Уменьшение заказа - Reduction of order

Уменьшение заказа это техника в математика для решения линейных обычный дифференциальные уравнения. Применяется, когда одно решение ${\displaystyle y_{1}(x)}$ известно и второй линейно независимый решение ${\displaystyle y_{2}(x)}$ желательно. Метод также применим к уравнениям n-го порядка. В этом случае анзац даст уравнение (n-1) -го порядка для ${\displaystyle v}$.

Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка

Пример

Рассмотрим общее однородное обыкновенное дифференциальное уравнение с линейными постоянными коэффициентами второго порядка. (ODE)

${\displaystyle ay''(x)+by'(x)+cy(x)=0,\;}$

куда ${\displaystyle a,b,c}$ - действительные ненулевые коэффициенты. Два линейно независимых решения для этого ОДУ можно легко найти, используя характеристические уравнения за исключением случая, когда дискриминант, ${\displaystyle b^{2}-4ac}$, исчезает. В этом случае,

${\displaystyle ay''(x)+by'(x)+{\frac {b^{2}}{4a}}y(x)=0,\;}$

из которых только одно решение,

${\displaystyle y_{1}(x)=e^{-{\frac {b}{2a}}x},}$

можно найти с помощью его характеристического уравнения.

Метод понижения порядка используется для получения второго линейно независимого решения этого дифференциального уравнения с использованием нашего одного известного решения. Чтобы найти второе решение, мы предполагаем

${\displaystyle y_{2}(x)=v(x)y_{1}(x)\;}$

куда ${\displaystyle v(x)}$ - неизвестная функция, которую предстоит определить. С ${\displaystyle y_{2}(x)}$ должен удовлетворять исходному ODE, мы подставляем его обратно, чтобы получить

${\displaystyle a\left(v''y_{1}+2v'y_{1}'+vy_{1}''\right)+b\left(v'y_{1}+vy_{1}'\right)+{\frac {b^{2}}{4a}}vy_{1}=0.}$

Преобразуя это уравнение через производные от ${\displaystyle v(x)}$ мы получили

${\displaystyle \left(ay_{1}\right)v''+\left(2ay_{1}'+by_{1}\right)v'+\left(ay_{1}''+by_{1}'+{\frac {b^{2}}{4a}}y_{1}\right)v=0.}$

Поскольку мы знаем, что ${\displaystyle y_{1}(x)}$ является решением исходной задачи, коэффициент при последнем члене равен нулю. Кроме того, подставив ${\displaystyle y_{1}(x)}$ в коэффициент второго члена дает (для этого коэффициента)

${\displaystyle 2a\left(-{\frac {b}{2a}}e^{-{\frac {b}{2a}}x}\right)+be^{-{\frac {b}{2a}}x}=\left(-b+b\right)e^{-{\frac {b}{2a}}x}=0.}$

Следовательно, мы остаемся с

${\displaystyle ay_{1}v''=0.\;}$

С ${\displaystyle a}$ предполагается ненулевым и ${\displaystyle y_{1}(x)}$ является экспоненциальная функция (и, следовательно, всегда отличное от нуля), мы имеем

${\displaystyle v''=0.\;}$

Его можно интегрировать дважды, чтобы получить

${\displaystyle v(x)=c_{1}x+c_{2}\;}$

куда ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ - константы интегрирования. Теперь мы можем записать наше второе решение как

${\displaystyle y_{2}(x)=(c_{1}x+c_{2})y_{1}(x)=c_{1}xy_{1}(x)+c_{2}y_{1}(x).\;}$

Со второго срока в ${\displaystyle y_{2}(x)}$ является скалярным множителем первого решения (и, следовательно, линейно зависимым), мы можем отбросить этот член, получив окончательное решение

${\displaystyle y_{2}(x)=xy_{1}(x)=xe^{-{\frac {b}{2a}}x}.}$

Наконец, мы можем доказать, что второе решение ${\displaystyle y_{2}(x)}$ найденное этим методом, линейно не зависит от первого решения путем вычисления Вронскиан

