Грубый путь - Rough path

В стохастический анализ, а грубый путь является обобщением понятия гладкого пути, позволяющим построить теорию робастных решений для контролируемых дифференциальные уравнения управляемый классическими нерегулярными сигналами, например Винеровский процесс. Теория была разработана в 1990-х гг. Терри Лайонс.^[1][2][3]Доступны несколько версий теории.^[4][5][6][7]

Теория грубого пути сосредоточена на улавливании и точном взаимодействии между сильно колеблющимися и нелинейными системами. Он основан на гармоническом анализе Л.К. Юнга, геометрическая алгебра К. Чен, теория функций Липшица Х. Уитни и основные идеи стохастического анализа. Понятия и единые оценки имеют широкое применение в чистой и прикладной математике и за ее пределами. Он предоставляет набор инструментов для относительно легкого восстановления многих классических результатов стохастического анализа (теоремы Вонга-Закая, Строока-Варадхана, построение стохастических потоков и т. Д.) Без использования конкретных вероятностных свойств, таких как мартингейл собственность или предсказуемость. Теория также расширяется Теория SDE Ито далеко за пределами настройки семимартингейла. В основе математики лежит задача описания гладкого, но потенциально очень колеблющегося и многомерного пути. ${\displaystyle x_{t}}$ эффективно, чтобы точно предсказать его влияние на нелинейную динамическую систему ${\displaystyle \mathrm {d} y_{t}=f(y_{t})\,\mathrm {d} x_{t},y_{0}=a}$. Сигнатура - это гомоморфизм моноида путей (при конкатенации) в группоподобные элементы свободной тензорной алгебры. Он предоставляет постепенное изложение пути ${\displaystyle x}$. Это некоммутативное преобразование верно для путей вплоть до соответствующих нулевых модификаций. Эти постепенные обобщения или особенности пути лежат в основе определения грубого пути; локально они устраняют необходимость смотреть на тонкую структуру пути. Теорема Тейлора объясняет, как любая гладкая функция может быть локально выражена как линейная комбинация определенных специальных функций (одночленов, основанных на этой точке). Повторяющиеся по координатам интегралы (члены сигнатуры) образуют более тонкую алгебру свойств, которые могут аналогичным образом описывать поток или путь; они позволяют определять приблизительный путь и образуют естественный линейный «базис» для непрерывных функций на путях.

Мартин Хайрер использовали грубые пути для построения теории робастного решения для Уравнение КПЗ.^[8] Затем он предложил обобщение, известное как теория структуры регулярности^[9] за что он был награжден Медаль Филдса в 2014.

Мотивация

Теория грубого пути стремится понять управляемое дифференциальное уравнение

${\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}^{i}=\sum _{j=1}^{d}V_{j}^{i}(Y_{t})\,\mathrm {d} X_{t}^{j}.}$

где контроль, непрерывный путь ${\displaystyle X_{t}}$ принимая ценности в Банахово пространство, не обязательно должны быть дифференцируемыми или ограниченной вариацией. Распространенный пример контролируемого пути ${\displaystyle X_{t}}$ это примерный путь Винеровский процесс. В этом случае упомянутое управляемое дифференциальное уравнение можно интерпретировать как стохастическое дифференциальное уравнение и интеграция против "${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}^{j}}$"можно определить в смысле Ито. Однако исчисление Ито определяется в смысле ${\displaystyle L^{2}}$ и, в частности, не является пошаговым определением. Неровные пути дают почти надежное путевое определение стохастического дифференциального уравнения. Понятие грубого пути решения корректно в том смысле, что если ${\displaystyle X(n)_{t}}$ представляет собой последовательность гладких путей, сходящихся к ${\displaystyle X_{t}}$ в ${\displaystyle p}$-вариационная метрика (описанная ниже) и

${\displaystyle \mathrm {d} Y(n)_{t}^{i}=\sum _{j=1}^{d}V_{j}^{i}(Y_{t})\,\mathrm {d} X(n)_{t}^{j};}$

${\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}^{i}=\sum _{j=1}^{d}V_{j}^{i}(Y_{t})\,\mathrm {d} X_{t}^{j},}$

тогда ${\displaystyle Y(n)}$ сходится к ${\displaystyle Y}$ в ${\displaystyle p}$-вариационная метрика. Это свойство непрерывности и детерминированный характер решений позволяет упростить и усилить многие результаты стохастического анализа, такие как Теория большого отклонения Фрейдлина-Вентцелля^[10] а также результаты о стохастических потоках.

