Формула Саймонса - Simons formula

В математической области дифференциальная геометрия, то Формула Саймонса (также известный как Личность Саймонса, а в некоторых вариантах как Неравенство Саймонса) является фундаментальным уравнением при изучении минимальные подмногообразия. Это было обнаружено Джеймс Саймонс в 1968 г.^[1] Его можно рассматривать как формулу для Лапласиан из вторая основная форма из Риманово подмногообразие. Его часто цитируют и используют в менее точной форме формулы или неравенства для лапласиана длины второй фундаментальной формы.

В случае гиперповерхности M из Евклидово пространство, формула утверждает, что

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\Delta h=\operatorname {Hess} H+Hh^{2}-|h|^{2}h,}$

где относительно локального выбора векторного поля единичной нормали час это вторая основная форма, ЧАС это средняя кривизна, и час² симметричный 2-тензор на M данный час²
_ij = грамм^pqчас_ipчас_qj.^[2]Отсюда следует, что

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\Delta |h|^{2}=|\nabla h|^{2}-|h|^{4}+\langle h,\operatorname {Hess} H\rangle +H\operatorname {tr} (A^{3})}$

куда А это оператор формы.^[3] В этом случае вывод особенно прост:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta h_{ij}&=\nabla ^{p}\nabla _{p}h_{ij}\\&=\nabla ^{p}\nabla _{i}h_{jp}\\&=\nabla _{i}\nabla ^{p}h_{jp}-{{R^{p}}_{ij}}^{q}h_{qp}-{{R^{p}}_{ip}}^{q}h_{jq}\\&=\nabla _{i}\nabla _{j}H-(h^{pq}h_{ij}-h_{j}^{p}h_{i}^{q})h_{qp}-(h^{pq}h_{ip}-Hh_{i}^{q})h_{jq}\\&=\nabla _{i}\nabla _{j}H-|h|^{2}h+Hh^{2};\end{aligned}}}$

единственные задействованные инструменты - это Уравнение Кодацци (равенства 2 и 4), Уравнение Гаусса (равенство №4) и коммутационное тождество для ковариантного дифференцирования (равенство №3). Более общий случай гиперповерхности в римановом многообразии требует дополнительных членов, связанных с Тензор кривизны Римана.^[4] В еще более общем случае произвольной коразмерности формула включает сложный многочлен во второй фундаментальной форме.^[5]

Рекомендации

Сноски

1. Саймонс 1968, Раздел 4.2.
2. Huisken 1984, Лемма 2.1 (i).
3. Саймон 1983, Лемма B.8.
4. Хёйскен 1986.
5. Саймонс 1968, Раздел 4.2; Черн, ду Карму и Кобаяши 1970.

Книги

• Тобиас Холк Колдинг и Уильям П. Миникоцци, II. Курс по минимальным поверхностям. Аспирантура по математике, 121. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2011. xii + 313 с. ISBN  978-0-8218-5323-8
• Энрико Джусти. Минимальные поверхности и функции ограниченной вариации. Монографии по математике, 80. Birkhäuser Verlag, Basel, 1984. xii + 240 с. ISBN  0-8176-3153-4
• Леон Саймон. Лекции по геометрической теории меры. Труды Центра математического анализа Австралийского национального университета, 3. Австралийский национальный университет, Центр математического анализа, Канберра, 1983. vii + 272 с. ISBN  0-86784-429-9

Статьи

• С.С. Черн, М. ду Карму и С. Кобаяши. Минимальные подмногообразия сферы со второй фундаментальной формой постоянной длины. Функциональный анализ и связанные с ним области (1970), 59–75. Материалы конференции в честь профессора Маршалла Стоуна, состоявшейся в Чикагском университете, май 1968 года. Спрингер, Нью-Йорк. Отредактированный Феликсом Э. Браудером. Дои:10.1007/978-3-642-48272-4_2
• Герхард Хёйскен. Растекание по средней кривизне выпуклых поверхностей на сферы. J. Differential Geom. 20 (1984), нет. 1, 237–266. Дои:10.4310 / jdg / 1214438998
• Герхард Хёйскен. Сжимающие выпуклые гиперповерхности в римановых многообразиях их средней кривизной. Изобретать. Математика. 84 (1986), нет. 3, 463–480. Дои:10.1007 / BF01388742
• Джеймс Саймонс. Минимальные многообразия в римановых многообразиях. Анна. математики. (2) 88 (1968), 62–105. Дои:10.2307/1970556