Неравенство Серра по высоте - Serres inequality on height

В алгебре, в частности в теории коммутативные кольца, Неравенство Серра по высоте заявляет: учитывая (Нётериан) обычное кольцо А и пара главные идеалы ${\displaystyle {\mathfrak {p}},{\mathfrak {q}}}$ в нем для каждого простого идеала ${\displaystyle {\mathfrak {r}}}$ это минимальный простой идеал сверх суммы ${\displaystyle {\mathfrak {p}}+{\mathfrak {q}}}$, следующее неравенство на высоты держит:^[1][2]

${\displaystyle \operatorname {ht} ({\mathfrak {r}})\leq \operatorname {ht} ({\mathfrak {p}})+\operatorname {ht} ({\mathfrak {q}}).}$

Без предположения о регулярности неравенство может не выполняться; видеть схемно-теоретическое пересечение # Собственное пересечение.

Эскиз доказательства

(Серр, Гл. V, § B. 6.) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFSerre (помощь) дает следующее доказательство неравенства, основанное на справедливости Гипотезы Серра о множественности за кольцо формальной мощности через полный кольцо дискретной оценки.

Заменив ${\displaystyle A}$ по локализации на ${\displaystyle {\mathfrak {r}}}$, мы предполагаем ${\displaystyle (A,{\mathfrak {r}})}$ это местное кольцо. Тогда неравенство равносильно следующему неравенству: при конечных ${\displaystyle A}$-модули ${\displaystyle M,N}$ такой, что ${\displaystyle M\otimes _{A}N}$ имеет конечную длину,

${\displaystyle \dim _{A}M+\dim _{A}N\leq \dim A}$

куда ${\displaystyle \dim _{A}M=\dim(A/\operatorname {Ann} _{A}(M))}$ = размер опоры ${\displaystyle M}$ и подобное для ${\displaystyle \dim _{A}N}$. Чтобы показать указанное выше неравенство, можно считать ${\displaystyle A}$ завершено. Затем по Структурная теорема Коэна, мы можем написать ${\displaystyle A=A_{1}/a_{1}A_{1}}$ куда ${\displaystyle A_{1}}$ кольцо формальных степенных рядов над полным кольцом дискретного нормирования и ${\displaystyle a_{1}}$ ненулевой элемент в ${\displaystyle A_{1}}$. Теперь спор с Спектральная последовательность Tor показывает, что ${\displaystyle \chi ^{A_{1}}(M,N)=0}$. Тогда одна из гипотез Серра гласит: ${\displaystyle \dim _{A_{1}}M+\dim _{A_{1}}N<\dim A_{1}}$, что в свою очередь дает заявленное неравенство. ${\displaystyle \square }$

Рекомендации

1. Серр, Гл. V, § B.6, теорема 3. Ошибка harvnb: нет цели: CITEREFSerre (помощь)
2. Фултон, § 20.4. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFFulton (помощь)

• Уильям Фултон. (1998), Теория пересечения, Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете. 3. Folge., 2 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-62046-4, МИСТЕР  1644323
• П. Серр, Локальная алгебра, Монографии Springer по математике