Инварианты Зайберга – Виттена. - Seiberg–Witten invariants

В математике и особенно калибровочная теория, Инварианты Зайберга – Виттена. инварианты компактных гладких ориентированных 4-коллектор представлен Эдвард Виттен  (1994 ), с использованием Теория Зайберга – Виттена изучен Натан Зайберг и Виттен  (1994a, 1994b ) во время исследования Калибровочная теория Зайберга – Виттена.

Инварианты Зайберга – Виттена подобны Инварианты Дональдсона и может использоваться для доказательства аналогичных (но иногда немного более сильных) результатов о гладких 4-многообразиях. С ними технически намного проще работать, чем с инвариантами Дональдсона; Например, пространства модулей решений из Уравнения Зайберга – Виттена имеет тенденцию быть компактным, поэтому можно избежать сложных проблем, связанных с компактификацией пространств модулей в теории Дональдсона.

Подробное описание инвариантов Зайберга – Виттена см. В (Дональдсон 1996 ), (Мур 2001 ), (Морган 1996 ), (Николаеску 2000 ), (Скорпан 2005, Глава 10). Относительно симплектических многообразий и Инварианты Громова – Виттена. видеть (Таубес 2000 ). О ранней истории см. (Джексон 1995 ).

Вращение^c-конструкции

Вращение^c группа (в измерении 4)

${\displaystyle (U(1)\times \mathrm {Spin} (4))/(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ).}$

где ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ действует как знак обоих факторов. Группа имеет естественный гомоморфизм в SO (4) = Spin (4) / ± 1.

Для компактного ориентированного 4-многообразия выберем гладкое Риманова метрика ${\displaystyle g}$ с Леви Чивита связь ${\displaystyle \nabla ^{g}}$. Это сокращает структурную группу из связной компоненты GL (4)₊ к SO (4) и безвреден с гомотопической точки зрения. Спин^c-структура или сложная спиновая структура на M является редукцией структурной группы к Spin^c, т.е. поднятие структуры SO (4) на касательном расслоении к группе Spin^c. По теореме Hirzebruch и Хопф, каждое гладкое ориентированное компактное 4-многообразие ${\displaystyle M}$ допускает вращение^c структура.^[1] Существование спина^c структура эквивалентна наличие лифта второй Класс Штифеля-Уитни ${\displaystyle w_{2}(M)\in H^{2}(M,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$ в класс ${\displaystyle K\in H^{2}(X,\mathbb {Z} ).}$ Наоборот, такой подъем определяет спин^c конструкция до 2 кручений в ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} ).}$ А спиновая структура правильный требует более строгих ${\displaystyle w_{2}(M)=0.}$

Спин^c структура определяет (и определяется) спинорный пучок ${\displaystyle W=W^{+}\oplus W^{-}}$ исходящий из 2 сложных размерных положительных и отрицательных спинор представление Spin (4), на котором U (1) действует умножением. У нас есть ${\displaystyle K=c_{1}(W^{+})=c_{1}(W^{-})}$. Спинорный пучок ${\displaystyle W}$ поставляется с градуированным представлением расслоения алгебры Клиффорда, т.е. ${\displaystyle \gamma :\mathrm {Cliff} (M,g)\to {\mathcal {E}}{\mathit {nd}}(W)}$ такое, что для каждой 1 формы ${\displaystyle a}$ у нас есть ${\displaystyle \gamma (a):W^{\pm }\to W^{\mp }}$ и ${\displaystyle \gamma (a)^{2}=-g(a,a)}$. Есть уникальная эрмитова метрика ${\displaystyle h}$ на ${\displaystyle W}$ s.t. ${\displaystyle \gamma (a)}$ косоэрмитово для форм вещественной 1 ${\displaystyle a}$. Он дает индуцированное действие форм ${\displaystyle \wedge ^{*}M}$ путем антисимметризации. В частности, это дает изоморфизм ${\displaystyle \wedge ^{+}M\cong {\mathcal {E}}{\mathit {nd}}_{0}^{sh}(W^{+})}$ самодуальных двух форм с бесследными косоэрмитовыми эндоморфизмами ${\displaystyle W^{+}}$ которые затем идентифицируются.