Фактически, теория грубого пути может выходить далеко за рамки Ито и Стратонович исчисления и позволяет понять дифференциальные уравнения, управляемые не-семимартингал пути, такие как Гауссовские процессы и Марковские процессы.^[11]

Определение грубого пути

Грубые пути - это пути, принимающие значения в усеченной свободной тензорной алгебре (точнее: в свободной нильпотентной группе, вложенной в свободную тензорную алгебру), которые в этом разделе вкратце напоминаются. Тензорные степени ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$, обозначенный ${\displaystyle {\big (}\mathbb {R} ^{d}{\big )}^{\otimes n}}$, снабжены проективной нормой ${\displaystyle \Vert \cdot \Vert }$ (видеть Топологическое тензорное произведение, обратите внимание, что теория грубого пути на самом деле работает для более общего класса норм). Позволять ${\displaystyle T^{(n)}(\mathbb {R} ^{d})}$ усеченная тензорная алгебра

${\displaystyle T^{(n)}(\mathbb {R} ^{d})=\bigoplus _{i=0}^{n}{\big (}\mathbb {R} ^{d}{\big )}^{\otimes i},}$ где по соглашению ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{d})^{\otimes 0}\cong \mathbb {R} }$.

Позволять ${\displaystyle \triangle _{0,1}}$ быть симплексом ${\displaystyle \{(s,t):0\leq s\leq t\leq 1\}}$. Позволять ${\displaystyle p\geq 1}$. Позволять ${\displaystyle \mathbf {X} }$ и ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ быть непрерывными отображениями ${\displaystyle \triangle _{0,1}\to T^{(\lfloor p\rfloor )}(\mathbb {R} ^{d})}$. Позволять ${\displaystyle \mathbf {X} ^{j}}$ обозначают проекцию ${\displaystyle \mathbf {X} }$ на ${\displaystyle j}$-тензоров, а также для ${\displaystyle \mathbf {Y} ^{j}}$. В ${\displaystyle p}$-вариационная метрика определяется как

${\displaystyle d_{p}\left(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} \right):=\max _{j=1,\ldots ,\lfloor p\rfloor }\sup _{0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}=1}\left(\sum _{i=0}^{n-1}\Vert \mathbf {X} _{t_{i},t_{i+1}}^{j}-\mathbf {Y} _{t_{i},t_{i+1}}^{j}\Vert ^{\frac {p}{j}}\right)^{\frac {j}{p}}}$

где супремум берется по всем конечным разбиениям ${\displaystyle \{0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}=1\}}$ из ${\displaystyle [0,1]}$.

Непрерывная функция ${\displaystyle \mathbf {X} :\triangle _{0,1}\rightarrow T^{(\lfloor p\rfloor )}(\mathbb {R} ^{d})}$ это ${\displaystyle p}$-геометрический грубый путь если существует последовательность путей с конечной полной вариацией ${\displaystyle X(1),X(2),\ldots }$ такой, что

${\displaystyle \mathbf {X} (n)_{s,t}=\left(1,\int _{s<s_{1}<t}\mathrm {d} X(n)_{s_{1}},\ldots ,\int _{s<s_{1}<\cdots <s_{\lfloor p\rfloor }<t}\,\mathrm {d} X(n)_{s_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathrm {d} X(n)_{s_{\lfloor p\rfloor }}\right)}$

сходится в ${\displaystyle p}$-вариационная метрика к ${\displaystyle \mathbf {X} }$ в качестве ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$.^[12]

Универсальная предельная теорема

Центральным результатом теории грубого пути является Лион Универсальная предельная теорема.^[13] Одна (слабая) версия результата следующая: Пусть ${\displaystyle X(n)}$ - последовательность путей с конечной полной вариацией, и пусть

${\displaystyle \mathbf {X} (n)_{s,t}=\left(1,\int _{s<s_{1}<t}\mathrm {d} X(n)_{s_{1}},\ldots ,\int _{s<s_{1}<\ldots <s_{\lfloor p\rfloor }<t}\mathrm {d} X(n)_{s_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathrm {d} X(n)_{s_{\lfloor p\rfloor }}\right)}$ обозначают подъем по грубой траектории ${\displaystyle X(n)}$.

Предположим, что ${\displaystyle \mathbf {X} (n)}$ сходится в ${\displaystyle p}$-вариационная метрика к ${\displaystyle p}$-геометрический грубый путь ${\displaystyle \mathbf {X} }$ в качестве ${\displaystyle n\to \infty }$. Позволять ${\displaystyle (V_{j}^{i})_{j=1,\ldots ,d}^{i=1,\ldots ,n}}$ быть функциями, которые имеют не менее ${\displaystyle \lfloor p\rfloor }$ ограниченные производные и ${\displaystyle \lfloor p\rfloor }$-ые производные ${\displaystyle \alpha }$-Hölder Continuous для некоторых ${\displaystyle \alpha >p-\lfloor p\rfloor }$. Позволять ${\displaystyle Y(n)}$ - решение дифференциального уравнения

