Топология Саллена – Ки - Sallen–Key topology

В Топология Саллена – Ки является топология электронного фильтра используется для реализации второго порядка активные фильтры что особенно ценится за его простоту.^[1] Это выродиться форма управляемый напряжением источник напряжения (VCVS) топология фильтра.

Объяснение работы

Фильтр VCVS использует усилитель напряжения с практически бесконечным входное сопротивление и ноль выходное сопротивление реализовать 2-полюсный НЧ, высокая частота, Bandpass, заглушка, или же allpass отклик. Фильтр VCVS позволяет Добротность и полоса пропускания получить без использования индукторы. Фильтр VCVS также имеет преимущество независимости: фильтры VCVS могут быть включены в каскад, не влияя на настройку друг друга. Фильтр Саллена – Ки - это вариант фильтра VCVS, в котором используется единичное усиление напряжения усилитель (т.е. чистый буферный усилитель ). Он был представлен Р. П. Саллен и Э. Л. Ки из Массачусетский технологический институт Лаборатория Линкольна в 1955 г.^[2]

История и реализация

В 1955 году Саллен и Ки использовали вакуумная труба катодный повторитель усилители; Катодный повторитель представляет собой разумное приближение к усилителю с единичным коэффициентом усиления по напряжению. Современные реализации аналоговых фильтров могут использовать операционные усилители. Благодаря высокому входному импедансу и легко выбираемому усилению операционный усилитель в обычном неинвертирующая конфигурация часто используется в реализациях VCVS.^{[нужна цитата ]} В реализациях фильтров Саллена – Ки часто используется операционный усилитель, сконфигурированный как повторитель напряжения; тем не мение, излучатель или же источник повторители - другой распространенный выбор для буферного усилителя.

Чувствительность к допускам компонентов

Фильтры VCVS относительно устойчивы к компонентам толерантность, но для получения высокой добротности может потребоваться экстремальный разброс значений компонентов или высокий коэффициент усиления усилителя.^[1] Фильтры более высокого порядка могут быть получены каскадированием двух или более каскадов.

Общая топология Саллена – Ки

Рисунок 1. Общая топология фильтра Саллена – Ки

Общая топология фильтра Саллена – Ки с единичным усилением, реализованная с единичным усилением операционный усилитель показан на рисунке 1. Следующий анализ основан на предположении, что операционный усилитель идеально.

Поскольку операционный усилитель (ОУ) находится в негативный отзыв конфигурация, его v₊ и v₋ входы должны совпадать (т. е. v₊ = v₋). Однако инвертирующий вход v₋ подключается непосредственно к выходу v_из, и так

${\displaystyle v_{+}=v_{-}=v_{\text{out}}.}$

(1)

К Действующий закон Кирхгофа (KCL) применяется на v_Икс узел,

${\displaystyle {\frac {v_{\text{in}}-v_{x}}{Z_{1}}}={\frac {v_{x}-v_{\text{out}}}{Z_{3}}}+{\frac {v_{x}-v_{-}}{Z_{2}}}.}$

(2)

Комбинируя уравнения (1) и (2),

${\displaystyle {\frac {v_{\text{in}}-v_{x}}{Z_{1}}}={\frac {v_{x}-v_{\text{out}}}{Z_{3}}}+{\frac {v_{x}-v_{\text{out}}}{Z_{2}}}.}$

Применение уравнения (1) и KCL на неинвертирующем входе OA v₊ дает

${\displaystyle {\frac {v_{x}-v_{\text{out}}}{Z_{2}}}={\frac {v_{\text{out}}}{Z_{4}}},}$

что обозначает

${\displaystyle v_{x}=v_{\text{out}}\left({\frac {Z_{2}}{Z_{4}}}+1\right).}$

(3)

Объединение уравнений (2) и (3) дает

${\displaystyle {\frac {v_{\text{in}}-v_{\text{out}}\left({\frac {Z_{2}}{Z_{4}}}+1\right)}{Z_{1}}}={\frac {v_{\text{out}}\left({\frac {Z_{2}}{Z_{4}}}+1\right)-v_{\text{out}}}{Z_{3}}}+{\frac {v_{\text{out}}\left({\frac {Z_{2}}{Z_{4}}}+1\right)-v_{\text{out}}}{Z_{2}}}.}$

(4)

Преобразуя уравнение (4), получаем функция передачи

${\displaystyle {\frac {v_{\text{out}}}{v_{\text{in}}}}={\frac {Z_{3}Z_{4}}{Z_{1}Z_{2}+Z_{3}(Z_{1}+Z_{2})+Z_{3}Z_{4}}},}$

(5)

который обычно описывает второй порядок линейная инвариантная во времени (LTI) система.