Уравнения Зайберга – Виттена

Позволять ${\displaystyle L=\det(W^{+})\equiv \det(W^{-})}$ быть детерминантный линейный пучок с ${\displaystyle c_{1}(L)=K}$. Для каждого подключения ${\displaystyle \nabla _{A}=\nabla _{0}+A}$ с ${\displaystyle A\in iA_{\mathbb {R} }^{1}(M)}$ на ${\displaystyle L}$, существует уникальная спинорная связь ${\displaystyle \nabla ^{A}}$ на ${\displaystyle W}$ т.е. такое соединение, что ${\displaystyle \nabla _{X}^{A}(\gamma (a)):=[\nabla _{X}^{A},\gamma (a)]=\gamma (\nabla _{X}^{g}a)}$ за каждую 1 форму ${\displaystyle a}$ и векторное поле ${\displaystyle X}$. Затем связь Клиффорда определяет оператор Дирака ${\displaystyle D^{A}=\gamma \otimes 1\circ \nabla ^{A}=\gamma (dx^{\mu })\nabla _{\mu }^{A}}$ на ${\displaystyle W}$. Группа карт ${\displaystyle {\mathcal {G}}=\{u:M\to U(1)\}}$ действует как калибровочная группа на множестве всех связностей на ${\displaystyle L}$. Действие ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ может быть "фиксированным калибром", например по условию ${\displaystyle d^{*}A=0}$, оставляя эффективную параметризацию пространства всех таких связей ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbb {R} )^{\mathrm {harm} }/H^{1}(M,\mathbb {Z} )\oplus d^{*}A_{\mathbb {R} }^{+}(M)}$ с остаточным ${\displaystyle U(1)}$ калибровочная группа действий.

Написать ${\displaystyle \phi }$ для спинорного поля положительной киральности, т. е. участка ${\displaystyle W^{+}}$. Уравнения Зайберга – Виттена для ${\displaystyle (\phi ,\nabla ^{A})}$ есть сейчас

${\displaystyle D^{A}\phi =0}$

${\displaystyle F_{A}^{+}=\sigma (\phi )+i\omega }$

Здесь ${\displaystyle F^{A}\in iA_{\mathbb {R} }^{2}(M)}$ замкнутая 2-форма кривизны ${\displaystyle \nabla ^{A}}$, ${\displaystyle F_{A}^{+}}$ - его самодуальная часть, а σ - отображение квадрата ${\displaystyle \phi \mapsto \left(\phi h(\phi ,-)-{\tfrac {1}{2}}h(\phi ,\phi )1_{W^{+}}\right)}$ из ${\displaystyle W^{+}}$ бесследному эрмитову эндоморфизму ${\displaystyle W^{+}}$ отождествляется с воображаемой самодуальной 2-формой, и ${\displaystyle \omega }$ это настоящая самодуальная двойная форма, часто принимаемая за ноль или гармоническую. Калибровочная группа ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ действует в пространстве решений. После добавления манометра условие фиксации ${\displaystyle d^{*}A=0}$ невязка U (1) действует свободно, за исключением «приводимых решений» с ${\displaystyle \phi =0}$. По техническим причинам уравнения фактически определены в подходящих Соболевские пространства достаточно высокой регулярности.

Применение формулы Вайтценбека

${\displaystyle {\nabla ^{A}}^{*}\nabla ^{A}\phi =(D^{A})^{2}\phi -({\tfrac {1}{2}}\gamma (F_{A}^{+})+s)\phi }$

и личность

${\displaystyle \Delta _{g}|\phi |_{h}^{2}=2h({\nabla ^{A}}^{*}\nabla ^{A}\phi ,\phi )-2|\nabla ^{A}\phi |_{g\otimes h}}$

решениям уравнений дает равенство

${\displaystyle \Delta |\phi |^{2}+|\nabla ^{A}\phi |^{2}+{\tfrac {1}{4}}|\phi |^{4}=(-s)|\phi |^{2}-{\tfrac {1}{2}}h(\phi ,\gamma (\omega )\phi )}$.

Если ${\displaystyle |\phi |^{2}}$ максимально ${\displaystyle \Delta |\phi |^{2}\geq 0}$, так что это показывает, что для любого решения sup-норма ${\displaystyle \|\phi \|_{\infty }}$ является априори ограничена оценкой, зависящей только от скалярной кривизны ${\displaystyle s}$ из ${\displaystyle (M,g)}$ и самодвойственная форма ${\displaystyle \omega }$. После добавления условия фиксации калибровки эллиптическая регулярность уравнения Дирака показывает, что на самом деле решения априори ограничены в соболевских нормах произвольной регулярности, что показывает, что все решения гладкие, а пространство всех решений с точностью до калибровочной эквивалентности компактно.

