Инвариант Римана - Riemann invariant

Инварианты Римана находятся математические преобразования сделано по системе уравнения сохранения чтобы облегчить их решение. Инварианты Римана постоянны вдоль характеристические кривые дифференциальных уравнений в частных производных, получивших название инвариантный. Впервые они были получены Бернхард Риманн в работе о плоских волнах в газовой динамике.^[1]

Математическая теория

Рассмотрим набор уравнения сохранения:

${\displaystyle l_{i}\left(A_{ij}{\frac {\partial u_{j}}{\partial t}}+a_{ij}{\frac {\partial u_{j}}{\partial x}}\right)+l_{j}b_{j}=0}$

куда ${\displaystyle A_{ij}}$ и ${\displaystyle a_{ij}}$ являются элементы из матрицы ${\displaystyle \mathbf {A} }$ и ${\displaystyle \mathbf {a} }$ куда ${\displaystyle l_{i}}$ и ${\displaystyle b_{i}}$ являются элементами векторов. Будет задан вопрос, можно ли переписать это уравнение на

${\displaystyle m_{j}\left(\beta {\frac {\partial u_{j}}{\partial t}}+\alpha {\frac {\partial u_{j}}{\partial x}}\right)+l_{j}b_{j}=0}$

Для этого кривые будут введены в ${\displaystyle (x,t)}$ самолет, определяемый векторное поле ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$. Термин в скобках будет переписан в виде полная производная куда ${\displaystyle x,t}$ параметризованы как ${\displaystyle x=X(\eta ),t=T(\eta )}$

${\displaystyle {\frac {du_{j}}{d\eta }}=T'{\frac {\partial u_{j}}{\partial t}}+X'{\frac {\partial u_{j}}{\partial x}}}$

сравнивая последние два уравнения, находим

${\displaystyle \alpha =X'(\eta ),\beta =T'(\eta )}$

что теперь можно записать на характерная форма

${\displaystyle m_{j}{\frac {du_{j}}{d\eta }}+l_{j}b_{j}=0}$

где у нас должны быть условия

${\displaystyle l_{i}A_{ij}=m_{j}T'}$

${\displaystyle l_{i}a_{ij}=m_{j}X'}$

куда ${\displaystyle m_{j}}$ можно исключить, чтобы придать необходимое условие

${\displaystyle l_{i}(A_{ij}X'-a_{ij}T')=0}$

так что для нетрадиционное решение это определитель

${\displaystyle |A_{ij}X'-a_{ij}T'|=0}$

Для инвариантов Римана нас интересует случай, когда матрица ${\displaystyle \mathbf {A} }$ является единичная матрица формировать

${\displaystyle {\frac {\partial u_{j}}{\partial t}}+a_{ij}{\frac {\partial u_{j}}{\partial x}}=0}$

обратите внимание, это однородный из-за вектора ${\displaystyle \mathbf {n} }$ быть нулевым. В характерном виде система

${\displaystyle l_{i}{\frac {du_{i}}{dt}}=0}$ с ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\lambda }$

Где ${\displaystyle l}$ левый собственный вектор матрицы ${\displaystyle \mathbf {A} }$ и ${\displaystyle \lambda 's}$ это характерные скорости из собственные значения матрицы ${\displaystyle \mathbf {A} }$ которые удовлетворяют

${\displaystyle |A-\lambda \delta _{ij}|=0}$

Чтобы упростить эти характеристические уравнения мы можем сделать такие преобразования, что ${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}=l_{i}{\frac {du_{i}}{dt}}}$

какие формы

${\displaystyle \mu l_{i}du_{i}=dr}$

An интегрирующий фактор ${\displaystyle \mu }$ можно умножить, чтобы помочь интегрировать это. Итак, система теперь имеет характерный вид

${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}=0}$ на ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\lambda _{i}}$

что эквивалентно диагональная система^[2]

${\displaystyle r_{t}^{k}+\lambda _{k}r_{x}^{k}=0,}$ ${\displaystyle k=1,...,N.}$

Решение этой системы может быть дано обобщенным метод годографа.^[3][4]

Пример

Рассмотрим одномерный Уравнения Эйлера написано в терминах плотности ${\displaystyle \rho }$ и скорость ${\displaystyle u}$ находятся

