Радикал кольца - Radical of a ring

В теория колец, филиал математика, а радикал кольца является идеальный «нехороших» элементов звенеть.

Первым примером радикала был нильрадикал представлен Кете (1930), на основе предложения Веддерберн (1908). В последующие несколько лет было обнаружено несколько других радикалов, наиболее важным примером которых является Радикал Якобсона. Общая теория радикалов была определена независимо (Амицур1952, 1954, 1954b ) и Курош (1953).

Определения

В теории радикалов кольца обычно считаются ассоциативными, но они не обязательно должны быть коммутативными и иметь единичный элемент. В частности, каждый идеал кольца также является кольцом.

А радикальный класс (также называемый радикальная собственность или просто радикальный) - класс колец σ, возможно, без тождеств, такой, что:

гомоморфный образ кольца в σ также находится в σ
каждое кольцо р содержит идеал S(р) в σ, содержащий любой другой идеал р то есть в σ
S(р/S(р)) = 0. Идеал S(р) называется радикалом, или σ-радикалом, р.

Изучение таких радикалов называется теория кручения.

Для любого класса колец δ существует наименьший радикальный класс Lδ, содержащее его, называется нижний радикал из δ. Оператор L называется оператор нижнего радикала.

Класс колец называется обычный если каждый ненулевой идеал кольца в классе имеет ненулевой образ в классе. Для каждого регулярного класса колец δ существует наибольший радикальный класс Uδ, называемый верхним радикалом δ, имеющий нулевое пересечение с δ. Оператор U называется оператор верхнего радикала.

Класс колец называется наследственный если каждый идеал кольца в классе также принадлежит классу.

Примеры

Радикал Джейкобсона

Позволять р - любое кольцо, не обязательно коммутативное. В Радикал Якобсона р является пересечением аннигиляторов всех просто верно р-модули.

Существует несколько эквивалентных характеристик радикала Джекобсона, например:

J (р) является пересечением регулярных максимальных правых (или левых) идеалов р.
J (р) является пересечением всех правых (или левых) примитивных идеалов р.
J (р) - максимальный правый (или левый) квазирегулярный правый (соответственно левый) идеал р.

Как и в случае с нильрадикалом, мы можем распространить это определение на произвольные двусторонние идеалы я определив J (я) быть прообразом J (R / I) под карту проекции р→R / I.

Если р коммутативен, радикал Джекобсона всегда содержит нильрадикал. Если кольцо р является конечно порожденным Z-алгебра, то нильрадикал равен радикалу Джекобсона, а в более общем смысле: радикалу любого идеала я всегда будет равняться пересечению всех максимальных идеалов р которые содержат я. Это говорит, что р это Кольцо Jacobson.

Радикал Бэра

Радикал Бэра кольца - это пересечение главные идеалы кольца р. Эквивалентно это наименьший полупервичный идеал в р. Радикал Бэра - это нижний радикал класса нильпотентных колец. Также называется «нижний нильрадикал» (и обозначается Nil_∗р), «первичный радикал» и «радикал Бэр-Маккой». Каждый элемент радикала Бэра равен нильпотентный, так что это нулевой идеал.

Для коммутативных колец это просто нильрадикал и точно следует определению радикал идеала.

Верхний ниль-радикал или радикал Кете

Сумма нулевые идеалы кольца р верхний нильрадикал Nil^*р или радикал Кете и является единственным наибольшим нулевым идеалом р. Гипотеза Кете спрашивает, находится ли какой-либо левый ниль-идеал в нильрадикале.

Единственный радикал

Элемент кольца (возможно, некоммутативного) называется левым. единственное число если он уничтожит существенный левый идеал, то есть, р остается особенным, если Ir = 0 для некоторого существенного левого идеала я. Множество левых особых элементов кольца р двусторонний идеал, называемый левый особый идеал, и обозначается ${ Displaystyle { mathcal {Z}} (_ {R} R) ,}$ . Идеал N из р такой, что ${ Displaystyle N / { mathcal {Z}} (_ {R} R) = { mathcal {Z}} (_ {R / { mathcal {Z}} (_ {R} R)} R / { mathcal {Z}} (_ {R} R)) ,}$ обозначается ${ Displaystyle { mathcal {Z}} _ {2} (_ {R} R)}$ и называется единственный радикал или Голди кручение из р. Особый радикал содержит первичный радикал (нильрадикал в случае коммутативных колец), но может надлежащим образом содержать его даже в коммутативном случае. Однако единственный радикал Кольцо Нётериана всегда нильпотентен.

Радикал Левицки

Радикал Левицки определяется как наибольший локально нильпотентный идеал, аналогичный Радикал Хирша – Плоткина в теории групп. Если кольцо нётерский, то радикал Левицки сам является нильпотентным идеалом, как и единственный наибольший левый, правый или двусторонний нильпотентный идеал.

Радикал Брауна – Маккой

Радикал Брауна – Маккой (названный сильный радикал в теории Банахова алгебра ) можно определить любым из следующих способов:

пересечение максимальных двусторонних идеалов
пересечение всех максимальных модулярных идеалов
верхний радикал класса всех простые кольца с личностью

Радикал Брауна – МакКоя изучен гораздо шире, чем ассоциативные кольца с единицей.

Регулярный радикал фон Неймана

А регулярное кольцо фон Неймана кольцо А (возможно, некоммутативный без единицы) такой, что для каждого а существует некоторое б с а = аба. Регулярные кольца фон Неймана образуют радикальный класс. Он содержит каждое кольцо матриц над алгебра с делением, но не содержит нулевых колец.

Артинианский радикал

Артинианский радикал обычно определяется для двустороннего Нётерские кольца как сумма всех правильных идеалов, которые Артинианские модули. Определение симметрично слева и справа и действительно дает двусторонний идеал кольца. Этот радикал важен для изучения нётеровых колец, как подчеркивает Болтовни (1980).

Смотрите также

Связанное использование радикальный которые не являются радикалами колец: