Мощная p-группа - Powerful p-group

В математика, в области теория групп, особенно при изучении п-группы и про-п-группы, Концепция чего-либо мощный п-группы играет важную роль. Они были введены в (Любоцки и Манн 1987 ), где приводится ряд приложений, в том числе результаты по Множители Шура. Мощный п-группы используются при изучении автоморфизмы из п-группы (Хухро 1998 ), решение ограниченная проблема Бернсайда (Воан-Ли 1993 ) классификация конечных п-группы через гипотезы кокласса (Лидхэм-Грин и Маккей 2002 ), и предоставил отличный метод понимания аналитических функций.п-группы (Dixon et al. 1991 г. ).

Формальное определение

Конечная п-группа ${\displaystyle G}$ называется мощный если коммутаторная подгруппа ${\displaystyle [G,G]}$ содержится в подгруппе ${\displaystyle G^{p}=\langle g^{p}|g\in G\rangle }$ для нечетных ${\displaystyle p}$, или если ${\displaystyle [G,G]}$ содержится в подгруппе ${\displaystyle G^{4}}$ за ${\displaystyle p=2}$.

Свойства мощных п-группы

Мощный п-группы имеют много свойств, похожих на абелевы группы, и тем самым создают хорошую основу для изучения п-группы. Каждый конечный п-группа может быть выражена как раздел мощного п-группа.

Мощный п-группы также полезны при изучении про-п группы поскольку он предоставляет простые средства для характеристики п-адический аналитические группы (группы, коллекторы над п-адические числа): конечно порожденный про-п группа п-адический аналитический тогда и только тогда, когда он содержит открыто нормальная подгруппа это мощный: это частный случай глубокого результата Мишель Лазар (1965).

Некоторые свойства, похожие на абелевы п-группы являются: если ${\displaystyle G}$ это мощный п-группа тогда:

• В Подгруппа Фраттини ${\displaystyle \Phi (G)}$ из ${\displaystyle G}$ имеет свойство ${\displaystyle \Phi (G)=G^{p}.}$
• ${\displaystyle G^{p^{k}}=\{g^{p^{k}}|g\in G\}}$ для всех ${\displaystyle k\geq 1.}$ Это группа сгенерирована к ${\displaystyle p}$th полномочия именно набор из ${\displaystyle p}$й полномочия.
• Если ${\displaystyle G=\langle g_{1},\ldots ,g_{d}\rangle }$ тогда ${\displaystyle G^{p^{k}}=\langle g_{1}^{p^{k}},\ldots ,g_{d}^{p^{k}}\rangle }$ для всех ${\displaystyle k\geq 1.}$
• В ${\displaystyle k}$-я запись нижний центральный ряд из ${\displaystyle G}$ имеет свойство ${\displaystyle \gamma _{k}(G)\leq G^{p^{k-1}}}$ для всех ${\displaystyle k\geq 1.}$
• Каждый факторгруппа мощного п-группа мощная.
• В Прюфер ранг из ${\displaystyle G}$ равно минимальному числу образующих ${\displaystyle G.}$

Некоторые менее абелевы свойства: если ${\displaystyle G}$ это мощный п-группа тогда:

• ${\displaystyle G^{p^{k}}}$ мощный.
• Подгруппы из ${\displaystyle G}$ не обязательно сильны.

Рекомендации

• Лазар, Мишель (1965), Groupes analytiques p-adiques, Publ. Математика. IHES 26 (1965), 389-603.
• Dixon, J.D .; дю Сотуа, М. П. Ф.; Mann, A .; Сегал, Д. (1991), Аналитические про-p-группы, Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-39580-1, МИСТЕР  1152800
• Хухро, Э.И. (1998), p-автоморфизмы конечных p-групп, Издательство Кембриджского университета, Дои:10.1017 / CBO9780511526008, ISBN  0-521-59717-X, МИСТЕР  1615819
• Лидхэм-Грин, К.; Маккей, Сьюзан (2002), Структура групп первичного степенного порядка, Монографии Лондонского математического общества. Новая серия, 27, Oxford University Press, ISBN  978-0-19-853548-5, МИСТЕР  1918951
• Любоцкий Александр; Манн, Авиноам (1987), "Мощные p-группы. I. Конечные группы", J. Алгебра, 105 (2): 484–505, Дои:10.1016/0021-8693(87)90211-0, МИСТЕР  0873681
• Воан-Ли, Майкл (1993), Ограниченная проблема Бернсайда (2-е изд.), Oxford University Press, ISBN  0-19-853786-7, МИСТЕР  1364414