Гипотезы Серра о множественности - Serres multiplicity conjectures

В математика, Гипотезы Серра о множественности, названный в честь Жан-Пьер Серр, являются некоторыми чисто алгебраическими задачами, в коммутативная алгебра, мотивированные потребностями алгебраическая геометрия. С Андре Вайль первоначальное определение номера перекрестков Примерно в 1949 году встал вопрос о том, как создать более гибкую и вычислимую теорию.

Позволять р быть (нётеровым, коммутативным) обычное местное кольцо и п и Q быть главные идеалы из р. В 1958 году Серр понял, что классические алгебро-геометрические идеи множественности могут быть обобщены, используя концепции гомологическая алгебра. Серр определил кратность пересечения из р/п и р/Q с помощью Функторы Tor из гомологическая алгебра, так как

${\displaystyle \chi (R/P,R/Q):=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\ell _{R}(\operatorname {Tor} _{i}^{R}(R/P,R/Q)).}$

Это требует концепции длина модуля, обозначаемый здесь ${\displaystyle \ell _{R}}$, и предположение, что

${\displaystyle \ell _{R}((R/P)\otimes (R/Q))<\infty .}$

Однако, если бы эта идея сработала, некоторые классические отношения, вероятно, должны были бы сохраниться. Серр выделил четыре важных свойства. Затем это превратилось в предположения, которые в общем случае были спорными. (Есть более общие формулировки этих гипотез, где р/п и р/Q заменяются конечно порожденными модулями: см. Серра Локальная алгебра Больше подробностей.)

Неравенство размерностей

Основная статья: Неравенство Серра по высоте

${\displaystyle \dim(R/P)+\dim(R/Q)\leq \dim(R)}$

Серр доказал это для всех регулярных локальных колец. Он установил следующие три свойства, когда р имеет либо равные характеристики, либо смешанные характеристики и неразветвленные (что в данном случае означает, что характеристика поле вычетов не является элементом квадрата максимального идеала локального кольца), и предположил, что они верны в общем случае.

Неотрицательность

${\displaystyle \chi (R/P,R/Q)\geq 0}$

Это было доказано Офер Габбер в 1995 г.

Исчезновение

Если

${\displaystyle \dim(R/P)+\dim(R/Q)<\dim(R)\ }$

тогда

${\displaystyle \chi (R/P,R/Q)=0.\ }$

Это было доказано в 1985 г. Пол С. Робертс, и независимо Анри Жилле и Кристоф Суле.

Позитивность

Если

${\displaystyle \dim(R/P)+\dim(R/Q)=\dim(R)\ }$

тогда

${\displaystyle \chi (R/P,R/Q)>0.\ }$

Это остается открытым.

Смотрите также

• Гомологические гипотезы коммутативной алгебры

Рекомендации

• Серр, Жан-Пьер (2000), Локальная алгебра, Берлин: Springer, стр. 106–110, Дои:10.1007/978-3-662-04203-8, МИСТЕР  1771925
• Робертс, Пол (1985), Исчезновение кратностей пересечений совершенных комплексов, Бык. Амер. Математика. Soc. 13, нет. 2. С. 127–130, Дои:10.1090 / S0273-0979-1985-15394-7, МИСТЕР  0799793
• Робертс, Пол (1998), Последние разработки гипотез Серра о множественности: доказательство Габбером гипотезы о неотрицательности, L 'Enseign. Математика. (2) 44, вып. 3-4, стр. 305–324, МИСТЕР  1659224
• Бертело, Пьер (1997), Альтернативные варианты альтернатив (d'après A. J. de Jong), Séminaire Bourbaki, Vol. 1995/96, Astérisque No. 241, стр. 273–311, МИСТЕР  1472543
• Gillet, H .; Суле, К. (1987), Теория пересечений с использованием операций Адамса., Изобретать. Математика. 90, нет. 2. С. 243–277, Дои:10.1007 / BF01388705, МИСТЕР  0910201
• Габбер, О. (1995), Неотрицательность множественности пересечений Серра, Exposé à L’IHES