${\displaystyle W(y_{1},y_{2})(x)={\begin{vmatrix}y_{1}&xy_{1}\\y_{1}'&y_{1}+xy_{1}'\end{vmatrix}}=y_{1}(y_{1}+xy_{1}')-xy_{1}y_{1}'=y_{1}^{2}+xy_{1}y_{1}'-xy_{1}y_{1}'=y_{1}^{2}=e^{-{\frac {b}{a}}x}\neq 0.}$

Таким образом ${\displaystyle y_{2}(x)}$ - второе искомое линейно независимое решение.

Общий метод

Учитывая общее неоднородное линейное дифференциальное уравнение

${\displaystyle y''+p(t)y'+q(t)y=r(t)\,}$

и единое решение ${\displaystyle y_{1}(t)}$ однородного уравнения [${\displaystyle r(t)=0}$], попробуем решить полное неоднородное уравнение в виде:

${\displaystyle y_{2}=v(t)y_{1}(t)\,}$

куда ${\displaystyle v(t)}$ - произвольная функция. Таким образом

${\displaystyle y_{2}'=v'(t)y_{1}(t)+v(t)y_{1}'(t)\,}$

и

${\displaystyle y_{2}''=v''(t)y_{1}(t)+2v'(t)y_{1}'(t)+v(t)y_{1}''(t).\,}$

Если они заменены на ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle y'}$, и ${\displaystyle y''}$ в дифференциальном уравнении, то

${\displaystyle y_{1}(t)\,v''+(2y_{1}'(t)+p(t)y_{1}(t))\,v'+(y_{1}''(t)+p(t)y_{1}'(t)+q(t)y_{1}(t))\,v=r(t).}$

С ${\displaystyle y_{1}(t)}$ является решением исходного однородного дифференциального уравнения, ${\displaystyle y_{1}''(t)+p(t)y_{1}'(t)+q(t)y_{1}(t)=0}$, поэтому мы можем сократить до

${\displaystyle y_{1}(t)\,v''+(2y_{1}'(t)+p(t)y_{1}(t))\,v'=r(t)}$

которое является дифференциальным уравнением первого порядка для ${\displaystyle v'(t)}$ (уменьшение порядка). Поделить на ${\displaystyle y_{1}(t)}$, получение

${\displaystyle v''+\left({\frac {2y_{1}'(t)}{y_{1}(t)}}+p(t)\right)\,v'={\frac {r(t)}{y_{1}(t)}}}$.

В интегрирующий фактор является ${\displaystyle \mu (t)=e^{\int ({\frac {2y_{1}'(t)}{y_{1}(t)}}+p(t))dt}=y_{1}^{2}(t)e^{\int p(t)dt}}$.

Умножая дифференциальное уравнение на интегрирующий коэффициент ${\displaystyle \mu (t)}$, уравнение для ${\displaystyle v(t)}$ можно свести к

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(v'(t)y_{1}^{2}(t)e^{\int p(t)dt})=y_{1}(t)r(t)e^{\int p(t)dt}}$.

После интегрирования последнего уравнения ${\displaystyle v'(t)}$ найдено, содержащее одну постоянную интегрирования. Затем проинтегрируем ${\displaystyle v'(t)}$ чтобы найти полное решение исходного неоднородного уравнения второго порядка, показывающее две постоянные интегрирования, как должно:

${\displaystyle y_{2}(t)=v(t)y_{1}(t)\,}$.

Смотрите также

• Вариация параметров

Рекомендации

• В. Э. Бойс и Р. К. ДиПрима, Элементарные дифференциальные уравнения и краевые задачи (8-е издание), John Wiley & Sons, Inc., 2005. ISBN  0-471-43338-1.
• Тешл, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы.. Провиденс: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-8328-0.
• Эрик В. Вайсштейн, Второе решение обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, Из MathWorld - веб-ресурса Wolfram.