Планарная алгебра - Planar algebra

В математика, плоские алгебры впервые появился в работе Воан Джонс на стандартный инвариант из II₁ субфактор.^[1] Они также обеспечивают подходящую алгебраическую основу для многих инварианты узлов (в частности Многочлен Джонса ), и использовались при описании свойств Гомологии Хованова относительно клубок сочинение.^[2][3] Любая субфакторная планарная алгебра обеспечивает семейство унитарных представлений Группы Томпсона.^[4]Любую конечную группу (и квантовое обобщение) можно закодировать как плоскую алгебру.^[1]

Определение

Идея плоской алгебры заключается в схематической аксиоматизации стандартный инвариант.^[1][5][6]

Плоский клубок

А (затемненный) плоский клубок это данные конечного числа Вход диски, один выход диск, непересекающиеся строки, дающие четное число, скажем ${\displaystyle 2n}$, интервалов на диск и один ${\displaystyle \star }$-отмеченный интервал на диск.

Здесь метка отображается как ${\displaystyle \star }$-форма. На каждом входном диске он помещается между двумя соседними исходящими строками, а на выходном диске он помещается между двумя соседними входящими строками. Плоский клубок определяется с точностью до изотопия.

Сочинение

К сочинять два плоских клубка, поместите выходной диск одного во вход другого, имеющий столько же интервалов, одинаковую штриховку отмеченных интервалов и такой, чтобы ${\displaystyle \star }$-отмеченные интервалы совпадают. Наконец, удаляем совпадающие круги. Обратите внимание, что два плоских клубка могут иметь ноль, один или несколько возможных составов.

Планарная операда

В планарная операда - множество всех плоских клубков (с точностью до изоморфизма) с такими композициями.

Планарная алгебра

А планарная алгебра это представление планарной операды; точнее, это семейство векторных пространств ${\displaystyle ({\mathcal {P}}_{n,\pm })_{n\in \mathbb {N} }}$, называется ${\displaystyle n}$-боксы, на которых действует плоская операда, т.е.для любого клубка ${\displaystyle T}$ (с одним выходным диском и ${\displaystyle r}$ входные диски с ${\displaystyle 2n_{0}}$ и ${\displaystyle 2n_{1},\dots ,2n_{r}}$ интервалы соответственно) имеется полилинейная карта

${\displaystyle Z_{T}:{\mathcal {P}}_{n_{1},\epsilon _{1}}\otimes \cdots \otimes {\mathcal {P}}_{n_{r},\epsilon _{r}}\to {\mathcal {P}}_{n_{0},\epsilon _{0}}}$

с ${\displaystyle \epsilon _{i}\in \{+,-\}}$ по затенению ${\displaystyle \star }$-отмеченные интервалы, и эти карты (также называемые статистическими суммами) учитывают состав клубка таким образом, что все диаграммы, как показано ниже, коммутируют.

Примеры

Плоские клубки

Семейство векторных пространств ${\displaystyle ({\mathcal {T}}_{n,\pm })_{n\in \mathbb {N} }}$ порожденные плоскими клубками, имеющими ${\displaystyle 2n}$ интервалы на их выход диск и белый (или черный) ${\displaystyle \star }$-отмеченный интервал, допускает структуру плоской алгебры.

Темперли – Либ

Планарная алгебра Темперли-Либа ${\displaystyle {\mathcal {TL}}(\delta )}$ порождается плоскими клубками без входного диска; это ${\displaystyle 3}$-box пространство ${\displaystyle {\mathcal {TL}}_{3,+}(\delta )}$ генерируется

Более того, замкнутая строка заменяется умножением на ${\displaystyle \delta }$.

Обратите внимание, что размер ${\displaystyle {\mathcal {TL}}_{n,\pm }(\delta )}$ это Каталонский номер ${\displaystyle {\frac {1}{n+1}}{\binom {2n}{n}}}$Эта плоская алгебра кодирует понятие Алгебра Темперли – Либа.

