Теорема отражения - Reflection theorem

О принципах отражения в теории множеств см. принцип отражения.

В алгебраическая теория чисел, а теорема отражения или же Spiegelungssatz (Немецкий за теорема отражения - видеть Spiegel и Satz ) - одна из теорем, связывающих размеры различных идеальные группы классов (или же группы классов лучей ), или размеры разных изотипические компоненты классной группы. Исходный пример связан с Эрнст Эдуард Куммер, который показал, что номер класса круговое поле ${\displaystyle \mathbb {Q} \left(\zeta _{p}\right)}$, с п простое число, будет делиться на п если номер класса максимального вещественного подполя ${\displaystyle \mathbb {Q} \left(\zeta _{p}\right)^{+}}$ является. Другой пример принадлежит Шольцу.^[1] Упрощенная версия его теоремы утверждает, что если 3 делит число классов действительное квадратичное поле ${\displaystyle \mathbb {Q} \left({\sqrt {d}}\right)}$, то 3 также делит номер класса мнимое квадратичное поле ${\displaystyle \mathbb {Q} \left({\sqrt {-3d}}\right)}$.

Spiegelungssatz Леопольда

Оба приведенных выше результата обобщены Леопольдт "Spiegelungssatz", в котором говорится о шутки различных изотипических компонентов группы классов числового поля, рассматриваемого как модуль над Группа Галуа расширения Галуа.

Позволять L/K - конечное расширение Галуа числовых полей с группой грамм, степень проста с п и L содержащий пкорни единства. Позволять А быть п-Силовская подгруппа группы классов L. Пусть φ пробегает неприводимые характеры группового кольца Q_п[грамм] и разреши А_φ обозначим соответствующие прямые слагаемые А. Для любого φ пусть q = п^{φ (1)} и пусть грамм-классифицировать е_φ быть показателем в индексе

${\displaystyle [A_{\phi }:A_{\phi }^{p}]=q^{e_{\phi }}.}$

Пусть ω - характер грамм

${\displaystyle \zeta ^{g}=\zeta ^{\omega (g)}{\text{ for }}\zeta \in \mu _{p}.}$

Отражение (Spiegelung) φ^* определяется

${\displaystyle \phi ^{*}(g)=\omega (g)\phi (g^{-1}).}$

Позволять E быть единичной группой K. Мы говорим, что ε «примарно», если ${\displaystyle K({\sqrt[{p}]{\epsilon }})/K}$ неразветвлен, и пусть E₀ обозначим группу первичных единиц по модулю E^п. Пусть δ_φ обозначить грамм-ранг φ-компоненты E₀.

Spiegelungssatz утверждает, что

${\displaystyle |e_{\phi ^{*}}-e_{\phi }|\leq \delta _{\phi }.}$

Расширения

Расширения этого Spiegelungssatz были даны Oriat и Oriat-Satge, где группы классов больше не ассоциировались с персонажами группы Галуа. K/k, а скорее идеалами в групповое кольцо над группой Галуа K/k. Spiegelungssatz Леопольдта был обобщен в другом направлении Курода, который расширил его до утверждения о группы классов лучей. Это было далее развито в очень общее "Т-S теорема отражения " Жорж Гра.^[2] Кенкичи Ивасава также предоставил Теоретико-Ивасавский Теорема отражения.

Рекомендации

1. А. Шольц, Uber die Beziehung der Klassenzahlen quadratischer Korper zueinander, J. Reine Angew. Математика., 166 (1932), 201-203.
2. Жорж Гра, Теория поля классов: от теории к практике, Springer-Verlag, Берлин, 2004 г., стр. 157–158.

• Кох, Гельмут (1997). Алгебраическая теория чисел. Энцикл. Математика. Sci. 62 (2-е издание 1-го изд.). Springer-Verlag. С. 147–149. ISBN  3-540-63003-1. Zbl  0819.11044.