${\displaystyle \mathrm {d} Y(n)_{t}^{i}=\sum _{j=1}^{d}V_{j}^{i}(Y(n)_{t})\,\mathrm {d} X(n)_{t}^{j}}$

и разреши ${\displaystyle \mathbf {Y} (n)}$ быть определенным как

${\displaystyle \mathbf {Y} (n)_{s,t}=\left(1,\int _{s<s_{1}<t}\,\mathrm {d} Y(n)_{s_{1}},\ldots ,\int _{s<s_{1}<\ldots <s_{\lfloor p\rfloor }<t}\mathrm {d} Y(n)_{s_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathrm {d} Y(n)_{s_{\lfloor p\rfloor }}\right).}$

потом ${\displaystyle \mathbf {Y} (n)}$ сходится в ${\displaystyle p}$-вариационная метрика к ${\displaystyle p}$-геометрический грубый путь ${\displaystyle \mathbf {Y} }$.

Более того, ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ является решением дифференциального уравнения

${\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}^{i}=\sum _{j=1}^{d}V_{j}^{i}(Y_{t})\,\mathrm {d} X_{t}^{j}\qquad (\star )}$

ведомый геометрическим грубым путем ${\displaystyle \mathbf {X} }$.

Вкратце, теорему можно интерпретировать как утверждение, что отображение решения (также известное как отображение Ито-Лиона) ${\displaystyle \Phi :G\Omega _{p}(\mathbb {R} ^{d})\to G\Omega _{p}(\mathbb {R} ^{e})}$ RDE ${\displaystyle (\star )}$ непрерывно (и фактически локально липшицево) в ${\displaystyle p}$-вариационная топология. Следовательно, теория грубых путей демонстрирует, что, рассматривая управляющие сигналы как грубые пути, можно получить надежную теорию решений для классических стохастических дифференциальных уравнений и не только.

Примеры грубых путей

Броуновское движение

Позволять ${\displaystyle (B_{t})_{t\geq 0}}$ - многомерное стандартное броуновское движение. Позволять ${\displaystyle \circ }$ обозначить Интеграция Стратоновича. потом

${\displaystyle \mathbf {B} _{s,t}=\left(1,\int _{s<s_{1}<t}\circ \mathrm {d} B_{s_{1}},\int _{s<s_{1}<s_{2}<t}\circ \mathrm {d} B_{s_{1}}\otimes \circ \mathrm {d} B_{s_{2}}\right)}$

это ${\displaystyle p}$-геометрическая грубая дорожка для любого ${\displaystyle 2<p<3}$

. Этот геометрический грубый путь называется Стратонович Броуновский грубый путь.

Дробное броуновское движение

В общем, пусть ${\displaystyle B_{H}(t)}$ быть многомерным дробное броуновское движение (процесс, координатные компоненты которого являются независимыми дробными броуновскими движениями) с ${\displaystyle H>{\frac {1}{4}}}$. Если ${\displaystyle B_{H}^{m}(t)}$ это ${\displaystyle m}$-й диадической кусочно-линейной интерполяцией ${\displaystyle B_{H}(t)}$, тогда

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {B} _{H}^{m}(s,t)=\left(1,\int _{s<s_{1}<t}\right.&\mathrm {d} B_{H}^{m}(s_{1}),\int _{s<s_{1}<s_{2}<t}\,\mathrm {d} B_{H}^{m}(s_{1})\otimes \mathrm {d} B_{H}^{m}(s_{2}),\\&\left.\int _{s<s_{1}<s_{2}<s_{3}<t}\mathrm {d} B_{H}^{m}(s_{1})\otimes \mathrm {d} B_{H}^{m}(s_{2})\otimes \mathrm {d} B_{H}^{m}(s_{3})\right)\end{aligned}}}$

почти наверняка сходится в ${\displaystyle p}$-вариационная метрика к ${\displaystyle p}$-геометрический грубый путь для ${\displaystyle {\frac {1}{H}}<p}$.^[14] Этот ограничивающий геометрический грубый путь можно использовать для понимания дифференциальных уравнений, управляемых дробным броуновским движением с параметром Херста. ${\displaystyle H>{\frac {1}{4}}}$. Когда ${\displaystyle 0<H\leq {\frac {1}{4}}}$, оказывается, что указанный предел по диадическим приближениям не сходится в ${\displaystyle p}$-вариация. Однако можно, конечно, по-прежнему понимать дифференциальные уравнения при условии, что один демонстрирует грубый подъем, существование такого (неуникального) подъема является следствием Теорема Лайона – Виктуара о продолжении.

