Теория множеств реальной линии - Set theory of the real line

Теория множеств реальной линии это область математика озабочены применением теория множеств аспектам действительные числа.

Например, известно, что все счетные наборы действительных чисел ноль, т.е. иметь Мера Лебега 0; поэтому можно задать вопрос о наименьшем возможном размере множества, которое не является нулем по Лебегу. Этот инвариант называется равномерностью идеальный нулевых множеств, обозначенных ${displaystyle non ({mathcal {N}})}$ . Таких много инварианты связанные с этим и другими идеалами, например идеал скудный наборы и многое другое, не имеющее идеальной характеристики. Если гипотеза континуума (CH), то все такие инварианты равны ${displaystyle aleph _ {1}}$ , наименее бесчисленное кардинал. Например, мы знаем ${displaystyle non ({mathcal {N}})}$ неисчислимо, но, будучи размером с некоторый набор реалов под CH, он может быть не более ${displaystyle aleph _ {1}}$ .

С другой стороны, если предположить Аксиома Мартина (MA) все общие инварианты «большие», что равно ${displaystyle {mathfrak {c}}}$ , то мощность континуума. Аксиома Мартина согласуется с ${displaystyle {mathfrak {c}}> алеф _ {1}}$ . Фактически, следует рассматривать Аксиому Мартина как принуждение аксиома, отрицающая необходимость выполнения определенных форсингов определенного класса (удовлетворяющих ccc, поскольку согласованность МА с большим континуумом доказывается выполнением всех таких форсингов (до определенного размера, который оказывается достаточным). Каждый инвариант может быть увеличен с помощью некоторого принуждения ccc, таким образом, каждый из них будет большим с данной MA.

Если ограничиться определенными форсировками, некоторые инварианты станут большими, а другие останутся маленькими. Анализ этих эффектов - основная работа в этой области, направленная на определение того, какие неравенства между инвариантами доказуемы, а какие несовместимы с ZFC. Неравенство идеалов мера (нулевые наборы) и категория (скудные наборы) фиксируются в Диаграмма Цишона. Семнадцать моделей (вынуждающих конструкций) были созданы в течение 1980-х годов, начиная с работ Арнольда Миллера, чтобы продемонстрировать, что никакие другие неравенства не являются доказуемыми. Они подробно анализируются в книге Томека Бартошинского и Хаима Джуда, двух видных деятелей в этой области.

Один любопытный результат заключается в том, что если вы можете покрыть реальную линию ${displaystyle kappa}$ скудные наборы (где ${displaystyle aleph _ {1} leq kappa leq {mathfrak {c}}}$ ) тогда ${displaystyle non ({mathcal {N}}) geq kappa}$ ; и наоборот, если вы можете покрыть реальную линию ${displaystyle kappa}$ нулевые наборы, то наименьший не скудный набор имеет размер не менее ${displaystyle kappa}$ ; оба эти результата следуют из существования разложения ${displaystyle mathbb {R}}$ как объединение скудного множества и нулевого множества.

Одной из последних больших нерешенных проблем области была согласованность

{displaystyle {mathfrak {d}} <{mathfrak {a}},}

доказано в 1998 году Сахарон Шелах.

Теория множеств реальной линии - Set theory of the real line

Смотрите также

Рекомендации