Кластерный подход - Cluster-expansion approach

В кластерный подход это техника в квантовая механика что систематически обрезает Иерархия BBGKY проблема, возникающая при решении квантовой динамики взаимодействующих систем. Этот метод хорошо подходит для производства замкнутого набора численно вычислимые уравнения, которые можно применять для анализа большого разнообразия многотельный и / или квантово-оптический проблемы. Например, он широко применяется в полупроводниковая квантовая оптика^[1] и его можно применять для обобщения полупроводниковые уравнения Блоха и уравнения люминесценции полупроводников.

Фон

Квантовая теория по существу заменяет классически точные значения на вероятностный распределение, которое можно сформулировать с использованием, например, волновая функция, а матрица плотности, или распределение в фазовом пространстве. Концептуально, всегда, по крайней мере формально, за каждым наблюдаемый что измеряется. Уже в 1889 году, задолго до того, как была сформулирована квантовая физика, Торвальд Н. Тиле предложил кумулянты которые описывают вероятностные распределения с минимально возможным количеством величин; он назвал их полуинварианты.^[2]Кумулянты образуют последовательность величин, таких как иметь в виду, отклонение, перекос, эксцесс и т. д., которые идентифицируют распределение с возрастающей точностью по мере использования большего количества кумулянтов.

Идея кумулянтов была преобразована в квантовую физику Фрицем Кестером.^[3]и Герман Кюммель^[4]с намерением учиться ядерный многочастичные явления. Потом, Иржи Чижек и Йозеф Палдус расширил подход к квантовая химия для описания явлений многих тел в сложных атомах и молекулах. Эта работа заложила основу для связанный кластерный подход который в основном работает с многочастичными волновыми функциями. Подход связанных кластеров - один из наиболее успешных методов решения квантовых состояний сложных молекул.

В твердые вещества, волновая функция многих тел имеет чрезвычайно сложную структуру, так что методы решения прямых волновых функций трудноразрешимы. Расширение кластера - это вариант подхода связанных кластеров.^[1][5]и он решает динамические уравнения корреляций вместо попытки решить квантовую динамику приближенной волновой функции или матрицы плотности. Он одинаково хорошо подходит для изучения свойств систем многих тел и квантово-оптических корреляций, что делает его очень подходящим подходом для полупроводниковая квантовая оптика.

Как почти всегда в физика многих тел или квантовой оптики удобнее всего применять формализм вторичного квантования для описания задействованной физики. Например, световое поле описывается через Бозон операторы создания и уничтожения ${\displaystyle {\hat {B}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }}$ и ${\displaystyle {\hat {B}}_{\mathbf {q} }}$соответственно, где ${\displaystyle \hbar \mathbf {q} }$ определяет импульс фотон. "Шляпа" над ${\displaystyle B}$ означает оператор характер количества. Когда состояние многих тел состоит из электронных возбуждений материи, оно полностью определяется Фермион операторы создания и уничтожения ${\displaystyle {\hat {a}}_{\lambda ,\mathbf {k} }^{\dagger }}$ и ${\displaystyle {\hat {a}}_{\lambda ,\mathbf {k} }}$соответственно, где ${\displaystyle \hbar \mathbf {k} }$ относится к импульсу частицы, а ${\displaystyle \lambda }$ какой-то внутренний степень свободы, Такие как вращение или же индекс диапазона.

Классификация N-частичные вклады

Когда система многих тел исследуется вместе с ее квантово-оптическими свойствами, все измеримые ожидаемые значения можно выразить в виде Nматематическое ожидание частиц

${\displaystyle \langle {\hat {N}}\rangle \equiv \langle {\hat {B}}_{1}^{\dagger }\cdots {\hat {B}}_{K}^{\dagger }\ {\hat {a}}_{1}^{\dagger }\cdots {\hat {a}}_{N_{\hat {a}}}^{\dagger }{\hat {a}}_{N_{\hat {a}}}\cdots {\hat {a}}_{1}\ {\hat {B}}_{J}\cdots {\hat {B}}_{1}\rangle }$

куда ${\displaystyle N=N_{\hat {B}}+N_{\hat {a}}}$ и ${\displaystyle N_{\hat {B}}=J+K}$ а явные индексы импульса для краткости опущены. Эти количества обычно упорядочены, что означает, что все операторы создания находятся в левой части, а все операторы уничтожения находятся в правой части математического ожидания. Несложно показать, что это математическое ожидание обращается в нуль, если количество операторов рождения и уничтожения фермионов не равно.^[6][7]

Как только гамильтониан системы известен, можно использовать Уравнение Гейзенберга движения, чтобы генерировать динамику данного ${\displaystyle N}$-частичный оператор. Однако многочастичное, а также квантово-оптическое взаимодействие связывают ${\displaystyle N}$-количество частиц до ${\displaystyle (N+1)}$ожидаемые значения частиц, известные как Проблема иерархии Боголюбова – Борна – Грина – Кирквуда – Ивона (BBGKY). Говоря более математически, все частицы взаимодействуют друг с другом, что приводит к структуре уравнения

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\langle {\hat {N}}\rangle =\mathrm {T} \left[\langle {\hat {N}}\rangle \right]+\mathrm {Hi} \left[\langle {\hat {N}}+1\rangle \right]}$

куда функциональный ${\displaystyle T}$ символизирует вклады без проблемы иерархии, а функционал для иерархической (Hi) связи символизируется ${\displaystyle \mathrm {Hi} [\langle {\hat {N}}+1\rangle ]}$. Поскольку все уровни ожидаемых значений могут быть отличными от нуля, вплоть до фактического числа частиц, это уравнение не может быть непосредственно усечено без дополнительных соображений.