Неуникальность улучшения

В общем, пусть ${\displaystyle (X_{t})_{t\geq 0}}$ быть ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$-значный случайный процесс. Если можно почти наверняка построить функции ${\displaystyle (s,t)\rightarrow \mathbf {X} _{s,t}^{j}\in {\big (}\mathbb {R} ^{d}{\big )}^{\otimes j}}$ так что

${\displaystyle \mathbf {X} :(s,t)\rightarrow (1,X_{t}-X_{s},\mathbf {X} _{s,t}^{2},\ldots ,\mathbf {X} _{s,t}^{\lfloor p\rfloor })}$

это ${\displaystyle p}$-геометрический грубый путь, ${\displaystyle \mathbf {X} _{s,t}}$ является улучшение процесса ${\displaystyle X}$. Как только улучшение будет выбрано, аппарат теории грубого пути позволит разобраться в управляемом дифференциальном уравнении

${\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}^{i}=\sum _{j=1}^{d}V_{j}^{i}(Y_{t})\,\mathrm {d} X_{t}^{j}.}$

для достаточно регулярных векторных полей ${\displaystyle V_{j}^{i}.}$

Обратите внимание, что каждый случайный процесс (даже если это детерминированный путь) может иметь более одного (на самом деле, бесчисленное множество) возможных улучшений.^[15] Различные улучшения приведут к различным решениям управляемых дифференциальных уравнений. В частности, можно улучшить броуновское движение до геометрической шероховатой траектории другим способом, кроме броуновского грубого пути.^[16] Это означает, что Исчисление Стратоновича не единственная теория стохастического исчисления, удовлетворяющая классическому правилу произведения

${\displaystyle \mathrm {d} (X_{t}\cdot Y_{t})=X_{t}\,\mathrm {d} Y_{t}+Y_{t}\,\mathrm {d} X_{t}.}$

Фактически, любое усиление броуновского движения как геометрического грубого пути приведет к исчислению, которое удовлетворяет этому классическому правилу произведения. Исчисление Ито не происходит непосредственно от усиления броуновского движения как геометрического грубого пути, а скорее как разветвленного грубого пути.

Приложения в стохастическом анализе

Стохастические дифференциальные уравнения, управляемые несемимартингалами

Теория грубого пути позволяет дать путевое понятие решения (стохастических) дифференциальных уравнений вида

${\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}=b(Y_{t})\,\mathrm {d} t+\sigma (Y_{t})\,\mathrm {d} X_{t}}$

при условии, что многомерный случайный процесс ${\displaystyle X_{t}}$ почти наверняка можно улучшить как грубый путь, и что дрейф ${\displaystyle b}$ и волатильность ${\displaystyle \sigma }$ достаточно гладкие (см. раздел об универсальной предельной теореме).

Есть много примеров марковских процессов, гауссовских процессов и других процессов, которые можно улучшить как грубые пути.^[17]

В частности, есть много результатов о решении дифференциального уравнения, управляемого дробным броуновским движением, которые были доказаны с использованием комбинации Исчисление Маллявэна и теория грубого пути. Фактически, недавно было доказано, что решение управляемого дифференциального уравнения, управляемого классом гауссовских процессов, который включает дробное броуновское движение с параметром Херста ${\displaystyle H>{\frac {1}{4}}}$, имеет гладкую плотность при выполнении условия Хёрмандера на векторные поля.^[18][19]

Теория больших уклонений Фрейдлина – Венцелля.

Позволять ${\displaystyle L(V,W)}$ обозначим пространство ограниченных линейных отображений из банахова пространства ${\displaystyle V}$ в другое банахово пространство ${\displaystyle W}$.

Позволять ${\displaystyle B_{t}}$ быть ${\displaystyle d}$-мерное стандартное броуновское движение. Позволять ${\displaystyle b:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{d}}$ и ${\displaystyle \sigma :\mathbb {R} ^{n}\rightarrow L(\mathbb {R} ^{d},\mathbb {R} ^{n})}$ - дважды дифференцируемые функции, вторые производные которых равны ${\displaystyle \alpha }$-Hölder для некоторых ${\displaystyle \alpha >0}$.

Позволять ${\displaystyle X^{\varepsilon }}$ - единственное решение стохастического дифференциального уравнения

${\displaystyle \mathrm {d} X^{\varepsilon }=b(X_{t}^{\epsilon })\,\mathrm {d} t+{\sqrt {\varepsilon }}\sigma (X^{\varepsilon })\circ \mathrm {d} B_{t};\,X^{\varepsilon }=a,}$

куда ${\displaystyle \circ }$ обозначает интегрирование Стратоновича.

В Теория больших отклонений Фрейдлина Венцелля стремится изучить асимптотическое поведение, поскольку ${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0}$, из ${\displaystyle \mathbb {P} [X^{\varepsilon }\in F]}$ для закрытых или открытых комплектов ${\displaystyle F}$ относительно равномерной топологии.

