Плоткин граница - Plotkin bound

в математика из теория кодирования, то Плоткин граница, названный в честь Морриса Плоткина, является пределом (или ограничением) максимально возможного количества кодовых слов в двоичный коды данной длины п и заданное минимальное расстояние d.

Заявление о привязке

Код считается "двоичным", если в кодовых словах используются символы из двоичного алфавит ${ displaystyle {0,1 }}$ . В частности, если все кодовые слова имеют фиксированную длину п, то двоичный код имеет длину п. Эквивалентно, в этом случае кодовые слова можно рассматривать как элементы векторное пространство ${ displaystyle mathbb {F} _ {2} ^ {n}}$ над конечное поле ${ displaystyle mathbb {F} _ {2}}$ . Позволять ${ displaystyle d}$ быть минимальным расстоянием ${ displaystyle C}$ , т.е.

{ displaystyle d = min _ {x, y in C, x neq y} d (x, y)}

куда ${ Displaystyle д (х, у)}$ это Расстояние Хэмминга между ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ . Выражение ${ displaystyle A_ {2} (n, d)}$ представляет максимальное количество возможных кодовых слов в двоичном коде длины ${ displaystyle n}$ и минимальное расстояние ${ displaystyle d}$ . Граница Плоткина накладывает ограничение на это выражение.

Теорема (оценка Плоткина):

i) Если ${ displaystyle d}$ даже и ${ displaystyle 2d> п}$ , тогда

{ displaystyle A_ {2} (n, d) leq 2 left lfloor { frac {d} {2d-n}} right rfloor.}

ii) Если ${ displaystyle d}$ это странно и ${ Displaystyle 2d + 1> п}$ , тогда

{ displaystyle A_ {2} (n, d) leq 2 left lfloor { frac {d + 1} {2d + 1-n}} right rfloor.}

iii) Если ${ displaystyle d}$ четно, тогда

{ Displaystyle A_ {2} (2d, d) leq 4d.}

iv) Если ${ displaystyle d}$ странно, то

{ Displaystyle A_ {2} (2d + 1, d) leq 4d + 4}

куда ${ Displaystyle left lfloor ~ right rfloor}$ обозначает функция пола.

Доказательство дела я)

Позволять ${ Displaystyle д (х, у)}$ быть Расстояние Хэмминга из ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ , и ${ displaystyle M}$ быть количеством элементов в ${ displaystyle C}$ (таким образом, ${ displaystyle M}$ равно ${ displaystyle A_ {2} (n, d)}$ ). Оценка доказывается ограничением величины ${ displaystyle sum _ {(x, y) in C ^ {2}, x neq y} d (x, y)}$ двумя разными способами.

С одной стороны, есть ${ displaystyle M}$ выбор для ${ displaystyle x}$ и для каждого такого выбора есть ${ displaystyle M-1}$ выбор для ${ displaystyle y}$ . Поскольку по определению ${ Displaystyle д (х, у) geq d}$ для всех ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ ( ${ Displaystyle х neq y}$ ), следует, что

{ displaystyle sum _ {(x, y) in C ^ {2}, x neq y} d (x, y) geq M (M-1) d.}

С другой стороны, пусть ${ displaystyle A}$ быть ${ Displaystyle M раз п}$ матрица, строки которой являются элементами ${ displaystyle C}$ . Позволять ${ displaystyle s_ {i}}$ быть количеством нулей, содержащихся в ${ displaystyle i}$ -й столбец ${ displaystyle A}$ . Это означает, что ${ displaystyle i}$ столбец содержит ${ displaystyle M-s_ {i}}$ ед. Каждый выбор нуля и единицы в одном столбце дает точный вклад ${ displaystyle 2}$ (потому что ${ Displaystyle д (х, у) = д (у, х)}$ ) к сумме ${ Displaystyle сумма _ {(х, у) в С, х neq y} d (х, у)}$ и поэтому

{ displaystyle sum _ {(x, y) in C, x neq y} d (x, y) = sum _ {i = 1} ^ {n} 2s_ {i} (M-s_ {i }).}

Количество справа максимизируется тогда и только тогда, когда ${ displaystyle s_ {i} = M / 2}$ относится ко всем ${ displaystyle i}$ (на этом этапе доказательства мы игнорируем тот факт, что ${ displaystyle s_ {i}}$ целые числа), то