Преобразование координат через угол
An
ху-Декартова система координат повернута на угол
![хета](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af)
для
x'y '-Декартова система координат
В математика, а вращение осей в двух измерениях это отображение из ху-Декартова система координат для x'y '-Декартова система координат, в которой источник фиксируется, а Икс' и y ' оси получаются вращением Икс и у оси против часовой стрелки на угол
. Точка п имеет координаты (Икс, у) относительно исходной системы и координат (Икс', y ') по отношению к новой системе.[1] В новой системе координат точка п будет казаться повернутым в противоположном направлении, то есть по часовой стрелке на угол
. Аналогично определяется вращение осей более чем в двух измерениях.[2][3] Вращение осей - это линейная карта[4][5] и жесткая трансформация.
Мотивация
Системы координат необходимы для изучения уравнений кривые используя методы аналитическая геометрия. Для использования метода координатной геометрии оси располагаются в удобном месте по отношению к рассматриваемой кривой. Например, чтобы изучить уравнения эллипсы и гиперболы, то фокусы обычно расположены на одной из осей и расположены симметрично относительно начала координат. Если кривая (гипербола, парабола, эллипс и т. д.) нет Расположенная удобно по отношению к осям, необходимо изменить систему координат, чтобы расположить кривую в удобном и знакомом месте и ориентации. Процесс внесения этого изменения называется преобразование координат.[6]
Решения многих проблем можно упростить, вращая оси координат, чтобы получить новые оси через то же начало.
Вывод
Уравнения, определяющие преобразование в двух измерениях, которое вращает ху оси против часовой стрелки на угол
в x'y ' оси, выводятся следующим образом.
в ху система, пусть точка п имеют полярные координаты
. Затем в x'y ' система, п будет иметь полярные координаты
.
С помощью тригонометрические функции, у нас есть
![x = r cos альфа](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a231fc2d818fb157174219335fd73a839fe804c) | | (1) |
![у = г грех альфа](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cd63854361e480d4c412c155a58963dbb352607) | | (2) |
и используя стандартный тригонометрические формулы для различий у нас есть
![x '= r cos (альфа - heta) = r cos alpha cos heta + r sin alpha sin heta](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd6a5b111654b58274f014c7acb5621de0b60683) | | (3) |
![y '= r sin (alpha - heta) = r sin alpha cos heta - r cos alpha sin heta.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23b62ca1241da21d8d3aa8e23282f1b0f37e9b01) | | (4) |
Подставляя уравнения (1) и (2) в уравнения (3) и (4), мы получаем
![x '= x cos heta + y sin heta](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a60910640f45e300a172e39245604cc31bd9334e) | | (5) |
[7] | | (6) |
Уравнения (5) и (6) можно представить в матричном виде как
![egin {pmatrix}
Икс'
y '
конец {pmatrix} =
egin {pmatrix}
cos heta и sin heta
- sin heta и cos heta
конец {pmatrix}
egin {pmatrix}
Икс
у
конец {pmatrix},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01c137abae4931503d1aee5acc0c155dd8f2f0e0)
которое является стандартным матричным уравнением вращения осей в двух измерениях.[8]
Обратное преобразование:
![x = x 'cos heta - y' sin heta](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c1cf9b1523fc4c41b358edfc8b30f0786f5dcaf) | | (7) |
[9] | | (8) |
или же
![egin {pmatrix}
Икс
у
конец {pmatrix} =
egin {pmatrix}
cos heta & - sin heta
sin heta и cos heta
конец {pmatrix}
egin {pmatrix}
Икс'
y '
конец {pmatrix}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8f2cc440a052783960535d7546c4b5915936b5c)
Примеры в двух измерениях
Пример 1
Найдите координаты точки
после поворота осей на угол
, или 30 °.