Рекурсивное определение кластеров

Схематическое изображение классификации на основе расширения кластера. Полная корреляция состоит из синглетов, дублетов, триплетов и корреляций более высокого порядка, которые однозначно определяются подходом кластерного расширения. Каждая синяя сфера соответствует одному оператору частицы, а желтые кружки / эллипсы - корреляциям. Количество сфер в корреляции определяет номер кластера.

Проблема иерархии может быть систематически усечена после выявления коррелированных кластеров. Самые простые определения следуют после рекурсивной идентификации кластеров. На самом низком уровне можно найти класс одночастичных математических ожиданий (синглетов), которые обозначены ${\displaystyle \langle 1\rangle }$. Любое двухчастичное математическое ожидание ${\displaystyle \langle 2\rangle }$ можно аппроксимировать факторизацией ${\displaystyle \langle 2\rangle _{\mathrm {S} }=\langle 1\rangle \langle 1\rangle }$ который содержит формальную сумму по всем возможным произведениям одночастичных математических ожиданий. В более общем смысле, ${\displaystyle \langle 1\rangle }$ определяет майки и ${\displaystyle \langle N\rangle _{\mathrm {S} }}$ синглетная факторизация ${\displaystyle N}$- математическое ожидание частиц. Физически синглетная факторизация среди Фермионы производит Приближение Хартри – Фока в то время как для Бозоны это дает классическое приближение где бозонные операторы формально заменены когерентной амплитудой, т. е. ${\displaystyle {\hat {B}}\rightarrow \langle {\hat {B}}\rangle }$. Синглетная факторизация составляет первый уровень представления кластерного расширения.

Коррелированная часть ${\displaystyle \langle 2\rangle }$ тогда разница между фактическими ${\displaystyle \langle 2\rangle }$ и синглетная факторизация ${\displaystyle \langle 2\rangle _{\mathrm {S} }}$. С математической точки зрения можно найти

${\displaystyle \langle 2\rangle =\langle 2\rangle _{\mathrm {S} }+\Delta \langle 2\rangle }$

где ${\displaystyle \Delta }$ вклад обозначает коррелированную часть, т. е. ${\displaystyle \Delta \langle 2\rangle =\langle 2\rangle -\langle 2\rangle _{\mathrm {S} }}$. Следующие уровни идентификации следуют рекурсивно.^[1] применяя

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle 3\rangle &=\langle 3\rangle _{\mathrm {S} }+\langle 1\rangle \ \Delta \langle 2\rangle +\Delta \langle 3\rangle \,,\\\langle N\rangle &=\langle N\rangle _{\mathrm {S} }\\&\quad +\langle N-2\rangle _{\mathrm {S} }\ \Delta \langle 2\rangle \\&\quad +\langle N-4\rangle _{\mathrm {S} }\ \Delta \langle 2\rangle \ \Delta \langle 2\rangle +\dots \\&\quad +\langle N-3\rangle _{\mathrm {S} }\ \Delta \langle 3\rangle \\&\quad +\langle N-5\rangle _{\mathrm {S} }\ \Delta \langle 3\rangle \ \Delta \langle 2\rangle +\dots \\&\quad +\Delta \langle N\rangle \,,\end{aligned}}}$

где каждый член продукта символически представляет одну факторизацию, а неявно включает сумму по всем факторизациям в пределах указанного класса терминов. Чисто коррелированная часть обозначается ${\displaystyle \Delta \langle N\rangle }$. Отсюда двухчастичные корреляции ${\displaystyle \Delta \langle 2\rangle }$ определяют дублеты, а трехчастичные корреляции ${\displaystyle \Delta \langle 3\rangle }$ называются тройками.

Поскольку эта идентификация применяется рекурсивно, можно напрямую определить, какие корреляции появляются в проблеме иерархии. Затем определяют квантовую динамику корреляций, что дает

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Delta \langle {\hat {N}}\rangle =\mathrm {T} \left[\Delta \langle {\hat {N}}\rangle \right]+\mathrm {NL} \left[\langle {\hat {1}}\rangle ,\Delta \langle {\hat {2}}\rangle ,\cdots ,\Delta \langle {\hat {N}}\rangle \right]+\mathrm {Hi} \left[\Delta \langle {\hat {N}}+1\rangle \right]\,,}$

где факторизации производят нелинейную связь ${\displaystyle \mathrm {NL} \left[\cdots \right]}$ среди кластеров. Очевидно, что введение кластеров не может устранить проблему иерархии прямого подхода, поскольку иерархические вклады остаются в динамике. Это свойство и появление нелинейных членов, кажется, указывают на сложности с применимостью подхода кластерного расширения.

