Уравнения люминесценции полупроводников - Semiconductor luminescence equations

В уравнения люминесценции полупроводников (SLEs)^[1][2] описывать свечение из полупроводники в результате спонтанного рекомбинация электронных возбуждений, производящих поток из спонтанно испускается свет. Это описание сделало первый шаг к полупроводниковая квантовая оптика поскольку СКВ одновременно включает квантованное взаимодействие света с веществом и Кулоновское взаимодействие связь между электронными возбуждениями в полупроводнике. SLE являются одним из наиболее точных методов описания излучения света в полупроводниках, и они подходят для систематического моделирования излучения полупроводников в диапазоне от экситонный свечение лазеры.

Из-за случайности флуктуации вакуумного поля люминесценция полупроводников бессвязный тогда как расширения SLE включают^[2] возможность учиться резонансная флуоресценция в результате оптическая накачка с последовательный лазер свет. На этом уровне часто возникает интерес к управлению и доступу к более высоким уровням. фотонная корреляция эффекты, различные многочастичные состояния, а также свет-полупроводник запутанность. Подобные исследования являются основой реализации и развития области квантово-оптическая спектроскопия который является ветвью квантовая оптика.

Отправная точка

Возникновение SLE начинается с системы Гамильтониан который полностью включает в себя взаимодействия многих тел, квантованное световое поле и квантованное взаимодействие света и вещества. Как почти всегда в физика многих тел, удобнее всего применять формализм вторичного квантования. Например, световое поле, соответствующее частоте ${\displaystyle \omega }$ затем описывается через Бозон операторы создания и уничтожения ${\displaystyle {\hat {B}}_{\omega }^{\dagger }}$ и ${\displaystyle {\hat {B}}_{\omega }}$, соответственно, где "шляпа" над ${\displaystyle B}$ означает операторную природу количества. Оператор-комбинация ${\displaystyle {\hat {B}}_{\omega }^{\dagger }\,{\hat {B}}_{\omega }}$ определяет фотон -числовой оператор.

Когда фотонная когерентность, здесь ожидаемое значение ${\displaystyle \langle {\hat {B}}_{\omega }\rangle }$, исчезают, и система становится квазистационарный, полупроводники излучают бессвязный светится самопроизвольно, обычно называемый свечение (L). (Это основной принцип светодиоды.) Соответствующее свечение поток пропорционален временному изменению числа фотонов,^[2]

${\displaystyle \mathrm {L} (\omega )={\frac {\partial }{\partial t}}\langle {\hat {B}}_{\omega }^{\dagger }{\hat {B}}_{\omega }\rangle =2\,\mathrm {Re} \left[\sum _{\mathbf {k} }{\mathcal {F}}_{\omega }^{\star }\,\Pi _{\mathbf {k} ,\omega }\right]\,.}$

В результате люминесценция возникает непосредственно за счет фотонная электронно-дырочная рекомбинация,

${\displaystyle \Pi _{\mathbf {k} ,\omega }\equiv \Delta \langle {\hat {B}}_{\omega }^{\dagger }{\hat {P}}_{\mathbf {k} }\rangle }$

который описывает коррелированное излучение фотона ${\displaystyle ({\hat {B}}_{\omega }^{\dagger })}$ когда электрон с волновым вектором ${\displaystyle \mathbf {k} }$ рекомбинирует с дыра, т.е. электронная вакансия. Здесь, ${\displaystyle {\hat {P}}_{\mathbf {k} }}$ определяет соответствующий оператор электронно-дырочной рекомбинации, определяющий также микроскопическую поляризацию в полупроводнике. Следовательно, ${\displaystyle \Pi _{\mathbf {k} ,\omega }}$ также можно рассматривать как фотонная поляризация.

Многие электронно-дырочные пары вносят вклад в излучение фотонов с частотой ${\displaystyle \omega }$; явный ${\displaystyle \Delta }$ обозначение в ${\displaystyle \Pi _{\mathbf {k} ,\omega }}$ означает, что коррелированная часть математического ожидания ${\displaystyle \langle {\hat {B}}_{\omega }^{\dagger }P_{\mathbf {k} }\rangle }$ построен с использованием кластерный подход. Количество ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\omega }}$ содержит дипольно-матричный элемент за межзонный переход, световой режим функция режима, и вакуум-поле амплитуда.

