти три правила могут быть связаны с Формула Эйлера-МакЛорина с первым производным членом и назван Правила интегрирования Эйлера-МакЛорина.^[6] Они отличаются только тем, как вычисляется первая производная в конце области.

Составное правило Симпсона для нерегулярных данных

Для некоторых приложений интервал интеграции ${\displaystyle I=[a,b]}$ необходимо разделить на неравные интервалы - возможно, из-за неравномерной выборки данных или отсутствия или повреждения точек данных. Предположим, мы разделим интервал ${\displaystyle I}$ в четное число ${\displaystyle N}$ подынтервалов ширины ${\displaystyle h_{k}}$. Тогда составное правило Симпсона имеет вид^[7][8]

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=\sum _{i=0}^{N/2-1}\left(\alpha _{i}f_{2i+2}+\beta _{i}f_{2i+1}+\eta _{i}f_{2i}\right),}$

куда ${\displaystyle f_{k}=f\left(a+\sum _{i=0}^{k-1}h_{i}\right)}$ - значения функции на ${\displaystyle k}$-я точка отбора проб на интервале ${\displaystyle I}$, а коэффициенты ${\displaystyle \alpha _{i},\,\beta _{i},}$ и ${\displaystyle \eta _{i}}$ даны

${\displaystyle \alpha _{i}={\frac {2h_{2i+1}^{3}-h_{2i}^{3}+3h_{2i}h_{2i+1}^{2}}{6h_{2i+1}(h_{2i+1}+h_{2i})}},}$

${\displaystyle \beta _{i}={\frac {h_{2i+1}^{3}+h_{2i}^{3}+3h_{2i+1}h_{2i}(h_{2i+1}+h_{2i})}{6h_{2i+1}h_{2i}}},{\text{and}}}$

${\displaystyle \eta _{i}={\frac {2h_{2i}^{3}-h_{2i+1}^{3}+3h_{2i+1}h_{2i}^{2}}{6h_{2i}(h_{2i+1}+h_{2i})}}.}$

В случае нечетное число ${\displaystyle N}$ подынтервалов, приведенная выше формула используется до предпоследнего интервала, а последний интервал обрабатывается отдельно путем добавления к результату следующего:

${\displaystyle \alpha f_{N}+\beta f_{N-1}-\eta f_{N-2},}$

куда

${\displaystyle \alpha ={\frac {2h_{N-1}^{2}+3h_{N-1}h_{N-2}}{6(h_{N-2}+h_{N-1})}},}$

${\displaystyle \beta ={\frac {h_{N-1}^{2}+3h_{N-1}h_{N-2}}{6h_{N-2}}},\,{\text{and}}}$

${\displaystyle \eta ={\frac {h_{N-1}^{3}}{6h_{N-2}(h_{N-2}+h_{N-1})}}.}$

Пример реализации в Python

импорт тупой в качестве нпdef simpson_nonuniform(Икс, ж) -> плавать: """ Правило Симпсона для нерегулярных данных. Параметры ---------- x: список или np.array чисел с плавающей запятой Точки выборки для значений функции f: список или np.array of float Значения функций в точках отбора проб Возврат ------- float: приближение для интеграла """ N = len(Икс) - 1 час = нп.разница(Икс) результат = 0.0 за я в классифицировать(1, N, 2): чч = час[я] + час[я - 1] результат += ж[я] * ( час[я]**3 + час[я - 1]**3 + 3. * час[я] * час[я - 1] * чч )\ / ( 6 * час[я] * час[я - 1] ) результат += ж[я - 1] * ( 2. * час[я - 1]**3 - час[я]**3 + 3. * час[я] * час[я - 1]**2)\ / ( 6 * час[я - 1] * чч) результат += ж[я + 1] * ( 2. * час[я]**3 - час[я - 1]**3 + 3. * час[я - 1] * час[я]**2)\ / ( 6 * час[я] * чч ) если (N + 1) % 2 == 0: результат += ж[N] * ( 2 * час[N - 1]**2 + 3. * час[N - 2] * час[N - 1])\ / ( 6 * ( час[N - 2] + час[N - 1] ) ) результат += ж[N - 1] * ( час[N - 1]**2 + 3*час[N - 1]* час[N - 2] )\ / ( 6 * час[N - 2] ) результат -= ж[N - 2] * час[N - 1]**3\ / ( 6 * час[N - 2] * ( час[N - 2] + час[N - 1] ) ) возвращаться результат

Смотрите также

• Квадратура Гаусса

Примечания

1. Аткинсон, стр. 256; Сули и Майерс, §7.2
2. Аткинсон, уравнение (5.1.15); Сули и Майерс, теорема 7.2.
3. Аткинсон, стр. 257 + 258; Сули и Майерс, §7.5
4. Мэтьюз (2004)
5. Press (1989), стр. 122
6. Каламбет, Юрий; Козьмин Юрий; Самохин, Андрей (2018). «Сравнение правил интегрирования в случае очень узких хроматографических пиков». Хемометрия и интеллектуальные лабораторные системы. 179: 22–30. Дои:10.1016 / j.chemolab.2018.06.001. ISSN  0169-7439.
7. Кюлянпяя, Илкка (2019). Курс вычислительной физики. Университет Тампере.
8. Картрайт, Кеннет В. (2016). «Интеграция правила Симпсона с MS Excel и данными с нерегулярным интервалом» (PDF). Журнал математических наук и математического образования. 11 (2): 34–42.

Рекомендации

• Аткинсон, Кендалл Э. (1989). Введение в численный анализ (2-е изд.). Джон Вили и сыновья. ISBN  0-471-50023-2.
• Бэрден, Ричард Л .; Faires, Дж. Дуглас (2000). Числовой анализ (7-е изд.). Брукс / Коул. ISBN  0-534-38216-9.
• Мэтьюз, Джон Х. (2004). «Правило Симпсона 3/8 для численного интегрирования». Численный анализ - Проект численных методов. Калифорнийский государственный университет, Фуллертон. Архивировано из оригинал 4 декабря 2008 г.. Получено 11 ноября 2008.
• Press, William H .; Флэннери, Брайан П .; Веттерлинг, Уильям Т .; Теукольский, Саул А. (1989). Числовые рецепты на Паскале: искусство научных вычислений. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-37516-9.
• Сули, Эндре; Майерс, Дэвид (2003). Введение в численный анализ. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-00794-1.
• Кау, Аутар; Калу, Эгву; Нгуен, Дык (2008). «Численные методы с приложениями».
• Вайсштейн, Эрик В. (2010). «Формулы Ньютона-Котеса». MathWorld - веб-ресурс по вольфрамтиту. MathWorld. Получено 2 августа 2010.

внешняя ссылка

• «Формула Симпсона», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. "Правило Симпсона". MathWorld.
• Применение правила Симпсона - земляные работы (Примечание: формула, описанная на этой странице, верна, но в расчетах есть ошибки, которые должны дать результат 569 м3, а не 623 м3, как указано)
• Правило интеграции 1/3 Симпсона - Notes, PPT, Mathcad, Matlab, Mathematica, Maple в Численные методы для студентов STEM
• Подробное описание компьютерной реализации дано Дораи Ситарам в Учить себя Схема в Fixnum Days, Приложение C

Эта статья включает материал из правила Кодекса Симпсона о PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.