Однако, как главное отличие от подхода прямого математического ожидания, как многочастичные, так и квантово-оптические взаимодействия генерируют корреляции последовательно.^[1][8]В некоторых актуальных задачах действительно возникает ситуация, когда только кластеры низшего порядка изначально не исчезают, в то время как кластеры более высокого порядка растут медленно. В этой ситуации можно отказаться от иерархической связи, ${\displaystyle \mathrm {Hi} \left[\Delta \langle {\hat {C}}+1\rangle \right]}$, на уровне, превышающем ${\displaystyle C}$кластеры частиц. В результате уравнения становятся замкнутыми, и нужно только вычислить динамику до ${\displaystyle C}$-частичных корреляций, чтобы объяснить соответствующие свойства системы. С ${\displaystyle C}$ обычно намного меньше, чем общее число частиц, подход кластерного расширения дает прагматическую и систематическую схему решения для исследований многих тел и квантовой оптики.^[1]

Расширения

Помимо описания квантовой динамики, естественно применить подход кластерного расширения для представления квантовых распределений. Одна из возможностей - представить квантовые флуктуации квантованной световой моды. ${\displaystyle {\hat {B}}}$ в терминах кластеров, что дает представление расширения кластера. В качестве альтернативы их можно выразить в терминах представления математического ожидания. ${\displaystyle \langle [{\hat {B}}^{\dagger }]^{J}{\hat {B}}^{K}\rangle }$. В этом случае подключение от ${\displaystyle \langle [{\hat {B}}^{\dagger }]^{J}{\hat {B}}^{K}\rangle }$ к матрице плотности уникален, но может привести к численно расходящемуся ряду. Эту проблему можно решить, введя преобразование расширения кластера (CET)^[9]что представляет собой распределение с точки зрения Гауссовский, определяемые синглетно-дублетными вкладами, умноженные на полином, определяемый кластерами более высокого порядка. Оказывается, эта формулировка обеспечивает крайнюю сходимость в преобразованиях представления в представление.

Эта полностью математическая проблема имеет прямое физическое приложение. Можно применить преобразование расширения кластера для надежного преобразования классического измерения в квантово-оптическое измерение.^[10]Это свойство во многом основано на способности CET описывать любое распределение в форме, в которой гауссово умножается на полиномиальный множитель. Этот метод уже используется для доступа и получения квантово-оптическая спектроскопия из набора классических спектроскопических измерений, которые могут быть выполнены с использованием высококачественных лазеры.

Смотрите также

• Полупроводниковые уравнения Блоха
• Уравнения люминесценции полупроводников
• Полупроводниковая квантовая оптика
• Квантовая оптическая спектроскопия
• Иерархия BBGKY

Рекомендации

1. Кира, М .; Кох, С. В. (2011). Полупроводниковая квантовая оптика. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521875097
2. Лауритцен, С. Л. (2002). Тиле: пионер в статистике. Oxford Univ. Нажмите. ISBN  978-0198509721
3. Кустер, Ф. (1958). «Связанные состояния системы многих частиц». Ядерная физика 7: 421–424. doi:10.1016/0029-5582(58)90280-3
4. Coester, F .; Кюммель, Х. (1960). «Короткодействующие корреляции в волновых функциях ядер». Ядерная физика 17: 477–485. doi:10.1016/0029-5582(60)90140-1
5. Кира, М .; Кох, С. (2006). «Квантовая оптическая спектроскопия полупроводников». Физический обзор A 73 (1). doi:10.1103 / PhysRevA.73.013813
6. Хауг, Х. (2006). Statistische Physik: Gleichgewichtstheorie und Kinetik. Springer. ISBN  978-3540256298
7. Бартлетт, Р. Дж. (2009). Многотельные методы в химии и физике: MBPT и теория связанных кластеров. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521818322
8. Mootz, M .; Кира, М .; Кох, С. В. (2012). «Последовательное наращивание квантово-оптических корреляций». Журнал Оптического общества Америки B 29 (2): A17. doi:10.1364 / JOSAB.29.000A17
9. Кира, М .; Кох, С. (2008). «Представление кластерного расширения в квантовой оптике». Физический обзор A 78 (2). doi:10.1103 / PhysRevA.78.022102
10. Кира, М .; Koch, S.W .; Smith, R.P .; Хантер, А. Э .; Кундифф, С. Т. (2011). «Квантовая спектроскопия с состояниями кота Шредингера». Природа Физика 7 (10): 799–804. doi:10.1038 / nphys2091

дальнейшее чтение

• Кира, М .; Кох, С. В. (2011). Полупроводниковая квантовая оптика. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521875097.
• Shavitt, I .; Бартлетт, Р. Дж. (2009). Многотельные методы в химии и физике: MBPT и теория связанных кластеров. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521818322.