Алгебра Хопфа

Полупростой и непростой Алгебра Хопфа над алгебраически замкнутым полем кодируется в плоской алгебре, определяемой образующими и соотношениями, и «соответствует» (с точностью до изоморфизма) связной, неприводимой, сферической, невырожденной плоской алгебре с ненулевым модулем ${\displaystyle \delta }$ и глубины два.^[7]

Обратите внимание, что связаны средства ${\displaystyle \dim({\mathcal {P}}_{0,\pm })=1}$ (что касается оцениваемый ниже), несводимый средства ${\displaystyle \dim({\mathcal {P}}_{1,+})=1}$, сферический определено ниже, а невырожденный означает, что следы (определенные ниже) невырождены.

Подфакторная планарная алгебра

Определение

А субфакторная планарная алгебра плоский ${\displaystyle \star }$-алгебра ${\displaystyle ({\mathcal {P}}_{n,\pm })_{n\in \mathbb {N} }}$ который:

(1) Конечномерные: ${\displaystyle \dim({\mathcal {P}}_{n,\pm })<\infty }$

(2) Оценка: ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{0,\pm }=\mathbb {C} }$

(3) Сферический: ${\displaystyle tr:=tr_{r}=tr_{l}}$

(4) Положительный: ${\displaystyle \langle a\vert b\rangle =tr(b^{\star }a)}$ определяет внутренний продукт.

Обратите внимание, что согласно (2) и (3) любая замкнутая строка (заштрихованная или нет) считается одной и той же константой. ${\displaystyle \delta }$.

Действие путаницы имеет дело с сопряженным:

${\displaystyle Z_{T}(a_{1}\otimes a_{2}\otimes \cdots \otimes a_{r})^{\star }=Z_{T^{\star }}(a_{1}^{\star }\otimes a_{2}^{\star }\otimes \cdots \otimes a_{r}^{\star })}$

с ${\displaystyle T^{\star }}$ зеркальное отображение ${\displaystyle T}$ и ${\displaystyle a_{i}^{\star }}$ примыкающий к ${\displaystyle a_{i}}$ в ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{n_{i},\epsilon _{i}}}$.

Примеры и результаты

Теорема об отсутствии призраков: Планарная алгебра ${\displaystyle {\mathcal {TL}}(\delta )}$ не имеет призрака (т.е. элемента ${\displaystyle a}$ с ${\displaystyle \langle a\vert a\rangle <0}$) если и только если

${\displaystyle \delta \in \{2\cos(\pi /n)|n=3,4,5,...\}\cup [2,+\infty ]}$

За ${\displaystyle \delta }$ как указано выше, пусть ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ быть нулевым идеалом (порожденным элементами ${\displaystyle a}$ с ${\displaystyle \langle a\vert a\rangle =0}$). Тогда частное ${\displaystyle {\mathcal {TL}}(\delta )/{\mathcal {I}}}$ является субфакторной планарной алгеброй, называемой Подфакторная планарная алгебра Темперли – Либа-Джонса ${\displaystyle {\mathcal {TLJ}}(\delta )}$. Любая субфакторная планарная алгебра с константой ${\displaystyle \delta }$ признает ${\displaystyle {\mathcal {TLJ}}(\delta )}$ как плоская подалгебра.

Плоская алгебра ${\displaystyle ({\mathcal {P}}_{n,\pm })}$ является субфакторной планарной алгеброй тогда и только тогда, когда это стандартный инвариант экстремального субфактор ${\displaystyle N\subseteq M}$ индекса ${\displaystyle [M:N]=\delta ^{2}}$, с ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{n,+}=N'\cap M_{n-1}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{n,-}=M'\cap M_{n}}$.^[8][9][10]Конечная глубина или неприводимый субфактор экстремальна (${\displaystyle tr_{N'}=tr_{M}}$ на ${\displaystyle N'\cap M}$).