Универсальная предельная теорема гарантирует, что карта Ито отправляет путь управления ${\displaystyle (t,{\sqrt {\varepsilon }}B_{t})}$ к решению ${\displaystyle X^{\varepsilon }}$ является непрерывным отображением из ${\displaystyle p}$-вариационная топология к ${\displaystyle p}$-вариационная топология (а значит, и равномерная топология). Следовательно Принцип сжатия в теории больших уклонений сводит проблему Фрейдлина – Венцелля к демонстрации принципа больших уклонений для ${\displaystyle (t,{\sqrt {\varepsilon }}B_{t})}$ в ${\displaystyle p}$-вариационная топология.^[20]

Эта стратегия может быть применена не только к дифференциальным уравнениям, управляемым броуновским движением, но также и к дифференциальным уравнениям, управляющим любыми случайными процессами, которые могут быть расширены до грубых путей, таких как дробное броуновское движение.

Стохастический поток

Еще раз позвольте ${\displaystyle B_{t}}$ быть ${\displaystyle d}$-мерное броуновское движение. Предположим, что дрейфовый член ${\displaystyle b}$ и срок волатильности ${\displaystyle \sigma }$ имеет достаточную регулярность, так что стохастическое дифференциальное уравнение

${\displaystyle \mathrm {d} \phi _{s,t}(x)=b(\phi _{s,t}(x))\,\mathrm {d} t+\sigma {(\phi _{s,t}(x))}\,\mathrm {d} B_{t};X_{s}=x}$

имеет уникальное решение в смысле грубого пути. Основной вопрос в теории стохастического потока заключается в том, является ли отображение потока ${\displaystyle \phi _{s,t}(x)}$ существует и удовлетворяет коциклическому свойству, что для всех ${\displaystyle s\leq u\leq t}$,

${\displaystyle \phi _{u,t}(\phi _{s,u}(x))=\phi _{s,t}(x)}$

вне нулевого набора независимый из ${\displaystyle s,u,t}$.

Универсальная предельная теорема еще раз сводит эту проблему к вопросу о том, является ли броуновский грубый путь ${\displaystyle \mathbf {B_{s,t}} }$ существует и удовлетворяет мультипликативному свойству, что для всех ${\displaystyle s\leq u\leq t}$,

${\displaystyle \mathbf {B} _{s,u}\otimes \mathbf {B} _{u,t}=\mathbf {B} _{s,t}}$

вне нулевого набора, независимого от ${\displaystyle s}$, ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle t}$.

Фактически, теория грубого пути указывает на существование и уникальность ${\displaystyle \phi _{s,t}(x)}$ не только вне нулевого набора, независимого от ${\displaystyle s}$,${\displaystyle t}$ и ${\displaystyle x}$ но и дрейфа ${\displaystyle b}$ и волатильность ${\displaystyle \sigma }$.

Как и в случае теории Фрейдлина – Венцелля, эта стратегия верна не только для дифференциальных уравнений, управляемых броуновским движением, но и для любых случайных процессов, которые могут быть расширены до грубых путей.

Контролируемый грубый путь

Контролируемые неровные дороги, введенные М. Губинелли,^[21] пути ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ для которого грубый интеграл

${\displaystyle \int _{s}^{t}\mathbf {Y} _{u}\,\mathrm {d} X_{u}}$

можно определить для заданного геометрического грубого пути ${\displaystyle X}$.

Точнее, пусть ${\displaystyle L(V,W)}$ обозначим пространство ограниченных линейных отображений из банахова пространства ${\displaystyle V}$ в другое банахово пространство ${\displaystyle W}$.

Учитывая ${\displaystyle p}$-геометрический грубый путь

${\displaystyle \mathbf {X} =(1,\mathbf {X} ^{1},\ldots ,\mathbf {X} ^{\lfloor p\rfloor })}$

на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$, а ${\displaystyle \gamma }$-контролируемый путь это функция ${\displaystyle \mathbf {Y} _{s}=(\mathbf {Y} _{s}^{0},\mathbf {Y} _{s}^{1},\ldots ,\mathbf {Y} _{s}^{\lfloor \gamma \rfloor })}$ такой, что ${\displaystyle \mathbf {Y} ^{j}:[0,1]\rightarrow L((\mathbb {R} ^{d})^{\otimes j+1},\mathbb {R} ^{n})}$ и что существует ${\displaystyle M>0}$ такой, что для всех ${\displaystyle 0\leq s\leq t\leq 1}$ и ${\displaystyle j=0,1,\ldots ,\lfloor \gamma \rfloor }$,

${\displaystyle \Vert \mathbf {Y} _{s}^{j}\Vert \leq M}$

и

${\displaystyle \left\|\mathbf {Y} _{t}^{j}-\sum _{i=0}^{\lfloor \gamma \rfloor -j}\mathbf {Y} _{s}^{j+i}\mathbf {X} _{s,t}^{i}\right\|\leq M|t-s|^{\frac {\gamma -j}{p}}.}$