Решения ${\displaystyle (\phi ,\nabla ^{A})}$ уравнений Зайберга – Виттена называются монополи, поскольку эти уравнения являются уравнения поля безмассового магнитные монополи на коллекторе ${\displaystyle M}$.

Пространство модулей решений

На пространство решений действует калибровочная группа, и фактор по этому действию называется пространство модулей монополей.

Пространство модулей обычно представляет собой многообразие. Для общих метрик после фиксации калибровки уравнения вырезают пространство решений в поперечном направлении и таким образом определяют гладкое многообразие. Остаточная U (1) «калибровочно фиксированная» калибровочная группа U (1) действует свободно, за исключением приводимых монополей, т.е. решений с ${\displaystyle \phi =0}$. Посредством Теорема Атьи-Зингера об индексе пространство модулей конечномерно и имеет «виртуальную размерность»

${\displaystyle (K^{2}-2\chi _{\mathrm {top} }(M)-3\operatorname {sign} (M))/4}$

что для общих показателей является фактическим измерением, отличным от приводимых. Это означает, что пространство модулей в общем случае пусто, если виртуальная размерность отрицательна.

Для самостоятельной двойной формы 2 ${\displaystyle \omega }$, приводимые решения имеют ${\displaystyle \phi =0}$, а значит, определяются связями ${\displaystyle \nabla _{A}=\nabla _{0}+A}$ на ${\displaystyle L}$ такой, что ${\displaystyle F_{0}+dA=i(\alpha +\omega )}$ для некоторой антисамодуальной 2-формы ${\displaystyle \alpha }$. Посредством Разложение Ходжа, поскольку ${\displaystyle F_{0}}$ замкнуто, единственное препятствие к решению этого уравнения для ${\displaystyle A}$ данный ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \omega }$, - гармоническая часть ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \omega }$, а гармоническая часть или, что то же самое, (де Рама) класс когомологий формы кривизны, т.е. ${\displaystyle [F_{0}]=F_{0}^{\mathrm {harm} }=i(\omega ^{\mathrm {harm} }+\alpha ^{\mathrm {harm} })\in H^{2}(M,\mathbb {R} )}$. Таким образом, поскольку ${\displaystyle [{\tfrac {1}{2\pi i}}F_{0}]=K}$ необходимое и достаточное условие приводимого решения:

${\displaystyle \omega ^{\mathrm {harm} }\in 2\pi K+{\mathcal {H}}^{-}\in H^{2}(X,\mathbb {R} )}$

куда ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{-}}$ пространство гармонических антисамодуальных 2-форм. Две формы ${\displaystyle \omega }$ является ${\displaystyle K}$-допустимое, если это условие нет встречаются и решения обязательно неприводимы. В частности, для ${\displaystyle b^{+}\geq 1}$, пространство модулей является (возможно, пустым) компактным многообразием для метрик общего положения и допустимым ${\displaystyle \omega }$. Обратите внимание, что если ${\displaystyle b_{+}\geq 2}$ пространство ${\displaystyle K}$-допустимые две формы связаны, тогда как если ${\displaystyle b_{+}=1}$ он состоит из двух связанных компонентов (камер). Пространству модулей можно дать естественную ориентацию из ориентации на пространстве положительных гармонических 2 форм и первых когомологий.

В априори оценка решений, также дает априори границы на ${\displaystyle F^{\mathrm {harm} }}$. Следовательно, (для фиксированного ${\displaystyle \omega }$) только конечное число ${\displaystyle K\in H^{2}(M,\mathbb {Z} )}$, а значит, только конечное число Spin^c структуры с непустым пространством модулей.

Инварианты Зайберга – Виттена.

Инвариант Зайберга – Виттена четырехмерного многообразия. M с б₂⁺(M) ≥ 2 - отображение из спина^c структуры на M к Z. Значение инварианта на спине^c Структуру проще всего определить, когда пространство модулей нульмерно (для общей метрики). В данном случае значение - это количество элементов пространства модулей, подсчитанное со знаками.

Инвариант Зайберга – Виттена также можно определить, когда б₂⁺(M) = 1, но тогда это зависит от выбора камеры.