Принципиальная структура СЛЭ

В целом СКВ включают в себя все одно- и двухчастичные корреляции необходимо для расчета спектра люминесценции последовательно. Более конкретно, систематический вывод дает набор уравнений, включающих фотонно-подобные корреляции

Уравнения люминесценции полупроводников (корреляции, подобные числу фотонов)

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Delta \langle {\hat {B}}_{\omega }^{\dagger }{\hat {B}}_{\omega '}\rangle =(\hbar \omega '-\hbar \omega )\,\Delta \langle {\hat {B}}_{\omega }^{\dagger }{\hat {B}}_{\omega '}\rangle +\mathrm {i} \sum \limits _{\mathbf {k} }\left[{\mathcal {F}}_{\omega '}^{\star }\Pi _{\mathbf {k} ,\omega }+{\mathcal {F}}_{\omega }\Pi _{\mathbf {k} ,\omega '}^{\star }\right]}$

диагональная форма которого сводится к приведенной выше формуле люминесценции. Динамика фотонных корреляций следует из

Уравнения люминесценции полупроводников (фотонные корреляции)

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Pi _{\mathbf {k} ,\omega }=\left({\tilde {\epsilon }}_{\mathbf {k} }-\hbar \omega \right)\Pi _{\mathbf {k} ,\omega }+\Omega _{\mathbf {k} ,\omega }^{\mathrm {spont} }-\left(1-f_{\mathbf {k} }^{e}-f_{\mathbf {k} }^{h}\right)\left[\Omega _{\omega }^{\mathrm {stim} }+\sum \limits _{\mathbf {k'} }V_{\mathbf {k} -\mathbf {k} '}\,\Pi _{\mathbf {k'} ,\omega }\right]+T[\Pi ]}$

где первый вклад, ${\displaystyle {\tilde {\epsilon }}_{\mathbf {k} }}$, содержит Кулоновско-перенормированная одночастичная энергия что определяется ленточная структура из твердый. Кулоновские перенормировки идентичны тем, которые появляются в полупроводниковые уравнения Блоха (SBEs), показывая, что все фотонные поляризации связаны друг с другом через неэкранированное кулоновское взаимодействие ${\displaystyle V_{\mathbf {k} }}$. Возникающие трехчастичные корреляции символически обозначены значком ${\displaystyle T[\Pi ]}$ вклады - они вводят дефазировка, вызванная возбуждением, скрининг кулоновского взаимодействия и дополнительных высококоррелированных вкладов, таких как фононное излучение боковой полосы. Явный вид источника спонтанного излучения ${\displaystyle \Omega _{\mathbf {k} ,\omega }^{\mathrm {spont} }}$ и стимулированный взнос ${\displaystyle \Omega _{\omega }^{\mathrm {stim} }}$ обсуждаются ниже.

Уровень возбуждения полупроводника характеризуется заселенностями электронов и дырок, ${\displaystyle f_{\mathbf {k} }^{e}}$ и ${\displaystyle f_{\mathbf {k} }^{h}}$, соответственно. Они изменяют ${\displaystyle \Pi _{\mathbf {k} ,\omega }}$ через Кулоновские перенормировки и Паули-блокирующий фактор, ${\displaystyle \left(1-f_{\mathbf {k} }^{e}-f_{\mathbf {k} }^{h}\right)}$. Эти занятия изменяются спонтанной рекомбинацией электронов и дырок, что приводит к

${\displaystyle \left.{\frac {\partial }{\partial t}}f_{\mathbf {k} }^{e}\right|_{\mathrm {L} }=\left.{\frac {\partial }{\partial t}}f_{\mathbf {k} }^{h}\right|_{\mathrm {L} }=-2\,\mathrm {Re} \left[\sum _{\omega }{\mathcal {F}}_{\omega }^{\star }\,\Pi _{\mathbf {k} ,\omega }\right]\,.}$

В полном виде динамика заполнения также содержит члены кулоновской корреляции.^[2] Несложно проверить, что рекомбинация с участием фотонов^[3][4][5]разрушает столько электронно-дырочных пар, сколько создает фотоны, потому что в соответствии с общим законом сохранения ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\sum _{\omega }\langle {\hat {B}}_{\omega }^{\dagger }{\hat {B}}_{\omega }\rangle =-{\frac {\partial }{\partial t}}\sum _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }^{e}}$.