Пример: Губа (γ) функция

Позволять ${\displaystyle \mathbf {X} =(1,\mathbf {X} ^{1},\ldots ,\mathbf {X} ^{\lfloor p\rfloor })}$ быть ${\displaystyle p}$-геометрический грубый путь, удовлетворяющий условию Гёльдера, что существует ${\displaystyle M>0}$, для всех ${\displaystyle 0\leq s\leq t\leq 1}$ и все ${\displaystyle j=1,,2,\ldots ,\lfloor p\rfloor }$,

${\displaystyle \Vert \mathbf {X} _{s,t}^{j}\Vert \leq M(t-s)^{\frac {j}{p}},}$

куда ${\displaystyle \mathbf {X} ^{j}}$ обозначает ${\displaystyle j}$-я компонента тензора ${\displaystyle \mathbf {X} }$.Позволять ${\displaystyle \gamma \geq 1}$. Позволять ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ быть ${\displaystyle \lfloor \gamma \rfloor }$-кратно дифференцируемая функция и ${\displaystyle \lfloor \gamma \rfloor }$-я производная ${\displaystyle \gamma -\lfloor \gamma \rfloor }$ Гёльдер, тогда

${\displaystyle (f(\mathbf {X} _{s}^{1}),Df(\mathbf {X} _{s}^{1}),\ldots ,D^{\lfloor \gamma \rfloor }f(\mathbf {X} _{s}^{1}))}$

это ${\displaystyle \gamma }$-управляемый путь.

Неотъемлемой частью управляемого пути является управляемый путь

Если ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ это ${\displaystyle \gamma }$-управляемый путь, где ${\displaystyle \gamma >p-1}$, тогда

${\displaystyle \int _{s}^{t}\mathbf {Y} _{u}\,\mathrm {d} X_{u}}$

определен и путь

${\displaystyle \left(\int _{s}^{t}\mathbf {Y} _{u}\,\mathrm {d} X_{u},\mathbf {Y} _{s}^{0},\mathbf {Y} _{s}^{1},\ldots ,\mathbf {Y} _{s}^{\lfloor \gamma -1\rfloor }\right)}$

это ${\displaystyle \gamma }$-управляемый путь.

Решение управляемого дифференциального уравнения - это управляемый путь

Позволять ${\displaystyle V:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow L(\mathbb {R} ^{d},\mathbb {R} ^{n})}$ быть функциями, имеющими не менее ${\displaystyle \lfloor \gamma \rfloor }$ производные и ${\displaystyle \lfloor \gamma \rfloor }$-ые производные ${\displaystyle \gamma -\lfloor \gamma \rfloor }$-Hölder Continuous для некоторых ${\displaystyle \gamma >p}$. Позволять ${\displaystyle Y}$ - решение дифференциального уравнения

${\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}=V(Y_{t})\,\mathrm {d} X_{t}.}$

Определять

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Y}{\mathrm {d} X}}(\cdot )=V(\cdot );}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{r+1}Y}{\mathrm {d} ^{r+1}X}}(\cdot )=D\left({\frac {\mathrm {d} ^{r}Y}{\mathrm {d} ^{r}X}}\right)(\cdot )V(\cdot ),}$

куда ${\displaystyle D}$ обозначает производный оператор, то

${\displaystyle \left(Y_{t},{\frac {\mathrm {d} Y}{\mathrm {d} X}}(Y_{t}),{\frac {\mathrm {d} ^{2}Y}{\mathrm {d} ^{2}X}}(Y_{t}),\ldots ,{\frac {\mathrm {d} ^{\lfloor \gamma \rfloor }Y}{\mathrm {d} ^{\lfloor \gamma \rfloor }X}}(Y_{t})\right)}$

это ${\displaystyle \gamma }$-управляемый путь.

Подпись

Позволять ${\displaystyle X:[0,1]\rightarrow \mathbb {R} ^{d}}$ - непрерывная функция с конечной полной вариацией. Определять

${\displaystyle S(X)_{s,t}=\left(1,\int _{s<s_{1}<t}\mathrm {d} X_{s_{1}},\int _{s<s_{1}<s_{2}<t}\mathrm {d} X_{s_{1}}\otimes \mathrm {d} X_{s_{2}},\ldots ,\int _{s<s_{1}<\cdots <s_{n}<t}\mathrm {d} X_{s_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathrm {d} X_{s_{n}},\ldots \right).}$

Подпись пути определяется как ${\displaystyle S(X)_{0,1}}$.

