Преобразование Прандтля – Глауэрта - Prandtl–Glauert transformation

В Преобразование Прандтля – Глауэрта математический метод, позволяющий решать некоторые сжимаемый проблемы с потоком несжимаемый методы расчета расхода. Это также позволяет применять данные о несжимаемом потоке к случаям сжимаемого потока.

Математическая формулировка

Сюжет обратного Фактор Прандтля – Глауэрта ${displaystyle 1/eta }$ как функция свободного потока число Маха. Обратите внимание на бесконечный предел на 1 Маха.

Обтекание тонкими телами невязкой сжимаемой жидкости регулируется линеаризованным уравнением сжимаемого потенциала малых возмущений:^[1]

${displaystyle phi _{xx}+phi _{yy}+phi _{zz}=M_{infty }^{2}phi _{xx}quad {mbox{(in flow field)}}}$

вместе с граничным условием касания потока малых возмущений.

${displaystyle V_{infty }n_{x}+phi _{y}n_{y}+phi _{z}n_{z}=0quad {mbox{(on body surface)}}}$

${displaystyle M_{infty }}$ - число Маха набегающего потока, а ${displaystyle n_{x},n_{y},n_{z}}$ компоненты вектора нормали к поверхности. Неизвестная переменная - потенциал возмущения ${displaystyle phi (x,y,z)}$, а полная скорость определяется ее градиентом плюс скорость набегающего потока ${displaystyle V_{infty }}$ который здесь предполагается ${displaystyle x}$.

${displaystyle {vec {V}}=abla phi +V_{infty }{hat {x}}=(V_{infty }+phi _{x}){hat {x}}+phi _{y}{hat {y}}+phi _{z}{hat {z}}}$

Приведенная выше формулировка действительна только в случае применения приближения малых возмущений,^[2]

${displaystyle |abla phi |ll V_{infty }}$

и вдобавок отсутствие околозвукового потока, что приблизительно констатируется требованием, чтобы локальное число Маха не превышало единицы.

${displaystyle left[1+(gamma +1){frac {phi _{x}}{V_{infty }}}ight]M_{infty }^{2}<1}$

Преобразование Прандтля – Глауэрта (PG) использует фактор Прандтля – Глауэрта. ${displaystyle eta equiv {sqrt {1-M_{infty }^{2}}}}$. Он заключается в уменьшении всех у и z габариты и угол атаки в раз ${displaystyle eta ,}$ потенциал ${displaystyle eta ^{2},}$ и Икс компонент нормальных векторов на ${displaystyle eta }$:

${displaystyle {egin{aligned}{ar {x}}&=x{ar {y}}&=eta y{ar {z}}&=eta z{ar {alpha }}&=eta alpha {ar {phi }}&=eta ^{2}phi end{aligned}}}$

Этот ${displaystyle {ar {x}}{ar {y}}{ar {z}}}$ геометрия тогда будет иметь нормальные векторы, компоненты x которых уменьшены на ${displaystyle eta }$ из оригинальных:

${displaystyle {egin{aligned}{ar {n}}_{ar {x}}&=eta n_{x}{ar {n}}_{ar {y}}&=n_{y}{ar {n}}_{ar {z}}&=n_{z}end{aligned}}}$

Уравнение потенциала малых возмущений затем преобразуется в уравнение Лапласа:

${displaystyle {ar {phi }}_{{ar {x}}{ar {x}}}+{ar {phi }}_{{ar {y}}{ar {y}}}+{ar {phi }}_{{ar {z}}{ar {z}}}=0quad {mbox{(in flow field)}}}$

и граничное условие касания к потоку сохраняет тот же вид.

${displaystyle V_{infty }{ar {n}}_{ar {x}}+{ar {phi }}_{ar {y}}{ar {n}}_{ar {y}}+{ar {phi }}_{ar {z}}{ar {n}}_{ar {z}}=0quad {mbox{(on body surface)}}}$

Это проблема несжимаемого потенциального потока о преобразованном ${displaystyle {ar {x}}{ar {y}}{ar {z}}}$ геометрия. Ее можно решить методами несжимаемой жидкости, такими как теория тонких профилей, методы вихревой решетки, методы панелей и т. Д. Результатом является преобразованный потенциал возмущения ${displaystyle {ar {phi }}}$ или его градиентные компоненты ${displaystyle {ar {phi }}_{ar {x}},{ar {phi }}_{ar {y}},{ar {phi }}_{ar {z}}}$ в преобразованном пространстве. Физический линеаризованный коэффициент давления затем получается обратным преобразованием

${displaystyle C_{p}=-2{frac {phi _{x}}{V_{infty }}}=-{frac {2}{eta ^{2}}}{frac {{ar {phi }}_{ar {x}}}{V_{infty }}}={frac {1}{eta ^{2}}}{ar {C}}_{p}}$

которое известно как правило Гетерта^[3]

Полученные результаты

За двумерный поток, в конечном итоге ${displaystyle C_{p}}$ а также коэффициенты подъемной силы и момента ${displaystyle c_{l},c_{m}}$ увеличиваются в раз ${displaystyle 1/eta }$:

