Список Шварца - Schwarzs list

В математической теории специальные функции, Список Шварца или Стол Шварца это список из 15 случаев, найденных Герман Шварц  (1873, п. 323) когда гипергеометрические функции можно выразить алгебраически. Точнее, это список параметров, определяющих случаи, в которых гипергеометрическое уравнение имеет конечный группа монодромии, или, что то же самое, имеет два независимых решения, которые алгебраические функции. В нем перечислено 15 случаев, разделенных классом изоморфизма группы монодромии (исключая случай циклическая группа ) и впервые был получен Шварцем методами комплексной аналитической геометрии. Соответственно, это утверждение не напрямую в терминах параметров, задающих гипергеометрическое уравнение, а в терминах величин, используемых для описания определенных сферические треугольники.

Более широкое значение таблицы для общих дифференциальных уравнений второго порядка на комплексной плоскости было показано Феликс Кляйн, который доказал результат о том, что случаи конечной монодромии для таких уравнений и регулярные особенности могут быть отнесены к изменениям переменной (сложные аналитические отображения Сфера Римана к себе), которые приводят уравнение к гипергеометрической форме. На самом деле верно и другое: список Шварца лежит в основе всех уравнений второго порядка с регулярными особенностями на компактных Римановы поверхности имеющий конечную монодромию, путем отката от гипергеометрического уравнения на сфере Римана с помощью комплексного аналитического отображения степени, вычисляемой по данным уравнения.^[1][2]

Число	${\displaystyle \lambda }$	${\displaystyle \mu }$	${\displaystyle \nu }$	площадь/${\displaystyle \pi }$	многогранник
1	1/2	1/2	п/п (≤ 1/2)	п/п	Двугранный
2	1/2	1/3	1/3	1/6	Тетраэдр
3	2/3	1/3	1/3	2/6	Тетраэдр
4	1/2	1/3	1/4	1/12	Куб / октаэдр
5	2/3	1/4	1/4	2/12	Куб / октаэдр
6	1/2	1/3	1/5	1/30	Икосаэдр / Додекаэдр
7	2/5	1/3	1/3	2/30	Икосаэдр / Додекаэдр
8	2/3	1/5	1/5	2/30	Икосаэдр / Додекаэдр
9	1/2	2/5	1/5	3/30	Икосаэдр / Додекаэдр
10	3/5	1/3	1/5	4/30	Икосаэдр / Додекаэдр
11	2/5	2/5	2/5	6/30	Икосаэдр / Додекаэдр
12	2/3	1/3	1/5	6/30	Икосаэдр / Додекаэдр
13	4/5	1/5	1/5	6/30	Икосаэдр / Додекаэдр
14	1/2	2/5	1/3	7/30	Икосаэдр / Додекаэдр
15	3/5	2/5	1/3	10/30	Икосаэдр / Додекаэдр

Цифры ${\displaystyle \lambda ,\mu ,\nu }$ (до перестановок, смены знаков и добавления ${\displaystyle (\ell ,m,n)\in \mathbb {Z} ^{3}}$ с ${\displaystyle \ell +m+n}$ даже) различия ${\displaystyle 1-c,c-a-b,b-a}$ экспонентов гипергеометрическое дифференциальное уравнение в трех особых точках ${\displaystyle 0,1,\infty }$. Они являются рациональными числами тогда и только тогда, когда ${\displaystyle a,b}$ и ${\displaystyle c}$ являются, вопрос, который имеет значение в арифметике, а не в геометрических подходах к теории.

Дальнейшая работа

Расширение результатов Шварца было дано Т. Кимурой, который рассматривал случаи, когда компонент идентичности из дифференциальная группа Галуа гипергеометрического уравнения является разрешимая группа.^[3][4] Общий результат, связывающий дифференциальную группу Галуа грамм а группа монодромии Γ утверждает, что грамм это Зариски закрытие Γ - эта теорема приписывается в книге Мацуда к Мичио Куга. По общей дифференциальной теории Галуа полученная таблица Кимуры-Шварца классифицирует случаи интегрируемости уравнения алгебраическими функциями и квадратуры.

Другой соответствующий список - это К. Такеучи, который классифицировал (гиперболический) группы треугольников которые арифметические группы (85 примеров).^[5]

Эмиль Пикар стремился расширить работу Шварца в сложной геометрии с помощью обобщенная гипергеометрическая функция, для построения случаев уравнений, в которых монодромия дискретная группа в проективная унитарная группа ПУ(1, п). Пьер Делинь и Джордж Мостоу использовал свои идеи для построения решетки в проективной унитарной группе. В этой работе восстанавливается в классическом случае конечность списка Такеучи, и с помощью характеристики построенных ими решеток, которые являются арифметическими группами, предоставлены новые примеры неарифметических решеток в ПУ(1, п).^[6]

Балдассари применил универсальность Клейна, чтобы обсудить алгебраические решения Уравнение Ламе с помощью списка Шварца.^[7]

Другие гипергеометрические функции, которые могут быть выражены алгебраически, такие как те, что в списке Шварца, возникают в теоретической физике в контексте ${\displaystyle T{\overline {T}}}$ деформации двумерных калибровочных теорий. ^[8]

Смотрите также

• Треугольник Шварца

Примечания

1. Современное лечение есть у F. Baldassarri, B. Dwork, О линейных дифференциальных уравнениях второго порядка с алгебраическими решениями, Амер. J. Math. 101 (1) (1979) 42–76.
2. http://archive.numdam.org/ARCHIVE/GAU/GAU_1986-1987__14_/GAU_1986-1987__14__A12_0/GAU_1986-1987__14__A12_0.pdf, стр. 5-6.
3. http://fe.math.kobe-u.ac.jp/FE/Free/vol12/fe12-18.pdf
4. http://www.intlpress.com/MAA/p/2001/8_1/MAA-8-1-113-120.pdf на стр. 116 для рецептуры.
5. http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.jmsj/1240433796
6. http://archive.numdam.org/ARCHIVE/PMIHES/PMIHES_1986__63_/PMIHES_1986__63__5_0/PMIHES_1986__63__5_0.pdf
7. Ф. Бальдассарри, Об алгебраических решениях дифференциального уравнения Ламе, J. Дифференциальные уравнения 41 (1) (1981) 44–58. Исправление в Алгебраические решения уравнения Ламе. (PDF), Роберт С. Майер.
8. Бреннан, Т. Дэниэл; Ферко, Кристиан; Сетхи, Савдип (2019). "Неабелев аналог DBI из ${\displaystyle T{\overline {T}}}$". arXiv:1912.12389 [hep-th ].

Рекомендации

• Мацуда, Мичихико (1985), Лекции по алгебраическим решениям гипергеометрических дифференциальных уравнений (PDF), Лекции по математике, 15, Токио: Kinokuniya Company Ltd., МИСТЕР1104881
• Шварц, Х.А. (1873 г.), "Ueber diejenigen Fälle in wellchen die Gaussische hypergeometrische Reihe eine algebraische Function ihres vierten Elementes darstellt", Журнал für die reine und angewandte Mathematik, 75: 292–335, ISSN  0075-4102

внешняя ссылка

• К нелинейному списку Шварца (PDF)