Многообразие M Говорят, что из простой тип если инвариант Зайберга-Виттена обращается в нуль всякий раз, когда ожидаемая размерность пространства модулей отлична от нуля. В гипотеза простого типа заявляет, что если M просто связано и б₂⁺(M) ≥ 2, то многообразие простого типа. Это верно для симплектических многообразий.

Если коллектор M имеет метрику положительной скалярной кривизны и б₂⁺(M) ≥ 2, то все инварианты Зайберга – Виттена M исчезнуть.

Если коллектор M - связная сумма двух многообразий, каждое из которых имеет б₂⁺ ≥ 1, то все инварианты Зайберга – Виттена M исчезнуть.

Если коллектор M односвязно и симплектично и б₂⁺(M) ≥ 2, то он имеет спин^c структура s на котором инвариант Зайберга – Виттена равен 1. В частности, его нельзя разбить как связную сумму многообразий с б₂⁺ ≥ 1.

Рекомендации

1. Hirzebruch, F .; Хопф, Х. (1958). "Felder von Flächenelementen в 4-х мерном Mannigfaltigkeiten". Математика. Анна. 136: 156–172. Дои:10.1007 / BF01362296. HDL:21.11116 / 0000-0004-3A18-1.

• Дональдсон, Саймон К. (1996), "Уравнения Зайберга-Виттена и топология 4-многообразий", Бюллетень Американского математического общества, (Н.С.), 33 (1): 45–70, Дои:10.1090 / S0273-0979-96-00625-8, МИСТЕР  1339810
• Джексон, Аллин (1995), Революция в математике, заархивировано из оригинал 26 апреля 2010 г.
• Морган, Джон В. (1996), Уравнения Зайберга – Виттена и приложения к топологии гладких четырехмерных многообразий, Математические заметки, 44, Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, стр. viii + 128, ISBN  978-0-691-02597-1, МИСТЕР  1367507
• Мур, Джон Дуглас (2001), Лекции по инвариантам Зайберга-Виттена, Конспект лекций по математике, 1629 (2-е изд.), Берлин: Springer-Verlag, стр. Viii + 121, CiteSeerX  10.1.1.252.2658, Дои:10.1007 / BFb0092948, ISBN  978-3-540-41221-2, МИСТЕР  1830497
• Нэш, гл. (2001) [1994], «Уравнения Зайберга-Виттена», Энциклопедия математики, EMS Press
• Николаеску, Ливиу И. (2000), Заметки по теории Зайберга-Виттена (PDF), Аспирантура по математике, 28, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. Xviii + 484, Дои:10,1090 / г / м2 / 028, ISBN  978-0-8218-2145-9, МИСТЕР  1787219
• Скорпан, Александру (2005), Дикий мир 4-многообразий, Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-3749-8, МИСТЕР  2136212.
• Зайберг, Натан; Виттен, Эдвард (1994a), "Электромагнитная двойственность, монопольная конденсация и удержание в N = 2 суперсимметричной теории Янга-Миллса", Ядерная физика B, 426 (1): 19–52, arXiv:hep-th / 9407087, Bibcode:1994НуФБ.426 ... 19С, Дои:10.1016/0550-3213(94)90124-4, МИСТЕР  1293681; "Опечатка", Ядерная физика B, 430 (2): 485–486, 1994, Bibcode:1994НуФБ.430..485., Дои:10.1016/0550-3213(94)00449-8, МИСТЕР  1303306
• Зайберг, Н.; Виттен, Э. (1994b), "Монополи, двойственность и нарушение киральной симметрии в N = 2 суперсимметричной КХД", Ядерная физика B, 431 (3): 484–550, arXiv:hep-th / 9408099, Bibcode:1994НуФБ.431..484С, Дои:10.1016/0550-3213(94)90214-3, МИСТЕР  1306869
• Таубс, Клиффорд Генри (2000), Вентворт, Ричард (редактор), Инварианты Зайберга, Виттена и Громова для симплектических 4-многообразий, Первая серия международных лекций для прессы, 2, Somerville, MA: International Press, стр. Vi + 401, ISBN  978-1-57146-061-5, МИСТЕР  1798809
• Виттен, Эдвард (1994), «Монополи и четырехмерные многообразия»., Письма о математических исследованиях, 1 (6): 769–796, arXiv:hep-th / 9411102, Bibcode:1994MRLet ... 1..769W, Дои:10.4310 / MRL.1994.v1.n6.a13, МИСТЕР  1306021, заархивировано из оригинал на 2013-06-29