${displaystyle {egin{aligned}C_{p}&={frac {C_{p0}}{eta }}c_{l}&={frac {c_{l0}}{eta }}c_{m}&={frac {c_{m0}}{eta }}end{aligned}}}$

куда ${displaystyle C_{p0},c_{l0},c_{m0}}$ - значения расхода несжимаемой жидкости для оригинал (немасштабированный) ${displaystyle xyz}$ геометрия. Этот двумерный результат известен как правило Прандтля.^[4]

За трехмерные потокиэти простые ${displaystyle 1/eta }$ масштабирование НЕ применяется. Вместо этого необходимо работать с масштабированным ${displaystyle {ar {x}}{ar {y}}{ar {z}}}$ геометрии, как указано выше, и используйте правило Гетерта для вычисления ${displaystyle C_{p}}$ а затем силы и моменты. Невозможно получить простые результаты, за исключением особых случаев. Например, используя Теория подъемной линии для плоского эллиптического крыла коэффициент подъемной силы равен

${displaystyle C_{L}={frac {2pi alpha }{eta +2/AR}}}$

куда AR - удлинение крыла. Обратите внимание, что в случае 2D, когда AR → ∞ это сводится к двумерному случаю, так как в несжимаемом двумерном потоке для плоского профиля ${displaystyle c_{l0}=2pi alpha ,}$ как дано Теория тонкого профиля.

Ограничения

Преобразование PG хорошо работает для всех чисел Маха набегающего потока до 0,7 или около того, или как только начинает появляться трансзвуковой поток.^[2]

История

Людвиг Прандтль какое-то время преподавал эту трансформацию в своих лекциях, однако первая публикация была опубликована в 1928 г. Герман Глауэрт.^[5] Введение этого соотношения позволило создать самолеты, которые могли работать в областях с более высокими дозвуковыми скоростями.^[6] Первоначально все эти результаты были разработаны для 2D-потока. В конце концов в 1946 году Гетерт понял, что геометрическое искажение, вызванное преобразованием PG, делает простое двумерное правило Прандтля недействительным для трехмерного изображения, и правильно сформулировал полную трехмерную проблему, как описано выше.

Преобразование PG было расширено Якоб Акерет к сверхзвуковым набегающим потокам. Как и для дозвукового случая, сверхзвуковой случай действителен, только если нет трансзвукового эффекта, который требует, чтобы тело было тонким, а Мах набегающего потока значительно превышал единицу.

Сингулярность

Основная статья: Особенность Прандтля – Глауэрта.

Рядом со звуковой скоростью ${displaystyle M_{infty }simeq 1}$ преобразование PG имеет необычность. Особенность также называют Особенность Прандтля – Глауэрта., и расчетное сопротивление потоку стремится к бесконечности. В действительности аэродинамические и термодинамические возмущения сильно усиливаются вблизи звуковой скорости, но сингулярности не возникает. Объяснение этому состоит в том, что приведенное выше линеаризованное уравнение потенциала малых возмущений недействительно, поскольку оно предполагает, что есть только небольшие изменения числа Маха в потоке и отсутствие скачков уплотнения, и, таким образом, отсутствуют некоторые нелинейные члены. Однако они становятся актуальными, как только любая часть поля потока ускоряется выше скорости звука, и становятся существенными вблизи ${displaystyle M_{infty }simeq 1.}$ Более правильное нелинейное уравнение не обнаруживает особенности.

Смотрите также

• Людвиг Прандтль
• Герман Глауэрт
• Якоб Акерет

Рекомендации

Цитаты

1. Кюете и Чоу 1976, стр. 248-.
2. Шапиро 1953.
3. Гётерт 1946. Ошибка sfn: цель отсутствует: CITEREFGöthert1946 (помощь)
4. Truckenbrodt 1996, стр. 178-9.
5. Глауэр 1928, п. 113–119.
6. Мейер 2005.

Источники

• Göthert, B.H. (1940), Ebene und räumliche Strömung bei hohen Unterschallgeschwindigkeiten: Erweiterung der Prandtl'schen Regel [Плоский и трехмерный поток при высоких дозвуковых скоростях: расширение правила Прандтля] (на немецком языке), Берлин: Zentrale fuer Wissenschaftliches Berichtswesen
• Глауэрт, Х. (1928). «Влияние сжимаемости на подъем аэродинамического профиля». Труды Королевского общества A: математические, физические и инженерные науки. 118 (779): 113–119. Дои:10.1098 / rspa.1928.0039. ISSN  1364-5021.
• Кете, Арнольд Мартин; Чоу, Чуэн-Йен (1976). Основы аэродинамики: основы аэродинамического дизайна. Вайли. ISBN  978-0-471-50953-0.
• Мейер, Х.-У. (2005), "Die Entwicklung des Pfeilflügels, eine technische Herausforderung" [Эволюция стреловидного крыла, техническая проблема] (PDF), Мемориальная лекция Людвига Прандтля, ГАММ 2005, 28 марта - 1 апреля 2005 г. (на немецком языке), Университет Люксембурга
• Шапиро, Ашер Х. (1953). Динамика и термодинамика течения сжимаемой жидкости.. Vol. 1. Wiley.
• Тракенбродт, Эрих (1996). Гидромеханик [Механика жидкости] (на немецком). Vol. 2 (4-е изд.). Springer Verlag.