Реальный аналитический ряд Эйзенштейна - Real analytic Eisenstein series

В математика, простейший вещественно-аналитический ряд Эйзенштейна это специальная функция двух переменных. Он используется в теория представлений из SL (2,р) И в аналитическая теория чисел. Это тесно связано с дзета-функцией Эпштейна.

Есть много обобщений, связанных с более сложными группами.

Определение

Серия Эйзенштейна E(z, s) за z = Икс + иу в верхняя полуплоскость определяется

для Re (s)> 1, и аналитическим продолжением для других значений комплексного числа s. Сумма ведется по всем парам взаимно простых целых чисел.

Предупреждение: есть несколько других немного отличающихся определений. Некоторые авторы опускают множитель ½, а некоторые суммируют все пары целых чисел, которые не равны нулю; который изменяет функцию в ζ раз (2s).

Характеристики

Как функция на z

Рассматривается как функция z, E(z,s) является вещественно-аналитическим собственная функция из Оператор Лапласа на ЧАС с собственным значением s(s-1). Другими словами, он удовлетворяет эллиптическое уравнение в частных производных

куда

Функция E(z, s) инвариантна относительно действия SL (2,Z) на z в верхней полуплоскости на дробно-линейные преобразования. Вместе с предыдущим свойством это означает, что ряд Эйзенштейна является Форма Маасса, вещественно-аналитический аналог классической эллиптической модульная функция.

Предупреждение: E(z, s) не является суммируемой с квадратом функцией от z относительно инвариантной римановой метрики на ЧАС.

Как функция на s

Ряд Эйзенштейна сходится для Re (s)> 1, но может быть аналитически продолжение к мероморфной функции s на всей комплексной плоскости, причем в полуплоскости Re (s) 1/2 единственный полюс вычета 3 / π в точке s = 1 (для всех z в ЧАС) и бесконечно много полюсов в полосе 0 s) <1/2 при куда соответствует нетривиальному нулю дзета-функции Римана. Постоянный член полюса при s = 1 описывается Формула предела Кронекера.

Модифицированная функция

удовлетворяет функциональному уравнению

аналогично функциональному уравнению для Дзета-функция Римана ζ (s).

Скалярное произведение двух разных серий Эйзенштейна E(z, s) и E(z, т) дается Отношения Маасса-Сельберга.

Разложение Фурье

Приведенные выше свойства вещественно-аналитического ряда Эйзенштейна, то есть функционального уравнения для E (z, s) и E*(z, s) с помощью лапласиана на ЧАС, показаны из того факта, что E (z, s) имеет разложение Фурье:

куда

и модифицированный Функции Бесселя

Дзета-функция Эпштейна

В Дзета-функция Эпштейна ζQ(s) (Эпштейн 1903 ) для положительно определенной целой квадратичной формы Q(м, п) = см2 + bmn +ан2 определяется

По сути, это частный случай вещественно-аналитического ряда Эйзенштейна для специального значения z, поскольку

за

Эта дзета-функция была названа в честь Пол Эпштейн.

Обобщения

Реальный аналитический ряд Эйзенштейна E(z, s) действительно является рядом Эйзенштейна, ассоциированным с дискретной подгруппой SL (2,Z) из SL (2,р). Сельберг описал обобщения на другие дискретные подгруппы Γ группы SL (2,р) и использовали их для изучения представления SL (2,р) на L2(SL (2,р) / Γ). Langlands распространил работу Сельберга на группы более высокой размерности; его печально известные трудные доказательства были позже упрощены Джозеф Бернштейн.

Смотрите также

Рекомендации

  • Дж. Бернштейн, Мероморфное продолжение серии Эйзенштейна
  • Эпштейн, П. (1903), "Zur Theorie allgemeiner Zetafunktionen I" (PDF), Математика. Анна., 56 (4): 614–644, Дои:10.1007 / BF01444309.
  • А. Криг (2001) [1994], "Дзета-функция Эпштейна", Энциклопедия математики, EMS Press
  • Кубота, Т. (1973), Элементарная теория рядов Эйзенштейна, Токио: Коданша, ISBN  0-470-50920-1.
  • Лэнглендс, Роберт П. (1976), О функциональных уравнениях, которым удовлетворяет ряд Эйзенштейна, Берлин: Springer-Verlag, ISBN  0-387-07872-X.
  • А. Сельберг, Разрывные группы и гармонический анализ, Proc. Int. Congr. Матем., 1962.
  • Д. Загир, Ряд Эйзенштейна и дзета-функция Римана.