Возможная завихренность - Potential vorticity

В механика жидкости, потенциальная завихренность (PV) - величина, которая пропорциональна скалярному произведению завихренность и стратификация. Эта величина, следуя посылка воздуха или воды, можно изменить только диабетический или фрикционные процессы. Это полезная концепция для понимания генерации завихренности в циклогенез (рождение и развитие циклона), особенно по полярный фронт, и при анализе течения в океане.

Потенциальная завихренность (PV) рассматривается как один из важных теоретических достижений современной метеорологии. Это упрощенный подход к пониманию движения жидкости во вращающейся системе, такой как атмосфера и океан Земли. Его развитие восходит к теореме о циркуляции Бьеркнеса в 1898 г.^[1] который является специализированной формой Теорема циркуляции Кельвина. Начиная с Hoskins et al., 1985,^[2] ФЭ чаще всего используется в оперативной диагностике погоды, такой как отслеживание динамики воздушных посылок и инверсия для поля полного потока. Даже после того, как подробные численные прогнозы погоды в более мелких масштабах стали возможны благодаря увеличению вычислительной мощности, представление PV все еще используется в академических кругах и обычных прогнозах погоды, проливая свет на особенности синоптического масштаба для синоптиков и исследователей.^[3]

Бароклинная нестабильность требует наличия потенциального градиента завихренности, вдоль которого волны усиливаются во время циклогенеза.

Теорема Бьеркнеса о циркуляции

Вильгельм Бьеркнес обобщенное уравнение завихренности Гельмгольца (1858 г.) и Теорема циркуляции Кельвина (1869) к невязким, геострофическим и бароклинным флюидам,^[1] то есть жидкости различной плотности во вращающейся системе, имеющей постоянную угловую скорость. Если мы определим обращение в качестве интеграла касательной составляющей скорости вокруг замкнутого контура жидкости и взяв интеграл замкнутой цепочки частиц жидкости, получим

${displaystyle {frac {DC}{Dt}}=-oint {frac {1}{ho }}abla pcdot mathrm {d} mathbf {r} -2Omega {frac {DA_{e}}{Dt}},}$ (1)

где ${ extstyle {frac {D}{Dt}}}$ - производная по времени в системе отсчета вращения (не в системе отсчета инерции), ${displaystyle C}$ относительная циркуляция, ${displaystyle A_{e}}$ - проекция области, окруженной жидкой петлей, на экваториальную плоскость, ${displaystyle ho }$ это плотность, ${displaystyle p}$ это давление, и ${displaystyle Omega }$ угловая скорость кадра. С участием Теорема Стокса, первый член в правой части можно переписать в виде

${displaystyle {frac {DC}{Dt}}=int _{A}{frac {abla ho imes abla p}{ho ^{2}}}cdot mathrm {d} mathbf {A} -2Omega {frac {DA_{e}}{Dt}},}$(2)

который гласит, что скорость изменения циркуляции определяется изменением плотности в координатах давления и экваториальной проекцией его площади, соответствующей первому и второму слагаемым в правой части. Первый член также называют "соленоид ". В условиях баротропной жидкости с постоянной площадью проекции ${displaystyle A_{e}}$, теорема Бьеркнеса о циркуляции сводится к теореме Кельвина. Однако в контексте динамики атмосферы такие условия не являются хорошим приближением: если контур жидкости перемещается из экваториальной области во внетропическую зону, ${displaystyle A_{e}}$ не сохраняется. Кроме того, сложная геометрия подхода материального контура не идеальна для аргументов в пользу движения жидкости.

Мелководье Россби PV

Карл Россби предложен в 1939 г.^[4] что вместо полного трехмерного вектора завихренности локальная вертикальная составляющая абсолютной завихренности ${displaystyle zeta _{a}}$ является наиболее важным компонентом крупномасштабного атмосферного потока. Кроме того, крупномасштабную структуру двумерного недивергентного баротропного потока можно смоделировать, предполагая, что ${displaystyle zeta _{a}}$ сохраняется. Его последняя статья 1940 г.^[5] ослабил эту теорию с 2D-потока на квази-2D уравнения мелкой воды на бета-самолет. В этой системе атмосфера разделена на несколько несжимаемых слоев, уложенных друг на друга, и вертикальная скорость может быть вычислена путем интегрирования конвергенции горизонтального потока. Россби показал, что для однослойной мелководной системы без внешних сил или диабатического нагрева

