Фактор по отношению эквивалентности - Quotient by an equivalence relation

Эта статья представляет собой обобщение теория категорий, используется в теория схем. Для общего значения см. Класс эквивалентности.

В математика, учитывая категория C, а частное из объект Икс отношением эквивалентности ${\displaystyle f:R\to X\times X}$ это коэквалайзер для пары карт

${\displaystyle R\ {\overset {f}{\to }}\ X\times X\ {\overset {\operatorname {pr} _{i}}{\to }}\ X,\ \ i=1,2,}$

куда р это объект в C и "ж является отношением эквивалентности "означает, что для любого объекта Т в C, изображение (которое является набор ) из ${\displaystyle f:R(T)=\operatorname {Mor} (T,R)\to X(T)\times X(T)}$ является отношение эквивалентности; это рефлексивный, симметричный и переходный связь.

Основной случай на практике - это когда C - категория всех схем над некоторой схемой S. Но понятие гибкое, и можно также взять C быть категорией снопы.

Примеры

• Позволять Икс - множество и рассмотрим на нем какое-нибудь отношение эквивалентности. Позволять Q быть набором всех классы эквивалентности в Икс. Тогда карта ${\displaystyle q:X\to Q}$ который отправляет элемент Икс классу эквивалентности, которому Икс принадлежит является частным.
• В приведенном выше примере Q это подмножество из набор мощности ЧАС из Икс. В алгебраическая геометрия, можно было бы заменить ЧАС по Схема гильберта или несвязное объединение схем Гильберта. Фактически, Гротендик построил относительную Схема Пикара плоской проективной схемы Икс^[1] как частное Q (схемы Z параметризация относительные эффективные делители на Икс), которая является замкнутой схемой схемы Гильберта ЧАС. Факторная карта ${\displaystyle q:Z\to Q}$ можно рассматривать как относительную версию Карта Авеля.

Смотрите также

• Категориальный фактор, особый случай

Примечания

1. Также необходимо предположить, что геометрические волокна представляют собой интегральные схемы; Пример Мамфорда показывает, что «интеграл» нельзя опустить.

Рекомендации

• Ницурэ, Н. Построение схем Гильберта и Квота. Фундаментальная алгебраическая геометрия: объяснение FGA Гротендика, Mathematical Surveys and Monographs 123, American Mathematical Society 2005, 105–137.