Гипотеза Шайнермана - Scheinermans conjecture

В математика, Гипотеза Шайнермана, теперь теорема, утверждает, что каждый планарный граф это граф пересечений набора отрезки линии в плоскости. Эта гипотеза была сформулирована Э. Р. Шайнерман в его докторской степени. Тезис (1984), следуя более ранним результатам, каждый планарный граф может быть представлен как граф пересечений набора простых кривых на плоскости (Эрлих, Эвен и Тарджан, 1976 ). Это доказали Джереми Чалопен и Даниэль Гонсалвес (2009 ).

Например, график грамм Показанный ниже слева может быть представлен как график пересечения набора сегментов, показанных ниже справа. Здесь, вершины из грамм представлены отрезками прямых линий и края из грамм представлены точками пересечения.

 

Шайнерман также предположил, что отрезков только с тремя направлениями будет достаточно для представления 3-раскрашиваемый графики и Запад (1991) предположил, что аналогично любой планарный граф может быть представлен с использованием четырех направлений. Если граф представлен сегментами, имеющими только k направлениях и никакие два сегмента не принадлежат одной линии, тогда график можно раскрасить, используя k цвета, по одному цвету для каждого направления. Следовательно, если каждый плоский граф может быть представлен таким образом только с четырьмя направлениями, то теорема четырех цветов следует.

Хартман, Ньюман и Зив (1991) и де Фрейссе, Оссона де Мендес и Пах (1991) доказал, что каждый двудольный планарный график можно представить как график пересечения горизонтальных и вертикальных отрезков; для этого результата см. также Чизович, Кранакис и Уррутия (1998). Де Кастро и др. (2002) доказал, что каждый без треугольников планарный граф можно представить как граф пересечения отрезков прямой, имеющих только три направления; из этого результата следует Теорема Грёча (Грётч 1959 ), что планарные графы без треугольников можно раскрасить в три цвета. де Фрейссе и Оссона де Мендес (2005) доказал, что если планарный граф грамм может быть 4-х цветным таким образом, что ни один разделительный цикл не использует все четыре цвета, тогда грамм имеет представление в виде графа пересечений сегментов.

Чалопен, Гонсалвес и Очем (2007) Доказано, что плоские графы находятся в 1-STRING, классе графов пересечений простых кривых на плоскости, которые пересекаются не более чем в одной точке пересечения на пару. Этот класс занимает промежуточное положение между графами пересечений отрезков, фигурирующих в гипотезе Шейнермана, и графы пересечений неограниченных простых кривых из результатов Ehrlich et al. Его также можно рассматривать как обобщение теорема об упаковке кругов, который показывает тот же результат, когда кривые могут пересекаться по касательной. Доказательство гипотезы Чалопен и Гонсалвес (2009) был основан на улучшении этого результата.

Рекомендации

• De Castro, N .; Cobos, F.J .; Dana, J.C .; Маркес, А. (2002), «Планарные графы без треугольников как графы пересечений отрезков» (PDF), Журнал графических алгоритмов и приложений, 6 (1): 7–26, Дои:10.7155 / jgaa.00043, МИСТЕР  1898201.
• Chalopin, J .; Гонсалвес, Д. (2009), «Каждый планарный граф - это граф пересечений отрезков на плоскости» (PDF), Симпозиум ACM по теории вычислений.
• Chalopin, J .; Gonçalves, D .; Очем, П. (2007), "Планарные графы в 1-STRING", Материалы восемнадцатого ежегодного симпозиума ACM-SIAM по дискретным алгоритмам, ACM и SIAM, стр. 609–617..
• Czyzowicz, J .; Kranakis, E .; Уррутия, Дж. (1998), "Простое доказательство представления двудольных плоских графов как контактных графов ортогональных отрезков прямых", Письма об обработке информации, 66 (3): 125–126, Дои:10.1016 / S0020-0190 (98) 00046-5.
• de Fraysseix, H .; Оссона де Мендес, П. (2005), «Представления контактов и пересечений», в Пах, Дж. (ред.), Графический рисунок, 12-й Международный симпозиум, GD 2004, Конспект лекций по информатике, 3383, Springer-Verlag, стр. 217–227..
• de Fraysseix, H .; Оссона де Мендес, П.; Пах, Дж. (1991), «Представление планарных графов отрезками», Интуитивная геометрия, 63: 109–117, МИСТЕР  1383616.
• Эрлих, G .; Даже, S .; Тарьян, Р.Э. (1976), «Графики пересечений кривых на плоскости», Журнал комбинаторной теории, Серия B, 21 (1): 8–20, Дои:10.1016/0095-8956(76)90022-8, МИСТЕР  0505857.
• Грётч, Герберт (1959), "Zur Theorie der diskreten Gebilde, VII: Ein Dreifarbensatz für dreikreisfreie Netze auf der Kugel", Wiss. Z. Martin-Luther-U., Halle-Wittenberg, Math.-Nat. Рейхе, 8: 109–120, МИСТЕР  0116320.
• Hartman, I. B.-A .; Newman, I .; Зив, Р. (1991), "О сеточных графах пересечения", Дискретная математика, 87 (1): 41–52, Дои:10.1016 / 0012-365X (91) 90069-E, МИСТЕР  1090188.
• Шайнерман, Э. (1984), Классы пересечений и множественные параметры пересечений графов, Кандидат наук. диссертация, Принстонский университет.
• Вест, Д. (1991), «Открытые задачи №2», Информационный бюллетень SIAM Activity Group по дискретной математике, 2 (1): 10–12.