Помимо уже описанных выше членов, фотонная поляризационная динамика содержит источник спонтанного излучения

${\displaystyle \Omega _{\mathbf {k} ,\omega }^{\mathrm {spont} }=\mathrm {i} {\mathcal {F}}_{\omega }{\Bigl (}f_{\mathbf {k} }^{e}f_{\mathbf {k} }^{h}+\sum _{\mathbf {k'} }c_{\mathrm {X} }^{\mathbf {k} ,\mathbf {k'} }{\Bigr )}\,.}$

Интуитивно ${\displaystyle f_{\mathbf {k} }^{e}\,f_{\mathbf {k} }^{h}}$ описывает вероятность найти электрон и дырку с одинаковыми ${\displaystyle \mathbf {k} }$ когда электроны и дырки некоррелированы, т. е. плазма. Такой формы следует ожидать для вероятности того, что два некоррелированных события произойдут одновременно в желаемом ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ценить. Возможность иметь действительно коррелированные электронно-дырочные пары определяется двухчастичной корреляцией ${\displaystyle c_{\mathrm {X} }^{\mathbf {k} ,\mathbf {k'} }}$; соответствующая вероятность прямо пропорциональна корреляции. На практике, ${\displaystyle c_{\mathrm {X} }^{\mathbf {k} ,\mathbf {k'} }}$ становится большим, когда электронно-дырочные пары связаны как экситоны через их взаимное кулоновское притяжение. Тем не менее наличие как электронно-дырочной плазмы, так и экситонов может в равной степени вызвать источник спонтанного излучения.

Поскольку полупроводник самопроизвольно излучает свет, люминесценция дополнительно изменяется на стимулированный вклад

${\displaystyle \Delta \Omega _{\omega }^{\mathrm {stim} }=\mathrm {i} \sum _{\omega }{\mathcal {F}}_{\omega '}\,\Delta \langle {\hat {B}}_{\omega }^{\dagger }{\hat {B}}_{\omega '}\rangle }$

что особенно важно при описании спонтанного излучения в полупроводниковых микрополостях и лазеры потому что затем спонтанно излучаемый свет может вернуться к излучателю (то есть в полупроводник), стимулируя или подавляя дальнейшие процессы спонтанного излучения. Этот термин также отвечает за Эффект Перселла.

Для завершения SLEs необходимо дополнительно решить квантовую динамику экситонных корреляций

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}c_{\mathrm {X} }^{\mathbf {k} ,\mathbf {k'} }=&\left({\tilde {\epsilon }}_{\mathbf {k} }-{\tilde {\epsilon }}_{\mathbf {k'} }\right)\,c_{\mathrm {X} }^{\mathbf {k} ,\mathbf {k'} }+S_{\mathrm {X} }^{\mathbf {k} ,\mathbf {k'} }\\&+{\Bigl (}1-f_{\mathbf {k'} }^{e}-f_{\mathbf {k'} }^{h}{\Bigr )}\sum _{\mathbf {l} }V_{\mathbf {l} -\mathbf {k} '}\,c_{\mathrm {X} }^{\mathbf {k} ,\mathbf {l} }-{\Bigl (}1-f_{\mathbf {k} }^{e}-f_{\mathbf {k} }^{h}{\Bigr )}\sum _{\mathbf {l} }V_{\mathbf {l} -\mathbf {k} '}\,c_{\mathrm {X} }^{\mathbf {l} ,\mathbf {k'} }\\&+D_{\mathrm {X,\,rest} }^{\mathbf {k} ,\mathbf {k'} }+T_{\mathrm {X} }^{\mathbf {k} ,\mathbf {k'} }\,.\end{aligned}}}$

Первая строка содержит кулоновскую перенормированную кинетическую энергию электронно-дырочных пар, а вторая строка определяет источник, являющийся результатом Больцман -тип рассеяния двух электронов и двух дырок внутрь и наружу за счет кулоновского взаимодействия. Вторая строка содержит основные кулоновские суммы, которые коррелируют электронно-дырочные пары в экситоны всякий раз, когда подходят условия возбуждения. Остальные двух- и трехчастичные корреляции символически представлены как ${\displaystyle D_{\mathrm {X,\,rest} }^{\mathbf {k} ,\mathbf {k'} }}$ и ${\displaystyle T_{\mathrm {X} }^{\mathbf {k} ,\mathbf {k'} }}$, соответственно.^[2][6]