Если ${\displaystyle Z_{3}}$ компонент был подключен к земле, фильтр будет делитель напряжения состоит из ${\displaystyle Z_{1}}$ и ${\displaystyle Z_{3}}$ компоненты соединены каскадом с другим делителем напряжения, состоящим из ${\displaystyle Z_{2}}$ и ${\displaystyle Z_{4}}$ составные части. Буфер бутстрепы "дно" ${\displaystyle Z_{3}}$ компонент к выходу фильтра, который улучшит простой случай с двумя делителями. Эта интерпретация является причиной того, почему фильтры Саллена – Ки часто рисуются с неинвертирующим входом операционного усилителя ниже инвертирующего входа, тем самым подчеркивая сходство между выходом и землей.

Полное сопротивление ветви

Выбирая разные пассивные компоненты (например., резисторы и конденсаторы ) за ${\displaystyle Z_{1}}$, ${\displaystyle Z_{2}}$, ${\displaystyle Z_{4}}$, и ${\displaystyle Z_{3}}$, фильтр можно сделать с НЧ, Bandpass, и высокая частота характеристики. В приведенных ниже примерах напомним, что резистор с сопротивление ${\displaystyle R}$ имеет сопротивление ${\displaystyle Z_{R}}$ из

${\displaystyle Z_{R}=R,}$

и конденсатор с емкость ${\displaystyle C}$ имеет сопротивление ${\displaystyle Z_{C}}$ из

${\displaystyle Z_{C}={\frac {1}{sC}},}$

куда ${\displaystyle s=j\omega =2\pi jf}$ (здесь ${\displaystyle j}$ обозначает мнимая единица ) это сложный угловая частота, и ${\displaystyle f}$ это частота чистого синусоидальная волна Вход. Таким образом, импеданс конденсатора зависит от частоты, а сопротивление резистора - нет.

Применение: фильтр нижних частот

Рисунок 2: Фильтр нижних частот с единичным усилением, реализованный с топологией Саллена – Ки

Пример низкочастотной конфигурации с единичным усилением показан на рисунке 2. операционный усилитель здесь используется как буфер, хотя эмиттер-повторитель также эффективен. Эта схема эквивалентна приведенному выше общему случаю с

${\displaystyle Z_{1}=R_{1},\quad Z_{2}=R_{2},\quad Z_{3}={\frac {1}{sC_{1}}},\quad Z_{4}={\frac {1}{sC_{2}}}.}$

В функция передачи для этого ФНЧ второго порядка с единичным усилением

${\displaystyle H(s)={\frac {\omega _{0}^{2}}{s^{2}+2\alpha s+\omega _{0}^{2}}},}$

где незатухающая собственная частота ${\displaystyle f_{0}}$, затухание ${\displaystyle \alpha }$, Добротность ${\displaystyle Q}$, и коэффициент демпфирования ${\displaystyle \zeta }$, даются

${\displaystyle \omega _{0}=2\pi f_{0}={\frac {1}{\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}}}$

и

${\displaystyle 2\alpha =2\zeta \omega _{0}={\frac {\omega _{0}}{Q}}={\frac {1}{C_{1}}}\left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right)={\frac {1}{C_{1}}}\left({\frac {R_{1}+R_{2}}{R_{1}R_{2}}}\right).}$

Так,

${\displaystyle Q={\frac {\omega _{0}}{2\alpha }}={\frac {\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}{C_{2}\left(R_{1}+R_{2}\right)}}.}$

В ${\displaystyle Q}$ фактор определяет высоту и ширину пика частотный отклик фильтра. По мере увеличения этого параметра фильтр будет "звенеть" на одном резонансный частота возле ${\displaystyle f_{0}}$ (видеть "LC фильтр "для обсуждения по теме).