Существует субфакторная планарная алгебра, кодирующая любую конечную группу (и, в более общем смысле, любую конечномерную Хопф ${\displaystyle {\rm {C}}^{\star }}$-алгебра, называемая алгеброй Каца), определяемая образующими и соотношениями. (Конечномерная) алгебра Каца «соответствует» (с точностью до изоморфизма) неприводимой субфакторной планарной алгебре глубины два.^[11][12]

Подфакторная планарная алгебра, связанная с включением конечных групп,^[13] не всегда запоминает включение (без ядра).^[14][15]

Подфакторная плоская алгебра Биша-Джонса ${\displaystyle {\mathcal {BJ}}(\delta _{1},\delta _{2})}$ (иногда называемый суетливо-каталонским) определяется как ${\displaystyle {\mathcal {TLJ}}(\delta )}$ но разрешив два цвета строки с их собственной константой ${\displaystyle \delta _{1}}$ и ${\displaystyle \delta _{2}}$, с ${\displaystyle \delta _{i}}$ как указано выше. Это плоская подалгебра любой субфакторной планарной алгебры с таким промежуточным звеном, что ${\displaystyle [K:N]=\delta _{1}^{2}}$ и ${\displaystyle [M:K]=\delta _{2}^{2}}$. ^[16][17]

Первый субфактор конечной глубины планарной алгебры индекса ${\displaystyle \delta ^{2}>4}$ называется Haagerup субфакторная планарная алгебра.^[18] Имеет индекс ${\displaystyle (5+{\sqrt {13}})/2\sim 4.303}$.

Подфакторные планарные алгебры полностью классифицируются по индексу не более ${\displaystyle 5}$ ^[19]и немного дальше.^[20]Эта классификация была инициирована Уффе Хаагеруп.^[21]Он использует (среди прочего) список возможных основных графов вместе с теоремой вложения^[22]и алгоритм медузы.^[23]

Подфакторная планарная алгебра запоминает подфактор (то есть его стандартный инвариант завершен), если он поддается.^[24] Подфактор конечной глубины является приемлемым.

О неаменабельном случае: существует неклассифицируемое множество неприводимых гиперконечных подфакторов индекса 6, которые все имеют один и тот же стандартный инвариант.^[25]

Преобразование Фурье и бипроекции

Позволять ${\displaystyle N\subset M}$ - субфактор конечного индекса, и ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ соответствующая подфакторная планарная алгебра. Предположить, что ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ неприводимо (т.е. ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{1,+}=N'\cap M_{1}=\mathbb {C} }$). Позволять ${\displaystyle N\subset K\subset M}$ быть промежуточным субфактором. Пусть проекция Джонса ${\displaystyle e_{K}^{M}:L^{2}(M)\to L^{2}(K)}$. Обратите внимание, что ${\displaystyle e_{K}^{M}\in {\mathcal {P}}_{2,+}}$. Позволять ${\displaystyle id:=e_{M}^{M}}$ и ${\displaystyle e_{1}:=e_{N}^{M}}$.

Обратите внимание, что ${\displaystyle tr(e_{1})=\delta ^{-2}=[M:N]^{-1}}$ и ${\displaystyle tr(id)=1}$.

Пусть биективное линейное отображение ${\displaystyle {\mathcal {F}}:{\mathcal {P}}_{2,\pm }\to {\mathcal {P}}_{2,\mp }}$ быть преобразование Фурье, также называемый ${\displaystyle 1}$-щелкните (внешней звезды) или ${\displaystyle 90^{\circ }}$ вращение; и разреши ${\displaystyle a*b}$ быть сопродукт из ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$.

Обратите внимание, что слово сопродукт является уменьшительным от продукт свертки. Это бинарная операция.