Подпись также может быть определена для геометрических грубых путей. Позволять ${\displaystyle \mathbf {X} }$ быть геометрическим грубым путем и пусть ${\displaystyle \mathbf {X} (n)}$ - последовательность путей с конечной полной вариацией такая, что

${\displaystyle \mathbf {X} (n)_{s,t}=\left(1,\int _{s<s_{1}<t}\,\mathrm {d} X(n)_{s_{1}},\ldots ,\int _{s<s_{1}<\cdots <s_{\lfloor p\rfloor }<t}\,\mathrm {d} X(n)_{s_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathrm {d} X(n)_{s_{\lfloor p\rfloor }}\right).}$

сходится в ${\displaystyle p}$-вариационная метрика к ${\displaystyle \mathbf {X} }$. потом

${\displaystyle \int _{s<s_{1}<\cdots <s_{N}<t}\,\mathrm {d} X(n)_{s_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathrm {d} X(n)_{s_{N}}}$

сходится как ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ для каждого ${\displaystyle N}$. Подпись геометрического грубого пути ${\displaystyle \mathbf {X} }$ можно определить как предел ${\displaystyle S(X(n))_{s,t}}$ в качестве ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$.

Подпись соответствует личности Чена,^[22] который

${\displaystyle S(\mathbf {X} )_{s,u}\otimes S(\mathbf {X} )_{u,t}=S(\mathbf {X} )_{s,t}}$

для всех ${\displaystyle s\leq u\leq t}$.

Ядро преобразования сигнатуры

Множество путей, сигнатура которых является тривиальной последовательностью, а точнее,

${\displaystyle S(\mathbf {X} )_{0,1}=(1,0,0,\ldots )}$

можно полностью охарактеризовать, используя идею древовидного пути.

А ${\displaystyle p}$-геометрический грубый путь древовидный если существует непрерывная функция ${\displaystyle h:[0,1]\rightarrow [0,\infty )}$ такой, что ${\displaystyle h(0)=h(1)=0}$ и для всех ${\displaystyle j=1,\ldots ,\lfloor p\rfloor }$ и все ${\displaystyle 0\leq s\leq t\leq 1}$,

${\displaystyle \Vert \mathbf {X} _{s,t}^{j}\Vert ^{p}\leq h(t)+h(s)-2\inf _{u\in [s,t]}h(u)}$

куда ${\displaystyle \mathbf {X} ^{j}}$ обозначает ${\displaystyle j}$-я компонента тензора ${\displaystyle \mathbf {X} }$.

Геометрический грубый путь ${\displaystyle \mathbf {X} }$ удовлетворяет ${\displaystyle S(\mathbf {X} )_{0,1}=(1,0,\ldots )}$ если и только если ${\displaystyle \mathbf {X} }$ подобен дереву.^[23][24]

Учитывая сигнатуру пути, можно восстановить уникальный путь, не имеющий древовидных частей.^[25][26]

Бесконечные измерения

Также возможно расширить основные результаты в теории грубого пути до бесконечных измерений, при условии, что норма в тензорной алгебре удовлетворяет определенному условию допустимости.^[27]

