Ограниченная алгебра Ли - Restricted Lie algebra

В математика, а ограниченная алгебра Ли это Алгебра Ли вместе с дополнительным "п операция ".

Определение

Позволять L - алгебра Ли над полем k характерных р> 0. А п операция на L это карта ${\displaystyle X\mapsto X^{[p]}}$ удовлетворение

• ${\displaystyle \mathrm {ad} (X^{[p]})=\mathrm {ad} (X)^{p}}$ для всех ${\displaystyle X\in L}$,
• ${\displaystyle (tX)^{[p]}=t^{p}X^{[p]}}$ для всех ${\displaystyle t\in k,X\in L}$,
• ${\displaystyle (X+Y)^{[p]}=X^{[p]}+Y^{[p]}+\sum _{i=1}^{p-1}{\frac {s_{i}(X,Y)}{i}}}$, для всех ${\displaystyle X,Y\in L}$, куда ${\displaystyle s_{i}(X,Y)}$ коэффициент при ${\displaystyle t^{i-1}}$ в формальном выражении ${\displaystyle \mathrm {ad} (tX+Y)^{p-1}(X)}$.

Если характеристика k равно 0, то L ограниченная алгебра Ли, где п операция - это карта идентичности.

Примеры

Для любой ассоциативной алгебры А определен над полем характеристики п, скобочная операция ${\displaystyle [X,Y]:=XY-YX}$ и п операция ${\displaystyle X^{[p]}:=X^{p}}$ делать А в ограниченную алгебру Ли ${\displaystyle \mathrm {Lie} (A)}$.

Позволять грамм - алгебраическая группа над полем k характеристики п, и ${\displaystyle \mathrm {Lie} (G)}$ быть Касательное пространство Зарисского в элементе идентичности грамм. Каждый элемент ${\displaystyle \mathrm {Lie} (G)}$ однозначно определяет левоинвариантное векторное поле на грамм, а коммутатор векторных полей определяет структуру алгебры Ли на ${\displaystyle \mathrm {Lie} (G)}$ так же, как в Группа Ли дело. Если р> 0, то Карта Фробениуса ${\displaystyle x\mapsto x^{p}}$ определяет п операция на ${\displaystyle \mathrm {Lie} (G)}$.

Ограниченная универсальная обертывающая алгебра

Функтор ${\displaystyle A\mapsto \mathrm {Lie} (A)}$ имеет левый смежный ${\displaystyle L\mapsto U^{[p]}(L)}$ называется ограниченная универсальная обертывающая алгебра. Чтобы построить это, пусть ${\displaystyle U(L)}$ быть универсальная обертывающая алгебра из L забывая п операция. Сдача я двусторонний идеал, порожденный элементами вида ${\displaystyle x^{p}-x^{[p]}}$, мы установили ${\displaystyle U^{[p]}(L)=U(L)/I}$. Он удовлетворяет форме Теорема PBW.

Смотрите также

Ограниченные алгебры Ли используются в Якобсон переписка Галуа для чисто неразделимые расширения полей экспоненты 1.

Рекомендации

• Борель, Арман (1991), Линейные алгебраические группы, Тексты для выпускников по математике, 126 (2-е изд.), Springer-Verlag, Zbl  0726.20030.
• Блок, Ричард Э .; Уилсон, Роберт Ли (1988), "Классификация ограниченных простых алгебр Ли", Журнал алгебры, 114 (1): 115–259, Дои:10.1016/0021-8693(88)90216-5, ISSN  0021-8693, МИСТЕР  0931904.
• Монтгомери, Сьюзен (1993), Алгебры Хопфа и их действия на кольцах. Расширенная версия десяти лекций, прочитанных на конференции CBMS по алгебрам Хопфа и их действиям на кольцах, которая проходила в Университете ДеПола в Чикаго, США, 10-14 августа 1992 г., Серия региональных конференций по математике, 82, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 23, ISBN  978-0-8218-0738-5, Zbl  0793.16029.