${displaystyle {frac {D}{Dt}}left({frac {zeta +f}{h}}ight)=0}$, (3)

где ${displaystyle zeta }$ относительная завихренность, ${displaystyle h}$ - глубина слоя, а ${displaystyle f}$ - параметр Кориолиса. Сохраняющаяся величина в уравнении (3) позже называется потенциальная завихренность мелководья. Для атмосферы с несколькими слоями, каждый из которых имеет постоянную потенциальную температуру, приведенное выше уравнение принимает вид

${displaystyle {frac {D}{Dt}}left({frac {zeta _{ heta }+f}{Delta }}ight)=0,}$ (4)

в котором ${displaystyle zeta _{ heta }}$ относительная завихренность на изэнтропической поверхности - поверхности постоянной потенциальная температура, и ${displaystyle Delta =-delta p/g}$ - мера веса единицы поперечного сечения отдельного столба воздуха внутри слоя.

Интерпретация

Схождение и расхождение воздушной посылки

Уравнение (3) является атмосферным эквивалентом угловой момент. Например, вращающаяся фигуристка с раскинутыми в стороны руками может увеличить скорость вращения, сжимая руки. Точно так же, когда вихрь воздуха расширяется, он, в свою очередь, вращается медленнее. Когда воздух сходится по горизонтали, скорость воздуха увеличивается для поддержания потенциальной завихренности, а вертикальная протяженность увеличивается для сохранения массы. С другой стороны, дивергенция заставляет вихрь расширяться, замедляя скорость вращения.

Потенциальная завихренность Эртеля

Ганс Эртель обобщил работу Россби в независимой статье, опубликованной в 1942 году.^[6][7] Идентифицируя сохраняющуюся величину, следующую за движением воздушного шарика, можно доказать, что определенная величина, называемая потенциальной завихренностью Эртеля, также сохраняется для идеализированной сплошной жидкости. Мы смотрим на уравнение количества движения и уравнение неразрывности идеализированной сжимаемой жидкости в декартовых координатах:

${displaystyle {frac {partial mathbf {v} }{partial t}}+{frac {1}{2}}abla mathbf {v^{2}} -mathbf {v} imes (abla imes mathbf {v} )+2mathbf {Omega } imes mathbf {v} =-abla Phi -{frac {1}{ho }}abla p,}$ (5)

${displaystyle {frac {Dho }{Dt}}=-ho abla cdot mathbf {v} ,}$ (6)

где ${displaystyle Phi }$ - геопотенциальная высота. Записывая абсолютную завихренность как ${ extstyle mathbf {zeta _{a}} =abla imes mathbf {v} +2mathbf {Omega } }$, ${displaystyle 1/ho }$ так как ${displaystyle alpha }$, а затем возьмем ротор полного уравнения импульса (5), имеем

${displaystyle {frac {partial }{partial t}}abla imes mathbf {v} -abla imes (mathbf {v} imes mathbf {zeta _{a}} )=abla p imes abla alpha .}$ (7)

Рассматривать ${displaystyle psi =psi (mathbf {r} ,t)}$ быть гидродинамическим инвариантом, т. е. ${ extstyle {frac {Dpsi }{Dt}}}$ равен нулю после рассматриваемого движения жидкости. Скалярное умножение уравнения (7) на ${displaystyle abla psi }$, и обратите внимание, что ${ extstyle {frac {partial }{partial t}}mathbf {zeta _{a}} ={frac {partial }{partial t}}abla imes mathbf {v} }$, у нас есть

${displaystyle abla psi cdot {frac {partial }{partial t}}mathbf {zeta _{a}} -abla psi cdot [abla imes (mathbf {v} imes mathbf {zeta _{a}} )]=abla psi cdot (abla p imes abla alpha ).}$ (8)

Второй член в левой части уравнения (8) равен ${ extstyle abla cdot [abla psi imes (mathbf {v} imes mathbf {zeta _{a}} )]-(mathbf {v} imes zeta _{a})cdot (abla imes abla psi )}$, в котором второй член равен нулю. Из формулы тройного векторного произведения имеем