Копроизведение удовлетворяет равенству ${\displaystyle a*b={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}(a){\mathcal {F}}^{-1}(b)).}$

Для любых положительных операторов ${\displaystyle a,b}$, побочный продукт ${\displaystyle a*b}$ тоже положительный; это можно увидеть схематически:^[26]

Позволять ${\displaystyle {\overline {a}}:={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}(a))}$ быть противоположный ${\displaystyle a}$ (также называемый ${\displaystyle 180^{\circ }}$ вращение). Карта ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{4}}$ соответствует четырем ${\displaystyle 1}$- щелчки внешней звезды, так что это карта идентичности, а затем ${\displaystyle {\overline {\overline {a}}}=a}$.

В случае алгебры Каца контрагредиент - это в точности антипод,^[12] которые для конечной группы соответствуют обратному.

А двупроекция это проекция ${\displaystyle b\in {\mathcal {P}}_{2,+}\setminus \{0\}}$ с ${\displaystyle {\mathcal {F}}(b)}$ кратное проекции. Обратите внимание, что ${\displaystyle e_{1}=e_{N}^{M}}$ и ${\displaystyle id=e_{M}^{M}}$ бипроекции; это можно увидеть следующим образом:

Проекция ${\displaystyle b}$ является бипроекцией, если и только если это проекция Джонса ${\displaystyle e_{K}^{M}}$ промежуточного субфактора ${\displaystyle N\subset K\subset M}$^[27], если и только если ${\displaystyle e_{1}\leq b={\overline {b}}=\lambda b*b,{\text{ with }}\lambda ^{-1}=\delta tr(b)}$.^[28][26]

Переписка Галуа:^[29] в случае алгебры Каца бипроекции равны 1-1 с левыми коидеальными подалгебрами, которые для конечной группы соответствуют подгруппам.

Для любой неприводимой субфакторной планарной алгебры множество бипроекторов представляет собой конечную решетку, ^[30] формы ${\displaystyle [e_{1},id]}$, как для интервала конечных групп ${\displaystyle [H,G]}$.

Используя бипроекции, мы можем сделать промежуточные субфакторные алгебры планарными. ^[31][32]

В принцип неопределенности распространяется на любую неприводимую подфакторную планарную алгебру ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$:

Позволять ${\displaystyle {\mathcal {S}}(x)=Tr(R(x))}$ с ${\displaystyle R(x)}$ проекция дальности ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle Tr}$ ненормализованный след (т.е. ${\displaystyle Tr=\delta ^{n}tr}$ на ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{n,\pm }}$).

Принцип некоммутативной неопределенности: ^[33] Позволять ${\displaystyle x\in {\mathcal {P}}_{2,\pm }}$, ненулевое. потом

${\displaystyle {\mathcal {S}}(x){\mathcal {S}}({\mathcal {F}}(x))\geq \delta ^{2}}$

Предполагая ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle {\mathcal {F}}(x)}$ положительный, равенство выполняется тогда и только тогда, когда ${\displaystyle x}$ это двупроекция. В более общем смысле равенство выполняется тогда и только тогда, когда ${\displaystyle x}$ это двухсменный двупроекции.