${\displaystyle \rho _{t}+\rho u_{x}+u\rho _{x}=0}$

${\displaystyle u_{t}+uu_{x}+(c^{2}/\rho )\rho _{x}=0}$

с ${\displaystyle c}$ будучи скорость звука вводится из-за предположения об изэнтропии. Запишите эту систему в матричной форме

${\displaystyle \left({\begin{matrix}\rho \\u\end{matrix}}\right)_{t}+\left({\begin{matrix}u&\rho \\{\frac {c^{2}}{\rho }}&u\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}\rho \\u\end{matrix}}\right)_{x}=\left({\begin{matrix}0\\0\end{matrix}}\right)}$

где матрица ${\displaystyle \mathbf {a} }$ из приведенного выше анализа необходимо найти собственные значения и собственные векторы. Оказывается, собственные значения удовлетворяют

${\displaystyle \lambda ^{2}-2u\lambda +u^{2}-c^{2}=0}$

давать

${\displaystyle \lambda =u\pm c}$

а собственные векторы оказываются равными

${\displaystyle \left({\begin{matrix}1\\{\frac {c}{\rho }}\end{matrix}}\right),\left({\begin{matrix}1\\-{\frac {c}{\rho }}\end{matrix}}\right)}$

где инварианты Римана равны

${\displaystyle r_{1}=J_{+}=u+\int {\frac {c}{\rho }}d\rho ,}$

${\displaystyle r_{2}=J_{-}=u-\int {\frac {c}{\rho }}d\rho ,}$

(${\displaystyle J_{+}}$ и ${\displaystyle J_{-}}$ широко используемые обозначения в газовая динамика ). Для идеального газа с постоянной удельной теплоемкостью существует соотношение ${\displaystyle c^{2}={\text{const}}\,\gamma \rho ^{\gamma -1}}$, куда ${\displaystyle \gamma }$ это коэффициент удельной теплоемкости, чтобы задать инварианты Римана^[5][6]

${\displaystyle J_{+}=u+{\frac {2}{\gamma -1}}c,}$

${\displaystyle J_{-}=u-{\frac {2}{\gamma -1}}c,}$

дать уравнения

${\displaystyle {\frac {\partial J_{+}}{\partial t}}+(u+c){\frac {\partial J_{+}}{\partial x}}=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial J_{-}}{\partial t}}+(u-c){\frac {\partial J_{-}}{\partial x}}=0}$

Другими словами,

${\displaystyle {\begin{aligned}&dJ_{+}=0,\,J_{+}={\text{const}}\quad {\text{along}}\,\,C_{+}\,:\,{\frac {dx}{dt}}=u+c,\\&dJ_{-}=0,\,J_{-}={\text{const}}\quad {\text{along}}\,\,C_{-}\,:\,{\frac {dx}{dt}}=u-c,\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle C_{+}}$ и ${\displaystyle C_{-}}$ - характеристические кривые. Это можно решить с помощью преобразование годографа. В годографической плоскости, если все характеристики сворачиваются в одну кривую, то получаем простые волны. Если матричная форма системы ПДЭ имеет вид

${\displaystyle A{\frac {\partial v}{\partial t}}+B{\frac {\partial v}{\partial x}}=0}$

Тогда можно будет умножить на обратную матрицу ${\displaystyle A^{-1}}$ пока матрица детерминант из ${\displaystyle \mathbf {A} }$ не равно нулю.

Смотрите также

• Простая волна

Рекомендации

1. Риман, Бернхард (1860). "Ueber die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwingungsweite" (PDF). Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. 8. Получено 2012-08-08.
2. Уизем, Г. Б. (1974). Линейные и нелинейные волны. Wiley. ISBN  978-0-471-94090-6.
3. Камчатнов, А. М. (2000). Нелинейные периодические волны и их модуляции.. Всемирный научный. ISBN  978-981-02-4407-1.
4. Царев, С. П. (1985). «О скобках Пуассона и одномерных гамильтоновых системах гидродинамического типа» (PDF). Советская математика - Доклады. 31 (3): 488–491. МИСТЕР  2379468. Zbl  0605.35075.
5. Зельдович, И. Б., и Рацер, И. П. (1966). Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (Том 1). Академическая пресса.
6. Курант Р. и Фридрихс К. О. 1948. Сверхзвуковое течение и ударные волны. Нью-Йорк: Interscience.