Толкование и последствия

Микроскопически процессы люминесценции инициируются всякий раз, когда полупроводник возбуждается, потому что, по крайней мере, распределения электронов и дырок, попадающих в источник спонтанного излучения, не исчезают. Как результат, ${\displaystyle \Omega _{\mathbf {k} ,\omega }^{\mathrm {spont} }}$ конечно, и это движет фотон -сопровождаемые процессы для всех тех ${\displaystyle \mathbf {k} }$ значения, соответствующие возбужденным состояниям. Это означает, что ${\displaystyle \Pi _{\omega ,\mathbf {k} }}$ одновременно генерируется для многих ${\displaystyle \mathbf {k} }$ значения. Поскольку кулоновское взаимодействие пары ${\displaystyle \Pi _{\omega ,\mathbf {k} }}$ со всем ${\displaystyle \mathbf {k} }$ Величины характеристической энергии перехода следует из энергии экситона, а не из затравочной кинетической энергии электронно-дырочной пары. Говоря более математически, однородная часть ${\displaystyle \Pi _{\omega ,\mathbf {k} }}$ динамика собственные энергии которые определены обобщенное уравнение Ванье не энергии свободных носителей. Для низких плотностей электронов и дырок уравнение Ванье дает набор связанных собственных состояний, которые определяют экситон резонансы.

Нарастание фотонной поляризации (корреляции), инициированной источником спонтанного излучения. Раскачка происходит одинаково для всех импульсных состояний. В системе многих тел фотон (волновая стрелка) генерируется коллективно через множественные связанные корреляции Π-переходов.

Следовательно, ${\displaystyle \Pi _{\omega ,\mathbf {k} }}$ показан дискретный набор экситонных резонансов независимо от того, какое многочастичное состояние инициировало излучение через источник спонтанного излучения. Эти резонансы непосредственно передаются экситонным пикам в самой люминесценции. Это приводит к неожиданным последствиям; Причиной экситонного резонанса может быть как электронно-дырочная плазма, так и присутствие экситонов.^[7] На первый взгляд, это следствие SLEs кажется нелогичным, потому что в картине нескольких частиц несвязанная электронно-дырочная пара не может рекомбинировать и выделять энергию, соответствующую экситонному резонансу, потому что эта энергия намного ниже энергии, которой обладает несвязанная электронно-дырочная пара.

Однако люминесценция экситонной плазмы - это настоящий многочастичный эффект, при котором плазма излучает коллективно к экситонному резонансу. А именно, когда в излучении одного фотона участвует большое количество электронных состояний, всегда можно распределить энергию исходного многочастичного состояния между одним фотоном с энергией экситона и оставшимся многочастичным состоянием (с одной парой электрон-дырка удалены) без нарушения энергосбережения. Кулоновское взаимодействие очень эффективно опосредует такие энергетические перестройки. Подробный анализ перестройки энергии и многочастичного состояния приведен в [4].^[2]

В целом люминесценция экситонной плазмы объясняет многие свойства неравновесного излучения, наблюдаемые в современных экспериментах по люминесценции полупроводников. Фактически, доминирование люминесценции экситонной плазмы измерялось как в квантовая яма^[8] и квантовая точка системы.^[9] Только при большом количестве экситонов ролью люминесценции экситонной плазмы можно пренебречь.

Связи и обобщения

Конструктивно СКВ напоминают полупроводниковые уравнения Блоха (SBEs), если ${\displaystyle \Pi _{\omega ,\mathbf {k} }}$ сравниваются с микроскопической поляризацией внутри SBE. В качестве основного отличия ${\displaystyle \Pi _{\omega ,\mathbf {k} }}$ также имеет фотонный индекс ${\displaystyle \omega }$, его динамика возникает спонтанно и напрямую связана с трехчастичными корреляциями. Технически SLE труднее решить численно, чем SBE из-за дополнительных ${\displaystyle \omega }$ степень свободы. Однако СКЛ часто являются единственными (при низких концентрациях носителей заряда) или более удобными (режим генерации) для точного расчета люминесценции. Кроме того, SLE не только обеспечивают полную предсказуемость без необходимости феноменологический приближений, но их также можно использовать в качестве систематической отправной точки для более общих исследований, таких как проектирование лазеров.^[10][11] и исследования расстройств.^[12]

Представленное обсуждение СКВ не указывает размерность или зонную структуру изучаемой системы. При анализе конкретной системы часто приходится явно включать в себя задействованные электронные зоны, размерность волновых векторов, фотон и импульс центра масс экситона. Многие явные примеры приведены в работах.^[6][13] за квантовая яма и квантовая проволока систем, а также в работах.^[4][14][15] за квантовая точка системы.