${displaystyle {egin{aligned}abla psi imes (mathbf {v} imes mathbf {zeta _{a}} )&=mathbf {v} (mathbf {zeta _{a}} cdot abla psi )-mathbf {zeta _{a}} (mathbf {v} cdot abla psi )&=mathbf {v} (mathbf {zeta _{a}} cdot abla psi )+mathbf {zeta _{a}} {frac {partial psi }{partial t}},end{aligned}}}$ (9)

где вторая строка связана с тем, что ${displaystyle psi }$ сохраняется после движения, ${ extstyle {frac {Dpsi }{Dt}}=0}$. Подставляя уравнение (9) в уравнение (8) выше,

${displaystyle abla psi cdot {frac {partial }{partial t}}mathbf {zeta _{a}} +mathbf {v} cdot abla (mathbf {zeta _{a}} cdot abla psi )+(mathbf {zeta _{a}} cdot abla psi )abla cdot mathbf {v} +mathbf {zeta _{a}} cdot {frac {partial }{partial t}}abla psi =abla psi cdot (abla p imes abla alpha ).}$ (10)

Объединение первого, второго и четвертого слагаемых в уравнении (10) может дать ${ extstyle {frac {D}{Dt}}(mathbf {zeta _{a}} cdot abla psi )}$. Деление на ${ extstyle ho }$ и используя вариантную форму уравнения неразрывности массы,${ extstyle {frac {1}{ho }}abla cdot mathbf {v} =-{frac {1}{ho ^{2}}}{frac {Dho }{Dt}}={frac {Dalpha }{Dt}}}$, уравнение (10) дает

${displaystyle alpha {frac {D}{Dt}}(mathbf {zeta _{a}} cdot abla psi )+(mathbf {zeta _{a}} cdot abla psi ){frac {Dalpha }{Dt}}=alpha abla psi cdot (abla p imes abla alpha )}$ (11)

Если инвариант ${ extstyle psi }$ это только функция давления ${ extstyle p}$ и плотность ${ extstyle ho }$, то его градиент перпендикулярен перекрестному произведению ${ extstyle abla p}$ и ${ extstyle abla ho }$, что означает, что правая часть уравнения (11) равна нулю. Конкретно для атмосферы потенциальная температура выбрана как инвариант для адиабатических движений без трения. Таким образом, закон сохранения потенциальной завихренности Эртеля имеет вид

${displaystyle {frac {D}{Dt}}PV=0.}$ (12)

потенциальная завихренность определяется как

${displaystyle PV={frac {mathbf {zeta _{a}} cdot abla heta }{ho }},}$ (13)

где ${displaystyle ho }$ это жидкость плотность, ${displaystyle mathbf {zeta _{a}} }$ абсолютный завихренность и ${displaystyle abla heta }$ это градиент из потенциальная температура. Это можно показать с помощью комбинации первый закон термодинамики и сохранение количества движения, что потенциальная завихренность может быть изменена только за счет диабатического нагрева (например, скрытого тепла, выделяемого при конденсации) или процессов трения.

Если атмосфера стабильно стратифицирована так, что потенциальная температура ${ extstyle heta }$ монотонно увеличивается с высотой, ${ extstyle heta }$ может использоваться как вертикальная координата вместо ${ extstyle z}$. в ${ extstyle (x,y, heta )}$ системе координат "плотность" определяется как ${ extstyle sigma equiv -g^{-1}partial p/partial heta }$. Тогда, если мы начнем вывод из уравнения горизонтального импульса в изоэнтропических координатах, Ertel PV примет гораздо более простой вид^[8]

${displaystyle PV_{ heta }={frac {f+mathbf {k} cdot (abla _{ heta } imes mathbf {v} )}{sigma }}}$ (14)

где ${ extstyle mathbf {k} }$ - локальный вертикальный вектор единичной длины и ${ extstyle abla _{ heta }}$ - трехмерный оператор градиента в изоэнтропических координатах. Можно видеть, что эта форма потенциальной завихренности является просто непрерывной формой изоэнтропической многослойной ФВ Россби в уравнении (4).