Рекомендации

1. Воан Ф. Р. Джонс (1999), "Планарные алгебры, I", arXiv:математика / 9909027
2. "Дрор Бар-Натан: Публикации: Кобордизмы". Math.toronto.edu. Дои:10.2140 / gt.2005.9.1443. Получено 2016-11-20.
3. "Фронт: [math / 0410495] Гомологии Хованова для клубков и кобордизмов". Front.math.ucdavis.edu. Дои:10.2140 / gt.2005.9.1443. Получено 2016-11-20.
4. Воан Ф. Р. Джонс (2017), «Некоторые унитарные представления групп Томпсона F и T», J. Comb. Алгебра, 1 (1): 1–44, arXiv:1412.7740, Дои:10.4171 / JCA / 1-1-1, МИСТЕР  3589908
5. Виджай Кодиялам, ПРОТИВ. Раскол (2004), «О планарных алгебрах Джонса», J. Разветвления теории узлов, 13 (2): 219–247, Дои:10.1142 / S021821650400310X, МИСТЕР  2047470
6. "Виджай Кодиялам - Планарные алгебры - IMSc 2015". youtube.com. 2015-11-14.
7. Виджай Кодиялам, ПРОТИВ. Раскол (2006), "Планарная алгебра полупростой и косвенно-простой алгебры Хопфа", Proc. Индийский акад. Sci. Математика. Sci., 116 (4): 1–16, arXiv:математика / 0506153, Bibcode:2005математика ...... 6153K
8. Сорин Попа (1995), "Аксиоматизация решетки высших относительных коммутантов подфактора", Inventiones Mathematicae, 120 (3): 427–445, Bibcode:1995ИнМат.120..427П, Дои:10.1007 / BF01241137, МИСТЕР  1334479
9. Алиса Гионнет, Воан Ф. Р. Джонс, Дмитрий Шляхтенко (2010), «Случайные матрицы, свободная вероятность, плоские алгебры и субфакторы», Clay Math. Proc., {11}: 201–239, МИСТЕР  2732052
10. Виджай Кодиялам, ПРОТИВ. Раскол (2009), «От субфакторных планарных алгебр к субфакторам», Междунар. J. Math., 20 (10): 1207–1231, arXiv:0807.3704, Дои:10.1142 / S0129167X0900573X, МИСТЕР  2574313
11. Парамита Дас, Виджай Кодиялам (2005), «Планарные алгебры и теорема Окнеану-Шимански», Proc. Амер. Математика. Soc., 133 (9): 2751–2759, Дои:10.1090 / S0002-9939-05-07789-0, ISSN  0002-9939, МИСТЕР  2146224
12. Виджай Кодиялам, Зеф Ландау, ПРОТИВ. Раскол (2003), "Плоская алгебра, ассоциированная с алгеброй Каца", Proc. Индийский акад. Sci. Математика. Sci., 113 (1): 15–51, Дои:10.1007 / BF02829677, ISSN  0253-4142, МИСТЕР  1971553
13. Вед Пракаш Гупта (2008), «Планарная алгебра подгруппы-подфактора», Труды математических наук, 118 (4): 583–612, arXiv:0806.1791, Bibcode:2008arXiv0806.1791G, Дои:10.1007 / s12044-008-0046-0
14. Виджай Кодиялам, ПРОТИВ. Раскол (2000), «Подгруппа-подфактор», Математика. Сканд., 86 (1): 45–74, Дои:10.7146 / math.scand.a-14281, ISSN  0025-5521, МИСТЕР  1738515
15. Масаки Идзуми (2002), "Характеризация изоморфных групп-подгрупп подфакторов", Int. Математика. Res. Нет., 2002 (34): 1791–1803, Дои:10.1155 / S107379280220402X, ISSN  1073-7928, МИСТЕР  1920326
16. Дитмар Биш, Воан Джонс (1997), "Алгебры, ассоциированные с промежуточными субфакторами", Inventiones Mathematicae, 128 (1): 89–157, Bibcode:1997InMat.128 ... 89J, Дои:10.1007 / s002220050137
17. Пинхас Гроссман, Воан Джонс (2007), «Промежуточные субфакторы без дополнительной структуры», J. Amer. Математика. Soc., 20 (1): 219–265, Bibcode:2007JAMS ... 20..219G, Дои:10.1090 / S0894-0347-06-00531-5, МИСТЕР  2257402