Полупроводники также могут показывать несколько резонансов значительно ниже основного экситонного резонанса, когда имеет место электронно-дырочная рекомбинация с участием фононов. Эти процессы описываются трехчастичными корреляциями (или выше), когда фотон, электронно-дырочная пара и колебание решетки, то есть фонон, становятся коррелированными. Динамика фононных корреляций аналогична бесфононным СКВ. Как и в случае экситонной люминесценции, боковые полосы экситонных фононов также могут быть инициированы либо электронно-дырочной плазмой, либо экситонами.^[16]

SLE могут также использоваться как систематическая отправная точка для полупроводниковая квантовая оптика.^[2][17][18] В качестве первого шага также включаются корреляции двухфотонного поглощения, ${\displaystyle \Delta \langle {\hat {B}}_{\omega }{\hat {B}}_{\omega '}\rangle }$, а затем переходит к фотонным корреляционным эффектам более высокого порядка. Этот подход можно применить для анализа резонансная флуоресценция эффекты и осознать и понять квантово-оптическая спектроскопия.

Смотрите также

• Когерентные эффекты в полупроводниковой оптике
• Кластерный подход
• Фотолюминесценция
• Квантовая оптическая спектроскопия
• Формула Эллиотта
• Теория полупроводникового лазера

Рекомендации

1. Кира, М .; Jahnke, F .; Koch, S .; Berger, J .; Wick, D .; Nelson, T .; Хитрова, Г.; Гиббс, Х. (1997). "Квантовая теория нелинейной люминесценции полупроводниковых микрорезонаторов, объясняющая" бозеровские "эксперименты". Письма с физическими проверками 79 (25): 5170–5173. doi:10.1103 / PhysRevLett.79.5170
2. Кира, М .; Кох, С. В. (2011). Полупроводниковая квантовая оптика. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521875097.
3. Ли, Цзяньчжун (2007). "Лазерное охлаждение полупроводниковых квантовых ям: теоретические основы и стратегия глубокого оптического охлаждения путем апконверсии люминесценции". Физический обзор B 75 (15). doi:10.1103 / PhysRevB.75.155315
4. Berstermann, T .; Ауэр, Т .; Kurtze, H .; Schwab, M .; Яковлев, Д .; Bayer, M .; Wiersig, J .; Gies, C .; Jahnke, F .; Reuter, D .; Вик, А. (2007). «Систематическое исследование корреляций носителей заряда в динамике электронно-дырочной рекомбинации квантовых точек». Физический обзор B 76 (16). doi:10.1103 / PhysRevB.76.165318
5. Шуваев, В .; Кусковский, И .; Дейч, Л .; Парень.; Gong, Y .; Neumark, G .; Tamargo, M .; Лисянский, А. (2009). «Динамика излучательной рекомбинации в цилиндрических наноструктурах с выстраиванием зон второго типа». Физический обзор B 79 (11). doi:10.1103 / PhysRevB.79.115307
6. Кира, М .; Кох, С. (2006). «Многотельные корреляции и экситонные эффекты в спектроскопии полупроводников». Прогресс в квантовой электронике 30 (5): 155–296. doi:10.1016 / j.pquantelec.2006.12.002
7. Кира, М .; Jahnke, F .; Кох, С. (1998). "Микроскопическая теория экситонных сигнатур в фотолюминесценции полупроводников". Письма с физическими проверками 81 (15): 3263–3266. doi:10.1103 / PhysRevLett.81.3263
8. Chatterjee, S .; Ell, C .; Mosor, S .; Хитрова, Г.; Gibbs, H .; Hoyer, W .; Кира, М .; Koch, S .; Prineas, J .; Штольц, Х. (2004). «Экситонная фотолюминесценция в полупроводниковых квантовых ямах: плазма против экситонов». Письма с физическими проверками 92 (6). doi:10.1103 / PhysRevLett.92.067402