Полюса и нули

Эта передаточная функция не имеет (конечных) нулей и двух полюса расположен в комплексе s-самолет:

${\displaystyle s=-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{0}^{2}}}.}$

На бесконечности два нуля (передаточная функция стремится к нулю для каждого из s члены в знаменателе).

Выбор дизайна

А дизайнер должен выбрать ${\displaystyle Q}$ и ${\displaystyle f_{0}}$ подходят для их применения. ${\displaystyle Q}$ значение имеет решающее значение для определения окончательной формы. например, второй порядок Фильтр Баттерворта, который имеет максимально плоскую АЧХ полосы пропускания, имеет ${\displaystyle Q}$ из ${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$.По сравнению, значение ${\displaystyle Q=1/2}$ соответствует последовательному каскаду двух одинаковых простых фильтров нижних частот.

Поскольку существует 2 параметра и 4 неизвестных, процедура проектирования обычно устанавливает соотношение между обоими резисторами, а также между конденсаторами. Одна из возможностей - установить соотношение между ${\displaystyle C_{1}}$ и ${\displaystyle C_{2}}$ в качестве ${\displaystyle n}$ против ${\displaystyle 1/n}$ и соотношение между ${\displaystyle R_{1}}$ и ${\displaystyle R_{2}}$ в качестве ${\displaystyle m}$ против ${\displaystyle 1/m}$. Так,

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{1}&=mR,\\R_{2}&=R/m,\\C_{1}&=nC,\\C_{2}&=C/n.\end{aligned}}}$

В результате ${\displaystyle f_{0}}$ и ${\displaystyle Q}$ выражения сводятся к

${\displaystyle \omega _{0}=2\pi f_{0}={\frac {1}{RC}}}$

и

${\displaystyle Q={\frac {mn}{m^{2}+1}}.}$

Рисунок 3: Фильтр нижних частот, который реализован с топологией Саллена – Ки, с ж_c = 15,9 кГц и Q = 0.5

Начиная с более или менее произвольного выбора, например, C и n, соответствующие значения R и m могут быть рассчитаны в пользу желаемого ${\displaystyle f_{0}}$ и ${\displaystyle Q}$. На практике некоторые варианты значений компонентов будут работать лучше, чем другие, из-за неидеальности реальных операционных усилителей.^[3] Например, высокие значения резисторов увеличивают шум в схеме, одновременно увеличивая напряжение смещения постоянного тока на выходе операционных усилителей, оборудованных биполярными входными транзисторами.

Пример

Например, схема на рисунке 3 имеет ${\displaystyle f_{0}=20~{\text{kHz}}}$ и ${\displaystyle Q=0.5}$. В функция передачи дан кем-то

${\displaystyle H(s)={\frac {1}{1+\underbrace {C_{2}(R_{1}+R_{2})} _{{\frac {2\zeta }{\omega _{0}}}={\frac {1}{\omega _{0}Q}}}s+\underbrace {C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}} _{\frac {1}{\omega _{0}^{2}}}s^{2}}},}$

и после подстановки это выражение равно

${\displaystyle H(s)={\frac {1}{1+\underbrace {\frac {RC(m+1/m)}{n}} _{{\frac {2\zeta }{\omega _{0}}}={\frac {1}{\omega _{0}Q}}}s+\underbrace {R^{2}C^{2}} _{\frac {1}{{\omega _{0}}^{2}}}s^{2}}},}$

который показывает, как каждый ${\displaystyle (R,C)}$ комбинация идет с некоторыми ${\displaystyle (m,n)}$ комбинация для обеспечения того же ${\displaystyle f_{0}}$ и ${\displaystyle Q}$ для фильтра нижних частот. Аналогичный подход к дизайну используется для других фильтров, представленных ниже.