Решение:
![x '= sqrt 3 cos (pi / 6) + 1 sin (pi / 6) = (sqrt 3) ({sqrt 3} / 2) + (1) (1/2) = 2](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2b913ddc0a5f717380c7313000e7b92c86677c7)
![y '= 1 cos (pi / 6) - sqrt 3 sin (pi / 6) = (1) ({sqrt 3} / 2) - (sqrt 3) (1/2) = 0.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccdbe5dcbd43895b58107b6e197fbfd9d47e4f5c)
Оси повернуты против часовой стрелки на угол
и новые координаты
. Обратите внимание, что точка, похоже, была повернута по часовой стрелке на
относительно фиксированных осей, так что теперь он совпадает с (новым) Икс' ось.
Пример 2
Найдите координаты точки
после поворота осей по часовой стрелке на 90 °, то есть на угол
, или -90 °.
Решение:
![egin {pmatrix}
Икс'
y '
конец {pmatrix} =
egin {pmatrix}
cos (- pi / 2) & sin (- pi / 2)
- грех (- пи / 2) и соз (- пи / 2)
конец {pmatrix}
egin {pmatrix}
7
7
конец {pmatrix} =
egin {pmatrix}
0 & -1
1 и 0
конец {pmatrix}
egin {pmatrix}
7
7
конец {pmatrix} =
egin {pmatrix}
-7
7
конец {pmatrix}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e104269810e54bee277969b7c2ea6789857ec8bc)
Оси повернуты на угол
, который направлен по часовой стрелке, и новые координаты
. Опять же, обратите внимание, что точка, похоже, была повернута против часовой стрелки на
относительно неподвижных осей.
Вращение конических секций
Наиболее общее уравнение второй степени имеет вид
( ![А, Б, В](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ce2acf22b93dfbd22373336bd9c22dbd98a49d6) не все ноль). [10] | | (9) |
За счет изменения координат (поворот осей и перевод осей ), уравнение (9) можно поместить в стандартная форма, с которым обычно легче работать. Всегда можно повернуть координаты так, чтобы в новой системе не было x'y ' срок. Подставляя уравнения (7) и (8) в уравнение (9), мы получаем
![A'x '^ 2 + B'x'y' + C'y '^ 2 + D'x' + E'y '+ F' = 0,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05dd45dd888b222fc6280563cc4514fcd94c833e) | | (10) |
куда
![A '= A cos ^ 2 heta + B sin heta cos heta + C sin ^ 2 heta,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6a8cf2a6e4f949e372d642ba1c9a8b51c7112a1) ![B '= 2 (C - A) sin heta cos heta + B (cos ^ 2 heta - sin ^ 2 heta),](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e540d696b7e98f1a4ab823ccbde2b07a49a1230f) ![C '= A sin ^ 2 heta - B sin heta cos heta + C cos ^ 2 heta,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c6e839db1a46d37a5b1569d8bd02df5c532edb9) ![D '= D cos heta + E sin heta,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc6f94081b9515ee909ed198e687921bd9e35380) ![E '= - D sin heta + E cos heta,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1447eccab12c9f2d34393729bde370ed8499419) ![F '= F.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06f6001bffc4f45d3ed596744ec03c87e306142c)
| | (11) |
Если
выбрано так, чтобы
у нас будет
и x'y ' член в уравнении (10) исчезнет.[11]
Когда возникает проблема с B, D и E все отличные от нуля, они могут быть устранены путем последовательного вращения (исключение B) и перевод (исключив D и E термины).[12]
Обозначение повернутых конических секций
Невырожденное коническое сечение, заданное уравнением (9) могут быть идентифицированы путем оценки
. Коническое сечение:
[13]
Обобщение на несколько измерений
Предположим прямоугольную xyz-система координат вращается вокруг своей z ось против часовой стрелки (если смотреть вниз z ось) под углом
, то есть положительный Икс ось сразу поворачивается в положительную у ось. В z координата каждой точки не изменяется, а Икс и у координаты преобразуются, как указано выше. Старые координаты (Икс, у, z) точки Q связаны с его новыми координатами (Икс', y ', z ') к