Интерпретация

Теорема сохранения PV Эртеля, уравнение (12), утверждает, что для сухой атмосферы, если воздушный пакет сохраняет свою потенциальную температуру, его потенциальная завихренность также сохраняется после его полного трехмерного движения. Другими словами, при адиабатическом движении частицы воздуха сохраняют ПВ Эртеля на изоэнтропической поверхности. Примечательно, что эта величина может служить лагранжевым индикатором, связывающим поля ветра и температуры. Использование теоремы сохранения PV Эртеля привело к различным успехам в понимании общей циркуляции. Одним из них был процесс «сворачивания тропопаузы», описанный Reed et al. (1950).^[9] Для верхних слоев тропосферы и стратосферы воздушные посылки следуют адиабатическим движениям в течение синоптического периода времени. Во внетропическом регионе изэнтропические поверхности в стратосфере могут проникать в тропопаузу, и, таким образом, частицы воздуха могут перемещаться между стратосферой и тропосферой, хотя сильный градиент PV около тропопаузы обычно предотвращает это движение. Однако во фронтальной области вблизи струйных полос, которая представляет собой концентрированную область внутри струйный поток там, где скорости ветра самые сильные, контур ФВ может простираться существенно вниз в тропосферу, что аналогично изэнтропическим поверхностям. Таким образом, стратосферный воздух может адвектироваться как по постоянной PV, так и по изэнтропическим поверхностям, вниз в глубину тропосферы. Было также доказано, что использование фотоэлектрических карт позволяет точно различать воздушные посылки недавнего стратосферного происхождения даже при возмущениях субсиноптического масштаба. (Иллюстрацию можно найти в Holton, 2004, рисунок 6.4)

Ertel PV также действует как индикатор потока в океане, и может использоваться для объяснения того, как горный хребет, например Анды, может заставить верхние западные ветры отклониться в сторону экватор и назад. Карты, изображающие Ertel PV, обычно используются в метеорологическом анализе, в котором потенциальная единица завихренности (PVU) определяется как ${ extstyle {10^{-6}cdot mathrm {K} cdot mathrm {m} ^{2} over mathrm {kg} cdot mathrm {s} }equiv 1 mathrm {PVU} }$.

Квазигеострофическая ФВ

Одно из простейших, но, тем не менее, важных условий балансировки - это квазигеострофические уравнения. Это приближение в основном утверждает, что для трехмерных атмосферных движений, которые являются почти гидростатическими и геострофический их геострофическая часть может приблизительно определяться полем давления, а агеострофическая часть определяет эволюцию геострофического потока. Потенциальная завихренность в квазигеострофическом пределе (QGPV) была впервые сформулирована Чарни и Стерном в 1960 году.^[10] Подобно главе 6.3 в Holton 2004,^[8] начнем с уравнений горизонтального импульса (15), неразрывности массы (16), гидростатики (17) и термодинамики (18) на бета-самолет, предполагая, что поток невязкий и гидростатический,

${displaystyle {frac {D_{g}mathbf {u_{g}} }{Dt}}+f_{0}mathbf {k} imes mathbf {u_{a}} +eta ymathbf {k} imes mathbf {u_{g}} =0}$ (15)

${displaystyle abla _{hp}cdot mathbf {u_{a}} +{frac {partial omega }{partial p}}=0}$ (16)

${displaystyle {frac {partial Phi }{partial p}}=-{frac {Rpi }{p}} heta }$ (17)

${displaystyle {frac {D_{g} heta }{Dt}}+omega {frac {d heta _{0}}{dp}}={frac {J}{c_{p}pi }}}$ (18)

где ${ extstyle {frac {D_{g}}{Dt}}={frac {partial }{partial t}}+u_{g}{frac {partial }{partial x}}+v_{g}{frac {partial }{partial y}}}$ представляет собой геострофическую эволюцию, ${ extstyle pi =(p/ps)^{R/c_{p}}}$, ${ extstyle J}$ это термин диабатического нагрева в ${ extstyle Js^{-1}kg^{-1}}$, ${ extstyle Phi }$ - геопотенциальная высота, ${ extstyle mathbf {u_{g}} }$ - геострофическая составляющая горизонтальной скорости, ${ extstyle mathbf {u_{a}} }$ - геострофическая скорость, ${ extstyle abla _{hp}}$ - оператор горизонтального градиента в координатах (x, y, p). С некоторыми манипуляциями (см. Квазигеострофические уравнения или Holton 2004, глава 6 для деталей), можно прийти к закону сохранения