Входное сопротивление

Входной импеданс фильтра нижних частот Саллена – Кея второго порядка с единичным усилением также представляет интерес для разработчиков. Это дается формулой. (3) у Картрайта и Каминского^[4] в качестве

${\displaystyle Z(s)=R_{1}{\frac {s'^{2}+s'/Q+1}{s'^{2}+s'k/Q}},}$

куда ${\displaystyle s'={\frac {s}{\omega _{0}}}}$ и ${\displaystyle k={\frac {R_{1}}{R_{1}+R_{2}}}={\frac {m}{m+1/m}}}$.

Кроме того, для ${\displaystyle Q>{\sqrt {\frac {1-k^{2}}{2}}}}$, существует минимальное значение величины импеданса, определяемое формулой. (16) Картрайта и Каминского,^[4] в котором говорится, что

${\displaystyle |Z(s)|_{\text{min}}=R_{1}{\sqrt {1-{\frac {(2Q^{2}+k^{2}-1)^{2}}{2Q^{4}+k^{2}(2Q^{2}+k^{2}-1)^{2}+2Q^{2}{\sqrt {Q^{4}+k^{2}(2Q^{2}+k^{2}-1)}}}}}}.}$

К счастью, это уравнение хорошо аппроксимируется формулой^[4]

${\displaystyle |Z(s)|_{\text{min}}\approx R_{1}{\sqrt {\frac {1}{Q^{2}+k^{2}+0.34}}}}$

за ${\displaystyle 0.25\leq k\leq 0.75}$. За ${\displaystyle k}$ значения вне этого диапазона, постоянная 0,34 должна быть изменена для минимальной ошибки.

Кроме того, частота, при которой возникает минимальная величина импеданса, определяется формулой. (15) Картрайта и Каминского,^[4] т.е.

${\displaystyle \omega _{\text{min}}=\omega _{0}{\sqrt {\frac {Q^{2}+{\sqrt {Q^{4}+k^{2}(2Q^{2}+k^{2}-1)}}}{2Q^{2}+k^{2}-1}}}.}$

Это уравнение также можно хорошо аппроксимировать с помощью уравнения. (20) Картрайта и Каминского,^[4] в котором говорится, что

${\displaystyle \omega _{\text{min}}\approx \omega _{0}{\sqrt {\frac {2Q^{2}}{2Q^{2}+k^{2}-1}}}.}$

Применение: фильтр высоких частот

Рисунок 4: Конкретный фильтр верхних частот Саллена – Ки с ж_c = 72 Гц и Q = 0.5

Фильтр верхних частот второго порядка с единичным усилением и ${\displaystyle f_{0}=72~{\text{Hz}}}$ и ${\displaystyle Q=0.5}$ показан на рисунке 4.

Фильтр верхних частот второго порядка с единичным усилением имеет передаточную функцию

${\displaystyle H(s)={\frac {s^{2}}{s^{2}+\underbrace {2\pi \left({\frac {f_{0}}{Q}}\right)} _{2\zeta \omega _{0}={\frac {\omega _{0}}{Q}}}s+\underbrace {(2\pi f_{0})^{2}} _{\omega _{0}^{2}}}},}$

где незатухающая собственная частота ${\displaystyle f_{0}}$ и ${\displaystyle Q}$ фактор обсуждается выше в фильтр нижних частот обсуждение. Приведенная выше схема реализует эту передаточную функцию уравнениями

${\displaystyle \omega _{0}=2\pi f_{0}={\frac {1}{\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}}}$

(как и раньше) и

${\displaystyle {\frac {1}{2\zeta }}=Q={\frac {\omega _{0}}{2\alpha }}={\frac {\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}{R_{1}(C_{1}+C_{2})}}.}$

Так

${\displaystyle 2\alpha =2\zeta \omega _{0}={\frac {\omega _{0}}{Q}}={\frac {C_{1}+C_{2}}{R_{2}C_{1}C_{2}}}.}$

Следуйте подходу, аналогичному тому, который использовался при разработке фильтра нижних частот выше.

