Секущий метод - Secant method

Первые две итерации метода секущих. Красная кривая показывает функцию ж, а синие линии - секущие. В этом конкретном случае метод секущей не сходится к видимому корню.

В численный анализ, то секущий метод это алгоритм поиска корней который использует последовательность корни из секущие линии чтобы лучше аппроксимировать корень функция ж. Секущий метод можно рассматривать как конечно-разностный приближение Метод Ньютона. Однако метод секущей предшествует методу Ньютона более чем на 3000 лет.^[1]

Метод

Секущий метод определяется отношение повторения

${\displaystyle x_{n}=x_{n-1}-f(x_{n-1}){\frac {x_{n-1}-x_{n-2}}{f(x_{n-1})-f(x_{n-2})}}={\frac {x_{n-2}f(x_{n-1})-x_{n-1}f(x_{n-2})}{f(x_{n-1})-f(x_{n-2})}}.}$

Как видно из рекуррентного соотношения, метод секущих требует двух начальных значений: Икс₀ и Икс₁, который в идеале должен быть расположен близко к корню.

Вывод метода

Начиная с начальных значений Икс₀ и Икс₁, проведем прямую через точки (Икс₀, ж(Икс₀)) и (Икс₁, ж(Икс₁)), как показано на рисунке выше. В форме наклон-пересечение уравнение этой прямой имеет вид

${\displaystyle y={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}(x-x_{1})+f(x_{1}).}$

Корень этой линейной функции, то есть значение Икс такой, что у = 0 является

${\displaystyle x=x_{1}-f(x_{1}){\frac {x_{1}-x_{0}}{f(x_{1})-f(x_{0})}}.}$

Затем мы используем это новое значение Икс так как Икс₂ и повторите процесс, используя Икс₁ и Икс₂ вместо того Икс₀ и Икс₁. Мы продолжаем этот процесс, решая для Икс₃, Икс₄и т. д., пока мы не достигнем достаточно высокого уровня точности (достаточно малая разница между Икс_п и Икс_п−1):

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{2}&=x_{1}-f(x_{1}){\frac {x_{1}-x_{0}}{f(x_{1})-f(x_{0})}},\\[6pt]x_{3}&=x_{2}-f(x_{2}){\frac {x_{2}-x_{1}}{f(x_{2})-f(x_{1})}},\\[6pt]&\,\,\,\vdots \\[6pt]x_{n}&=x_{n-1}-f(x_{n-1}){\frac {x_{n-1}-x_{n-2}}{f(x_{n-1})-f(x_{n-2})}}.\end{aligned}}}$

Конвергенция

Повторяется ${\displaystyle x_{n}}$ метода секущих сходятся к корню ${\displaystyle f}$ если начальные значения ${\displaystyle x_{0}}$ и ${\displaystyle x_{1}}$ достаточно близки к корню. В порядок сходимости является φ, где

${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.618}$

это Золотое сечение. В частности, сходимость суперлинейная, но не совсем квадратичный.

Этот результат верен только при некоторых технических условиях, а именно: ${\displaystyle f}$ быть дважды непрерывно дифференцируемым и рассматриваемый корень простой (т.е. с кратностью 1).

Если начальные значения недостаточно близки к корню, то нет гарантии, что метод секущей сходится. Не существует общего определения термина «достаточно близко», но критерий связан с тем, насколько «волнистой» функция находится на интервале. ${\displaystyle [x_{0},x_{1}]}$. Например, если ${\displaystyle f}$ дифференцируема на этом интервале, и есть точка, где ${\displaystyle f'=0}$ на интервале, то алгоритм может не сойтись.

Сравнение с другими методами поиска корней

Метод секущей не требует, чтобы корень оставался в квадратных скобках, как метод деления пополам делает, и, следовательно, не всегда сходится. В метод ложной позиции (или Regula Falsi) использует ту же формулу, что и метод секущей. Однако формула не применяется к ${\displaystyle x_{n-1}}$ и ${\displaystyle x_{n-2}}$, как и метод секущих, но на ${\displaystyle x_{n-1}}$ и на последней итерации ${\displaystyle x_{k}}$ такой, что ${\displaystyle f(x_{k})}$ и ${\displaystyle f(x_{n-1})}$ иметь другой знак. Это означает, что метод ложной позиции всегда сходится.

Формула рекуррентности метода секущих может быть получена из формулы для Метод Ньютона

${\displaystyle x_{n}=x_{n-1}-{\frac {f(x_{n-1})}{f'(x_{n-1})}}}$

используя конечно-разностный приближение

${\displaystyle f'(x_{n-1})\approx {\frac {f(x_{n-1})-f(x_{n-2})}{x_{n-1}-x_{n-2}}}.}$

Метод секущих можно интерпретировать как метод, в котором производная заменяется приближением и, таким образом, является квазиньютоновский метод.

Если мы сравним метод Ньютона с методом секущей, мы увидим, что метод Ньютона сходится быстрее (порядок 2 по сравнению с φ ≈ 1,6). Однако метод Ньютона требует оценки как ${\displaystyle f}$ и его производная ${\displaystyle f'}$ на каждом этапе, в то время как метод секущих требует только оценки ${\displaystyle f}$. Следовательно, на практике метод секущей иногда может быть быстрее. Например, если мы предположим, что оценка ${\displaystyle f}$ занимает столько же времени, сколько и вычисление его производной, и мы пренебрегаем всеми остальными затратами, мы можем выполнить два шага метода секущей (уменьшение логарифма ошибки на коэффициент φ² ≈ 2,6) по той же цене, что и один шаг метода Ньютона (уменьшение логарифма ошибки в 2 раза), поэтому метод секущей работает быстрее. Однако, если мы рассмотрим параллельную обработку для вычисления производной, метод Ньютона оправдает себя, будучи более быстрым во времени, хотя при этом затрачивая больше шагов.

Обобщения

Метод Бройдена является обобщением метода секущих более чем на одно измерение.

На следующем графике показана функция ж красным, а последняя секущая линия - жирным синим. На графике Икс пересечение секущей линии кажется хорошим приближением корня из ж.

Расчетный пример

Ниже метод секущей реализован в Python язык программирования.

Затем он применяется для нахождения корня функции ж(Икс) = Икс² − 612 с начальными точками ${\displaystyle x_{0}=10}$ и ${\displaystyle x_{1}=30}$

def secant_method(ж, x0, x1, итерации):    "" "Вернуть корень, вычисленный с использованием метода секанса." ""    для я в ассортимент(итерации):        x2 = x1 - ж(x1) * (x1 - x0) / плавать(ж(x1) - ж(x0))        x0, x1 = x1, x2    вернуть x2def f_example(Икс):    вернуть Икс ** 2 - 612корень = secant_method(f_example, 10, 30, 5)Распечатать("Корень: {}".формат(корень))  # Корень: 24.738633748750722

Заметки

1. Папаконстантину, Дж., Историческое развитие метода секущих в 1-D, получено 2011-06-29

Смотрите также

• Метод ложного положения

использованная литература

• Авриэль, Мардохей (1976). Нелинейное программирование: анализ и методы.. Прентис Холл. С. 220–221. ISBN  0-13-623603-0.
• Аллен, Майрон Б .; Исааксон, Эли Л. (1998). Численный анализ для прикладной науки. Джон Уайли и сыновья. С. 188–195. ISBN  978-0-471-55266-6.

внешние ссылки

• Секущий метод Примечания, PPT, Mathcad, Maple, Mathematica, Matlab at Институт целостных численных методов
• Вайсштейн, Эрик В. «Метод секанса». MathWorld.