18. Эмили Петерс (2010), "Конструкция плоской алгебры субфактора Хаагерупа", Междунар. J. Math., 21 (8): 987–1045, arXiv:0902.1294, Дои:10.1142 / S0129167X10006380, МИСТЕР  2679382
19. Воан Ф. Р. Джонс, Скотт Моррисон, Ноа Снайдер (2014), «Классификация субфакторов индекса не более ${\displaystyle 5}$", Бык. Амер. Математика. Soc. (Н.С.), 51 (2): 277–327, arXiv:1304.6141, Дои:10.1090 / S0273-0979-2013-01442-3, МИСТЕР  3166042
20. Нарджесс Афзали, Скотт Моррисон, Дэвид Пенни (2015), Классификация субфакторов с индексом не выше ${\displaystyle 5+1/4}$, стр. 70pp, arXiv:1509.00038, Bibcode:2015arXiv150900038A
21. Уффе Хаагеруп (1994), "Основные графики субфакторов в диапазоне индекса ${\displaystyle 4<[M:N]<3+{\sqrt {2}}}$", Субфакторы (Кьюзесо, 1993): 1–38, МИСТЕР  1317352
22. Воан Джонс, Дэвид Пенни (2011), "Теорема вложения для субфакторных плоских алгебр конечной глубины", Квантовый тополь., 2 (3): 301–337, arXiv:1007.3173, Дои:10.4171 / QT / 23, МИСТЕР  2812459
23. Стивен Бигелоу, Дэвид Пенни (2014), «Стабильность главного графа и алгоритм медузы». Математика. Анна., 358 (1–2): 1–24, arXiv:1208.1564, Дои:10.1007 / s00208-013-0941-2, МИСТЕР  3157990
24. Попа, Сорин (1994), «Классификация аменабильных субфакторов типа II», Acta Mathematica, 172 (2): 163–255, Дои:10.1007 / BF02392646, МИСТЕР  1278111
25. Арно Бротье, Стефан Ваес (2015), «Семейства гиперконечных субфакторов с одинаковым стандартным инвариантом и заданной фундаментальной группой», J. Noncommut. Геом., 9 (3): 775–796, arXiv:1309.5354, Дои:10.4171 / JNCG / 207, МИСТЕР  3420531
26. Чжэнвэй Лю (2016), "Планарные алгебры малого ранга с обменными отношениями", Пер. Амер. Математика. Soc., 368 (12): 8303–8348, arXiv:1308.5656, Дои:10.1090 / tran / 6582, ISSN  0002-9947, МИСТЕР  3551573
27. Дитмар Биш (1994), "Заметка о промежуточных субфакторах", Pacific J. Math., 163 (2): 201–216, Дои:10.2140 / pjm.1994.163.201, ISSN  0030-8730, МИСТЕР  1262294
28. Зеф А. Ландау (2002), "Планарные алгебры обменных отношений", Геом. Dedicata, 95: 183–214, Дои:10.1023 / А: 1021296230310, ISSN  0046-5755, МИСТЕР  1950890
29. Масаки Идзуми, Роберто Лонго, Сорин Попа (1998), "Соответствие Галуа для компактных групп автоморфизмов алгебр фон Неймана с обобщением на алгебры Каца", J. Funct. Анальный., 155 (1): 25–63, Дои:10.1006 / jfan.1997.3228, ISSN  0022-1236, МИСТЕР  1622812
30. Ясуо Вататани (1996), "Решетки промежуточных субфакторов", J. Funct. Анальный., 140 (2): 312–334, Дои:10.1006 / jfan.1996.0110, HDL:2115/68899, ISSN  0022-1236, МИСТЕР  1409040
31. Зеф А. Ландау (1998), "Промежуточные субфакторы", Диссертация - Калифорнийский университет в Беркли: 132 пикселей
32. Кешаб Чандра Бакши (2016), Повторный визит к промежуточной плоской алгебре, стр. 31pp, arXiv:1611.05811, Bibcode:2016arXiv161105811B
33. Чунлан Цзян, Чжэнвэй Лю, Цзиньсон Ву (2016), «Принципы некоммутативной неопределенности», J. Funct. Анальный., 270 (1): 264–311, arXiv:1408.1165, Дои:10.1016 / j.jfa.2015.08.007