Теоретико-схемное пересечение - Scheme-theoretic intersection

В алгебраическая геометрия, то теоретико-схемное пересечение закрытых подсхем Икс, Y схемы W является ${ displaystyle X times _ {W} Y}$ , волокнистый продукт замкнутых погружений ${ displaystyle X hookrightarrow W, Y hookrightarrow W}$ . Обозначается он ${ Displaystyle X cap Y}$ .

Локально, W дается как ${ displaystyle operatorname {Spec} R}$ для кольца р и Икс, Y в качестве ${ displaystyle operatorname {Spec} (R / I), Operatorname {Spec} (R / J)}$ для некоторых идеалов я, J. Таким образом, локально пересечение ${ Displaystyle X cap Y}$ дается как

{ displaystyle operatorname {Spec} (R / (I + J)).}

Здесь мы использовали ${ Displaystyle R / I otimes _ {R} R / J simeq R / (I + J)}$ (об этом тождестве см. тензорное произведение модулей # Примеры.)

Пример: Позволять ${ Displaystyle X подмножество mathbb {P} ^ {n}}$ быть проективное разнообразие с однородным координатным кольцом S / I, куда S кольцо многочленов. Если ${ Displaystyle Н = {е = 0 } подмножество mathbb {P} ^ {n}}$ - гиперповерхность, заданная некоторым однородным полиномом ж в S, тогда

{ displaystyle X cap H = operatorname {Proj} (S / (I, f)).}

Если ж линейна (deg = 1), называется сечение гиперплоскости. Смотрите также: Теорема Бертини.

Итак, теоретико-схемное пересечение не может быть правильный пересечение, скажем, с точки зрения теория пересечений. Например,^[1] позволять ${ displaystyle W = operatorname {Spec} (k [x, y, z, w])}$ = аффинное 4-пространство и Икс, Y замкнутые подсхемы, определяемые идеалами ${ Displaystyle (х, у) крышка (г, ш)}$ и ${ Displaystyle (х-я, у-ш)}$ . С Икс представляет собой объединение двух плоскостей, каждая из которых пересекает Y в нуле с кратностью единица в силу линейности кратность пересечения, мы ожидаем Икс и Y пересекаются в начале координат с кратностью два. С другой стороны, видно теоретико-схемное пересечение ${ Displaystyle X cap Y}$ состоит из начала с кратностью три. То есть теоретико-схемная кратность пересечения может отличаться от теоретико-схемной кратности пересечения, последняя задается формулой Формула Тора Серра. Устранение этого несоответствия - одна из отправных точек для производная алгебраическая геометрия, цель которого - ввести понятие производное пересечение.

Правильный перекресток

Позволять Икс быть регулярной схемой и V, W замкнутые интегральные подсхемы. Тогда неприводимая компонента п из ${ Displaystyle V cap W: = V times _ {X} W}$ называется правильный если неравенство (из-за Серра):

{ displaystyle operatorname {codim} (P, X) leq operatorname {codim} (V, X) + operatorname {codim} (W, X)}

это равенство.^[2] Перекресток ${ Displaystyle V cap W}$ является собственным, если каждая его неприводимая компонента является собственной (в частности, правильным считается пустое пересечение). алгебраические циклы говорят, что они правильно пересекаются, если многообразия в циклах правильно пересекаются.

Например, два дивизора (цикла коразмерности один) на гладком многообразии правильно пересекаются тогда и только тогда, когда у них нет общей неприводимой компоненты. Лемма Чоу о движении (на гладком многообразии) говорит, что пересечение можно сделать правильным после замены дивизора подходящим линейно эквивалентным дивизором (ср. Теорема Клеймана.)

Приведенное выше неравенство Серра может не работать в общем случае для нерегулярной внешней схемы. Например,^[3] позволять ${ displaystyle X = operatorname {Spec} к [x, y, z, w] / (xz-yw), , V = V ({ overline {x}}, { overline {y}}), , W = V ({ overline {z}}, { overline {w}})}$ . потом ${ Displaystyle V, W}$ имеют коразмерность один, а ${ Displaystyle V cap W}$ имеет коразмерность три.

Некоторые авторы, такие как Блох, определяют правильное пересечение, не предполагая Икс является регулярным: в обозначениях, как указано выше, компонент п правильно, если

{ displaystyle operatorname {codim} (P, X) geq operatorname {codim} (V, X) + operatorname {codim} (W, X).}

Теоретико-схемное пересечение - Scheme-theoretic intersection

Правильный перекресток

Смотрите также

Рекомендации