${displaystyle {frac {D_{g}}{Dt}}q=-f_{0}{frac {partial }{partial p}}left(sigma {frac {kappa J}{p}}ight),}$ (19)

где ${ extstyle sigma =-{frac {Rpi }{p}}{frac {d heta _{0}}{dp}}}$ - пространственно усредненная статическая стабильность в сухом состоянии. Предполагая, что течение адиабатическое, что означает ${ extstyle J=0}$, имеем сохранение QGPV. Сохраненное количество ${ extstyle q}$ принимает форму

${displaystyle {q={{{1 over f_{o}}{abla ^{2}Phi }}+{f}+{{partial over partial p}left({{f_{o} over sigma }{partial Phi over partial p}}ight)}}},}$ (20)

который является QGPV, и он также известен как псевдопотенциал-завихренность. Помимо диабатического нагревающего члена в правой части уравнения (19), можно также показать, что QGPV может изменяться силами трения.

PV Ertel сокращается до QGPV, если расширить PV Ertel до ведущего порядка и предположить, что уравнение эволюции является квазигеострофическим, т.е. ${ extstyle {frac {D}{Dt}}approx {frac {D_{g}}{Dt}}}$.^[3] Из-за этого фактора следует также отметить, что Ertel PV сохраняет следующий воздушный пакет на изоэнтропической поверхности и, следовательно, является хорошим лагранжевым индикатором, тогда как QGPV сохраняется после крупномасштабного геострофического потока. QGPV широко используется для изображения крупномасштабных структур атмосферных потоков, как обсуждается в разделе #PV принцип обратимости;

Принцип обратимости PV

Помимо того, что потенциальная завихренность является лагранжевым индикатором, она также дает динамические последствия через принцип обратимости. Для двумерной идеальной жидкости распределение завихренности управляет функцией тока с помощью оператора Лапласа,

${displaystyle {zeta ={abla ^{2}Psi }},}$ (21)

где ${displaystyle zeta }$ - относительная завихренность, а ${displaystyle Psi }$ - функция тока. Следовательно, зная поле завихренности, оператор может быть инвертирован и функция тока может быть вычислена. В этом частном случае (уравнение 21) завихренность дает всю информацию, необходимую для вывода движений или функции тока, поэтому можно думать в терминах завихренности, чтобы понять динамику жидкости. Подобный принцип был первоначально введен Кляйншмитом для определения потенциальной завихренности в трехмерной жидкости в 1940-х годах и развит Чарни и Стерном в их квазигеострофической теории.^[11]

Несмотря на теоретическую элегантность потенциальной завихренности Эртеля, ранние применения Ertel PV ограничивались исследованиями индикаторов с использованием специальных изэнтропических карт. Как правило, недостаточно вывести другие переменные только на основании данных о PV-полях Эртеля, поскольку они являются продуктом ветра (${ extstyle zeta _{a}}$) и температурные поля (${ extstyle heta }$ и ${ extstyle ho }$). Однако крупномасштабные атмосферные движения по своей природе квазистатичны; поля ветра и массы регулируются и уравновешиваются друг с другом (например, градиентный баланс, геострофический баланс). Следовательно, можно сделать другие предположения, чтобы сформировать замыкание и вывести полную структуру рассматриваемого потока:^[2]

(1) ввести условия балансировки определенной формы. Эти условия должны быть физически реализуемыми и стабильными без нестабильности, такой как статическая нестабильность. Кроме того, пространственные и временные масштабы движения должны быть совместимы с предполагаемым балансом;

(2) указать определенное эталонное состояние, такое как распределение температуры, потенциальная температура или геопотенциальная высота;

(3) устанавливают надлежащие граничные условия и глобально инвертируют поле PV.

Первое и второе предположения явно выражаются при выводе квазигеострофической PV. Геострофический баланс первого порядка используется в качестве условия балансировки. Члены второго порядка, такие как агеострофические ветры, возмущения потенциальной температуры и возмущения геострофической высоты, должны иметь согласованную величину, т. Е. Порядка Число Россби. Базовое состояние - это усредненные по зонам потенциальная температура и геопотенциальная высота. Третье предположение очевидно даже для двумерной инверсии завихренности, поскольку инвертирование оператора Лапласа в уравнении (21) является вторым порядком эллиптический оператор, требует знания граничные условия.