Применение: полосовой фильтр

Рисунок 5: Полосовой фильтр, реализованный с топологией VCVS

Пример полосового фильтра с неединичным усилением, реализованного с фильтром VCVS, показан на рисунке 5. Хотя он использует другую топологию и операционный усилитель, сконфигурированный для обеспечения неединичного усиления, его можно проанализировать с использованием тех же методов, что и с то общая топология Саллена – Ки. Его передаточная функция определяется выражением

${\displaystyle H(s)={\frac {\overbrace {\left(1+{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}}}\right)} ^{G}{\frac {s}{R_{1}C_{1}}}}{s^{2}+\underbrace {\left({\frac {1}{R_{1}C_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}C_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}C_{2}}}-{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}R_{\text{f}}C_{1}}}\right)} _{2\zeta \omega _{0}={\frac {\omega _{0}}{Q}}}s+\underbrace {\frac {R_{1}+R_{\text{f}}}{R_{1}R_{\text{f}}R_{2}C_{1}C_{2}}} _{{\omega _{0}}^{2}=(2\pi f_{0})^{2}}}}.}$

В центральная частота ${\displaystyle f_{0}}$ (т.е. частота, на которой отклик амплитуды имеет вершина горы) дан кем-то

${\displaystyle f_{0}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {R_{\text{f}}+R_{1}}{C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}R_{\text{f}}}}}.}$

В Добротность ${\displaystyle Q}$ дан кем-то

${\displaystyle {\begin{aligned}Q&={\frac {\omega _{0}}{2\zeta \omega _{0}}}={\frac {\omega _{0}}{\omega _{0}/Q}}\\[10pt]&={\frac {\sqrt {\frac {R_{1}+R_{\text{f}}}{R_{1}R_{\text{f}}R_{2}C_{1}C_{2}}}}{{\frac {1}{R_{1}C_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}C_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}C_{2}}}-{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}R_{\text{f}}C_{1}}}}}\\[10pt]&={\frac {\sqrt {(R_{1}+R_{\text{f}})R_{1}R_{\text{f}}R_{2}C_{1}C_{2}}}{R_{1}R_{\text{f}}(C_{1}+C_{2})+R_{2}C_{2}\left(R_{\text{f}}-{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}}}R_{1}\right)}}.\end{aligned}}}$

Делитель напряжения в цепи отрицательной обратной связи управляет «внутренним усилением». ${\displaystyle G}$ операционного усилителя:

${\displaystyle G=1+{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}}}.}$

Если внутренний выигрыш ${\displaystyle G}$ слишком высокий, фильтр будет колебаться.

Смотрите также

• Дизайн фильтра
• Топология электронного фильтра
• Демпфирование
• Гармонический осциллятор
• Резонанс

Рекомендации

1. «Примечания к курсу EE315A - Глава 2» -B. Мурманн В архиве 2010-07-16 в Wayback Machine
2. Sallen, R.P .; Э. Л. Кей (март 1955 г.). «Практический метод создания RC-активных фильтров». IRE-транзакции по теории цепей. 2 (1): 74–85. Дои:10.1109 / tct.1955.6500159. S2CID  51640910.
3. Ограничения полосы задерживания фильтра нижних частот Саллена – Ки.
4. Картрайт, К. В .; Каминский Э. Дж. (2013). «Нахождение минимального входного импеданса фильтра нижних частот Саллена-Ки второго порядка с единичным усилением без исчисления» (PDF). Лат. Являюсь. J. Phys. Образовательный. 7 (4): 525–535.

внешняя ссылка

• Отчет по применению Texas Instruments: анализ архитектуры Саллена – Ки
• Инструмент разработки фильтров Analog Devices - Простой онлайн-инструмент для проектирования активных фильтров с использованием операционных усилителей с обратной связью по напряжению.
• Часто задаваемые вопросы по источнику проектирования активного фильтра TI
• Операционные усилители для всех - Глава 16
• Высокочастотная модификация фильтра Саллена-Ки - улучшение минимального уровня затухания в полосе задерживания
• Онлайн-инструмент для расчета фильтров нижних и верхних частот Саллена – Ки
• Инструмент онлайн-расчета для проектирования и анализа фильтров
• ECE 327: Процедуры для лаборатории выходной фильтрации - В разделе 3 («Сглаживание фильтра нижних частот») обсуждается активная фильтрация с помощью фильтра нижних частот Саллена – Ки Баттерворта.
• Фильтрация 101: многополюсные фильтры с Саллен-Ки, Мэтт Дафф из Analog Devices объясняет, как работает схема Sallen Key