Рекомендации

1. Лайонс, Т. (1998). «Дифференциальные уравнения, управляемые грубыми сигналами». Revista Matemática Iberoamericana: 215–310. Дои:10.4171 / RMI / 240.
2. Лайонс, Терри; Цянь, Чжунминь (2002). Системный контроль и трудные пути. Оксфордские математические монографии. Оксфорд: Clarendon Press. Дои:10.1093 / acprof: oso / 9780198506485.001.0001. ISBN  9780198506485. Zbl  1029.93001.
3. Лайонс, Терри; Каруана, Майкл; Леви, Тьерри (2007). Дифференциальные уравнения, движущиеся по неровным дорогам, т. Конспект лекций по математике 1908 г.. Springer.
4. Леджай, А. (2003). «Введение в трудные пути». Séminaire de Probabilités XXXVII. Конспект лекций по математике. 1832. С. 1–59. Дои:10.1007/978-3-540-40004-2_1. ISBN  978-3-540-20520-3.
5. Губинелли, Массимилиано (2004). «Управляем неровностями». Журнал функционального анализа. 216 (1): 86–140. arXiv:математика / 0306433. Дои:10.1016 / j.jfa.2004.01.002. S2CID  119717942.
6. Фриз, Питер К .; Виктуар, Николас (2010). Многомерные случайные процессы как грубые пути: теория и приложения (Кембриджские исследования в области высшей математики под ред.). Издательство Кембриджского университета.
7. Фриз, Питер К .; Хайрер, Мартин (2014). Курс по трудным путям с введением в структуру регулярности. Springer.
8. Хайрер, Мартин (2013). «Решение уравнения КПЗ». Анналы математики. 178 (2): 559–664. arXiv:1109.6811. Дои:10.4007 / летопись.2013.178.2.4. S2CID  119247908.
9. Хайрер, Мартин (2014). «Теория регулярных структур». Inventiones Mathematicae. 198 (2): 269–504. arXiv:1303.5113. Bibcode:2014InMat.198..269H. Дои:10.1007 / s00222-014-0505-4. S2CID  119138901.
10. Леду, Мишель; Цянь, Чжунминь; Чжан, Тушэн (2002). «Большие отклонения и теорема поддержки для диффузионных процессов по грубым путям». Стохастические процессы и их приложения. 102 (2): 265–283. Дои:10.1016 / S0304-4149 (02) 00176-X.
11. Фриз, Питер К .; Виктуар, Николас (2010). Многомерные случайные процессы как грубые пути: теория и приложения (Кембриджские исследования в области высшей математики под ред.). Издательство Кембриджского университета.
12. Лайонс, Терри; Цянь, Чжунминь (2002). «Системный контроль и трудные пути». Оксфордские математические монографии. Оксфорд: Clarendon Press. Дои:10.1093 / acprof: oso / 9780198506485.001.0001. ISBN  9780198506485. Zbl  1029.93001.
13. Лайонс, Т. (1998). «Дифференциальные уравнения, управляемые грубыми сигналами». Revista Matemática Iberoamericana: 215–310. Дои:10.4171 / RMI / 240.
14. Коутин, Лор; Цянь, Чжунминь (2002). «Стохастический анализ, приблизительный анализ пути и дробные броуновские движения». Теория вероятностей и смежные области. 122: 108–140. Дои:10.1007 / s004400100158. S2CID  120581658.
15. Лайонс, Терри; Виктуар, Николас (2007). «Теорема продолжения на грубые пути». Annales de l'Institut Henri Poincaré C. 24 (5): 835–847. Bibcode:2007АниХП..24..835л. Дои:10.1016 / j.anihpc.2006.07.004.
16. Фриз, Питер; Гассиат, Поль; Лайонс, Терри (2015). «Физическое броуновское движение в магнитном поле как неровная дорога». Труды Американского математического общества. 367 (11): 7939–7955. arXiv:1302.2531. Дои:10.1090 / S0002-9947-2015-06272-2. S2CID  59358406.
17. Фриз, Питер К .; Виктуар, Николас (2010). Многомерные случайные процессы как грубые пути: теория и приложения (Кембриджские исследования в области высшей математики под ред.). Издательство Кембриджского университета.
18. Касс, Томас; Фриз, Питер (2010). «Плотности для грубых дифференциальных уравнений при условии Хёрмандера». Анналы математики. 171 (3): 2115–2141. arXiv:0708.3730. Дои:10.4007 / аннал.2010.171.2115. S2CID  17276607.
19. Касс, Томас; Хайрер, Мартин; Литтерер, Кристиан; Тиндель, Сами (2015). «Гладкость плотности для решений грубых дифференциальных уравнений Гаусса». Анналы вероятности. 43: 188–239. arXiv:1209.3100. Дои:10.1214 / 13-AOP896. S2CID  17308794.
20. Леду, Мишель; Цянь, Чжунминь; Чжан, Тушэн (2002). «Большие отклонения и теорема поддержки для диффузионных процессов по грубым путям». Стохастические процессы и их приложения. 102 (2): 265–283. Дои:10.1016 / S0304-4149 (02) 00176-X.
21. Губинелли, Массимилиано (2004). «Управляем неровностями». Журнал функционального анализа. 216 (1): 86–140. arXiv:математика / 0306433. Дои:10.1016 / j.jfa.2004.01.002. S2CID  119717942.
22. Чен, Куо-Цай (1954). «Итерированные интегралы и экспоненциальные гомоморфизмы». Труды Лондонского математического общества. s3-4: 502–512. Дои:10.1112 / плмс / с3-4.1.456.
23. Хэмбли, Бен; Лайонс, Терри (2010). «Единственность сигнатуры пути ограниченной вариации и редуцированной группы путей». Анналы математики. 171: 109–167. arXiv:математика / 0507536. Дои:10.4007 / анналы.2010.171.109. S2CID  15915599.
24. Боэдихарджо, Горацио; Гэн, Си; Лайонс, Терри; Ян, Данью (2016). «Подпись грубого пути: Уникальность». Успехи в математике. 293: 720–737. arXiv:1406.7871. Дои:10.1016 / j.aim.2016.02.011. S2CID  3634324.
25. Лайонс, Терри; Сюй, Вэйцзюнь (2016). «Обращение подписи пути». Журнал Европейского математического общества.
26. Гэн, Си (2016). «Реконструкция под знаком грубого пути». Труды Лондонского математического общества. 114 (3): 495–526. arXiv:1508.06890. Дои:10.1112 / plms.12013. S2CID  3641736.
27. Касс, Томас; Водитель Брюс; Лим, Нэнли; Литтерер, Кристиан. «Об интегрировании слабогеометрических неровностей». Журнал математического общества Японии.