Основная теорема Рамануджана - Ramanujans master theorem

В математика, Основная теорема Рамануджана (названный в честь Шриниваса Рамануджан^[1]) - это метод, который дает аналитическое выражение для Преобразование Меллина из аналитическая функция.

Страница из записной книжки Рамануджана, излагающая его основную теорему.

Результат заявлен следующим образом:

Если комплексная функция ${\displaystyle f(x)}$ имеет расширение вида

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\,\varphi (k)\,}{k!}}(-x)^{k}}$

затем Преобразование Меллина из ${\displaystyle f(x)}$ дан кем-то

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{s-1}\,f(x)\,\operatorname {d} x=\Gamma (s)\,\varphi (-s)}$

куда ${\displaystyle \Gamma (s)}$ это гамма-функция.

Рамануджан широко использовал его для вычисления определенных интегралов и бесконечная серия.

Более многомерные версии этой теоремы также появляются в квантовая физика (через Диаграммы Фейнмана ).^[2]

Аналогичный результат был получен и Глейшер.^[3]

Альтернативный формализм

Альтернативная формулировка основной теоремы Рамануджана выглядит следующим образом:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{s-1}\,\left(\,\lambda (0)-x\,\lambda (1)+x^{2}\,\lambda (2)-\,\cdots \,\right)\,\operatorname {d} x={\frac {\pi }{\,\sin(\pi s)\,}}\,\lambda (-s)}$

который преобразуется в приведенную выше форму после замены ${\displaystyle \lambda (n)\equiv {\frac {\varphi (n)}{\,\Gamma (1+n)\,}}}$ и используя функциональное уравнение для гамма-функция.

Приведенный выше интеграл сходится при ${\displaystyle 0<{\mathcal {Re}}(s)<1}$ в зависимости от условий роста на ${\displaystyle \varphi }$.^[4]

Доказательство

Доказательство основной теоремы Рамануджана с учетом «естественных» предположений (хотя и не самых слабых необходимых условий) было предоставлено Г. Х. Харди^[5] используя теорема о вычетах и известные Теорема обращения Меллина.

Приложение к многочленам Бернулли

Производящая функция Полиномы Бернулли ${\displaystyle B_{k}(x)}$ дан кем-то:

${\displaystyle {\frac {z\,e^{x\,z}}{\,e^{z}-1\,}}=\sum _{k=0}^{\infty }B_{k}(x)\,{\frac {z^{k}}{k!}}}$

Эти полиномы задаются в терминах Дзета-функция Гурвица:

${\displaystyle \zeta (s,a)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{\,(n+a)^{s}\,}}}$

к ${\displaystyle ~\zeta (1-n,a)=-{\frac {B_{n}(a)}{n}}~}$ за ${\displaystyle ~n\geq 1~}$. Используя основную теорему Рамануджана и производящую функцию многочленов Бернулли, можно получить следующее интегральное представление:^[6]

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{s-1}\,\left({\frac {e^{-ax}}{\,1-e^{-x}\,}}-{\frac {1}{x}}\right)\,\operatorname {d} x=\Gamma (s)\,\zeta (s,a)\!}$

что действительно для ${\displaystyle ~0<{\mathcal {Re}}(s)<1~}$.

Применение к гамма-функции

Определение Вейерштрасса гамма-функции

${\displaystyle \Gamma (x)={\frac {\,e^{-\gamma \,x\,}}{x}}\,\prod _{n=1}^{\infty }\left(\,1+{\frac {x}{n}}\,\right)^{-1}e^{x/n}\!}$

эквивалентно выражению

${\displaystyle \log \Gamma (1+x)=-\gamma \,x+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\,\zeta (k)\,}{k}}\,(-x)^{k}}$

куда ${\displaystyle \zeta (k)}$ это Дзета-функция Римана.

Затем, применяя основную теорему Рамануджана, мы имеем:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{s-1}{\frac {\,\gamma \,x+\log \Gamma (1+x)\,}{x^{2}}}\operatorname {d} x={\frac {\pi }{\sin(\pi s)}}{\frac {\zeta (2-s)}{2-s}}\!}$

Годен до ${\displaystyle 0<{\mathcal {Re}}(s)<1}$.

Особые случаи ${\displaystyle s={\frac {1}{2}}}$ и ${\displaystyle s={\frac {3}{4}}}$ находятся

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\,\gamma x+\log \Gamma (1+x)\,}{x^{5/2}}}\,\operatorname {d} x={\frac {2\pi }{3}}\,\zeta \left({\frac {3}{2}}\right)}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\,\gamma \,x+\log \Gamma (1+x)\,}{x^{9/4}}}\,\operatorname {d} x={\sqrt {2}}{\frac {4\pi }{5}}\zeta \left({\frac {5}{4}}\right)}$

Рекомендации

1. Берндт, Б. (1985). Записные книжки Рамануджана, часть I. Нью-Йорк: Springer-Verlag.
2. Гонсалес, Иван; Moll, V.H .; Шмидт, Иван (2011). «Обобщенная основная теорема Рамануджана, применяемая к оценке диаграмм Фейнмана». arXiv:1103.0588 [математика ].
3. Glaisher, J.W.L. (1874 г.). «Новая формула в определенных интегралах». Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал. 48 (315): 53–55. Дои:10.1080/14786447408641072.
4. Амдеберхан, Теодрос; Гонсалес, Иван; Харрисон, Маршалл; Moll, Victor H .; Штрауб, Армин (2012). «Основная теорема Рамануджана». Рамануджанский журнал. 29 (1–3): 103–120. CiteSeerX  10.1.1.232.8448. Дои:10.1007 / s11139-011-9333-у.
5. Харди, Г. (1978). Рамануджан: Двенадцать лекций на темы, подсказанные его жизнью и работой (3-е изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Челси. ISBN  978-0-8284-0136-4.
6. Espinosa, O .; Молл В. (2002). «О некоторых определенных интегралах, включающих дзета-функцию Гурвица. Часть 2». Рамануджанский журнал. 6 (4): 449–468. arXiv:математика / 0107082. Дои:10.1023 / А: 1021171500736.

внешняя ссылка

• "Основная теорема Рамануджана". mathworld.wolfram.com.
• "РМТ" (PDF). АрминСтрауб. публикации.