Например, в уравнении (20) обратимость означает, что при знании ${ extstyle q}$, оператор типа Лапласа можно инвертировать, чтобы получить геопотенциальную высоту ${ extstyle Phi }$. ${ extstyle Phi }$ также пропорциональна функции тока QG ${ extstyle Psi }$ при квазигеострофическом предположении. Тогда поле геострофического ветра может быть легко выведено из ${ extstyle Psi }$. Наконец, температурное поле ${ extstyle heta }$ дается заменой ${ extstyle Phi }$ в термодинамическое уравнение (17).

Смотрите также

• Завихренность
• Циркуляция (гидродинамика)

использованная литература

1. Thorpe, A.J .; Volkert, H .; Зиемянски, М. Дж. (2003). "Теорема Бьеркнеса о циркуляции: историческая перспектива" (PDF). Бык. Am. Meteorol. Soc. 84 (4): 471–480. Bibcode:2003БАМС ... 84..471Т. Дои:10.1175 / БАМС-84-4-471.
2. Хоскинс, Б. Дж .; Макинтайр, М. Э .; Робертсон, А. В. (1985). «Об использовании и значении изоэнтропических карт потенциальной завихренности». Кварта. J. R. Met. Soc. 111 (470): 877–946. Bibcode:1985QJRMS.111..877H. Дои:10.1002 / qj.49711147002.
3. Nielsen-Gammon, J. W .; Голд, Д. А. (2006). «Динамический диагноз: сравнение квазигеострофии и потенциальной завихренности Эртеля». Meteorol. Monogr. 55 (55): 183–202. Bibcode:2008MetMo..33..183N. Дои:10.1175/0065-9401-33.55.183.
4. Rossby, C.G .; Коллаборационисты (1939). «Связь между вариациями интенсивности зональной циркуляции атмосферы и смещениями полупостоянных центров действия». Журнал морских исследований. 2 (1): 38–55. Дои:10.1357/002224039806649023. S2CID  27148455.
5. Россби, К. Г. (1940). «Планетарные течения в атмосфере». Кварта. J. R. Met. Soc. 66: 68–87.
6. Эртель, Х. (1942). "Ein neuer hydrodynamischer Wirbelsatz". Meteorol. Z. 59 (9): 277–281.
7. Schubert, W .; Ruprecht, E .; Hertenstein, R .; Nieto-Ferreira, R .; Taft, R .; Розофф, К. (2004). «Английский перевод 21 статьи Эртеля по геофизической гидродинамике». Meteorol. Z. 13 (6): 527–576. Bibcode:2004MetZe..13..527S. Дои:10.1127/0941-2948/2004/0013-0527. S2CID  123321030.
8. Холтон, Дж. Р. (2004). Введение в динамическую метеорологию. Академическая пресса Elsevier. ISBN  9780123540157.
9. Reed, R.J .; Даниэльсен, Э. Ф. (1950). «Фронты в окрестностях тропопаузы». Arch. Встретил. Geophys. Биокл. A11 (1): 1–17. Bibcode:1958AMGBA..11 .... 1R. Дои:10.1007 / BF02247637. S2CID  122804225.
10. Charney, J. G .; Стерн, М. Э. (1962). «Об устойчивости внутренних бароклинных струй во вращающейся атмосфере». J. Atmos. Наука. 19 (2): 159–172. Bibcode:1962JAtS ... 19..159C. Дои:10.1175 / 1520-0469 (1962) 019 <0159: OTSOIB> 2.0.CO; 2.
11. Thorpe, A.J .; Фолькерт, Х. (1997). «Потенциальная завихренность: краткая история ее определений и использования». Meteorol. Z. 6 (6): 275–280. Bibcode:1997MetZe ... 6..275T. Дои:10.1127 / metz / 6/1997/275.

дальнейшее чтение

Роулстон, Ян; Норбери, Джон (2013). Невидимый во время бури: роль математики в понимании погоды. Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-15272-1.

внешние ссылки

• Запись в глоссарии AMS
• Возможная завихренность Майкл Э. Макинтайр