9. Schwab, M .; Kurtze, H .; Ауэр, Т .; Berstermann, T .; Bayer, M .; Wiersig, J .; Baer, ​​N .; Gies, C .; Jahnke, F .; Reithmaier, J .; Forchel, A .; Benyoucef, M .; Михлер, П. (2006). «Динамика излучения квантовых точек в одиночном микрополоннике». Физический обзор B 74 (4). doi:10.1103 / PhysRevB.74.045323
10. Hader, J .; Moloney, J. V .; Кох, С. В. (2006). «Влияние внутренних полей на усиление и спонтанное излучение в квантовых ямах InGaN». Письма по прикладной физике 89 (17): 171120. doi:10.1063/1.2372443
11. Hader, J .; Hardesty, G .; Wang, T .; Ярборо, М. Дж .; Kaneda, Y .; Moloney, J. V .; Kunert, B .; Stolz, W. et al. (2010). «Прогнозирующее микроскопическое моделирование VECSEL». IEEE J. Quantum Electron. 46: 810. doi:10.1109 / JQE.2009.2035714
12. Rubel, O .; Барановский, С.Д .; Hantke, K .; Heber, J.D .; Koch, J .; Thomas, P. V .; Marshall, J.M .; Stolz, W. et al. (2005). «К теоретическому описанию люминесценции в неупорядоченных квантовых структурах». J. Optoelectron. Adv. М. 7 (1): 115.
13. Imhof, S .; Bückers, C .; Thränhardt, A .; Hader, J .; Moloney, J. V .; Кох, С. В. (2008). «Микроскопическая теория оптических свойств квантовых ям Ga (AsBi) / GaAs». Полуконд. Sci. Technol. 23 (12): 125009.
14. Feldtmann, T .; Schneebeli, L .; Кира, М .; Кох, С. (2006). «Квантовая теория излучения света полупроводниковой квантовой точкой». Физический обзор B 73 (15). doi:10.1103 / PhysRevB.73.155319
15. Baer, ​​N .; Gies, C .; Wiersig, J .; Янке, Ф. (2006). «Люминесценция системы полупроводниковых квантовых точек». Европейский физический журнал B 50 (3): 411–418. doi:10.1140 / epjb / e2006-00164-3
16. Бёттге, К.N .; Кира, М .; Кох, С. В. (2012). «Усиление люминесценции фононных боковых полос в полупроводниковых микрорезонаторах». Физический обзор B 85 (9). doi:10.1103 / PhysRevB.85.094301
17. Гис, Кристофер; Виерсиг, Ян; Янке, Франк (2008). "Выходные характеристики лазеров на квантовых точках с импульсным и непрерывным возбуждением в микрорезонаторах". Письма с физическими проверками 101 (6). doi:10.1103 / PhysRevLett.101.067401
18. Aßmann, M .; Veit, F .; Bayer, M .; Gies, C .; Jahnke, F .; Reitzenstein, S .; Höfling, S .; Worschech, L. et al. (2010). "Сверхбыстрое отслеживание фотонных корреляций второго порядка в излучении лазеров на квантовых точках на микрорезонаторах". Физический обзор B 81 (16). doi:10.1103 / PhysRevB.81.165314

дальнейшее чтение

• Янке, Ф. (2012). Квантовая оптика с полупроводниковыми наноструктурами. Woodhead Publishing Ltd. ISBN  978-0857092328.
• Кира, М .; Кох, С. В. (2011). Полупроводниковая квантовая оптика. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521875097.
• Haug, H .; Кох, С. В. (2009). Квантовая теория оптических и электронных свойств полупроводников. (5-е изд.). World Scientific. п. 216. ISBN  978-9812838841.
• Пипрек, Дж. (2007). Нитридные полупроводниковые приборы: принципы и моделирование. Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA. ISBN  978-3527406678.
• Клингширн, К. Ф. (2006). Полупроводниковая оптика. Springer. ISBN  978-3540383451.
• Kalt, H .; Хеттерих, М. (2004). Оптика полупроводников и их наноструктур.. Springer. ISBN  978-3540383451.