Восстановление фазы - Phase retrieval

Восстановление фазы это процесс алгоритмически поиск решений фазовая проблема. Учитывая сложный сигнал ${ Displaystyle F (k)}$ , амплитуды ${ displaystyle | F (k) |}$ , и фаза ${ Displaystyle psi (к)}$ :

{ Displaystyle F (к) = | F (к) | е ^ {я psi (k)} = int _ {- infty} ^ { infty} f (x) e ^ {- 2 pi ik cdot x} , dx}

куда Икс является M-мерная пространственная координата и k является M-мерная пространственно-частотная координата. Восстановление фазы состоит из поиска фазы, которая удовлетворяет набору ограничений для измеренной амплитуды. Важные приложения поиска фазы включают: Рентгеновская кристаллография, просвечивающая электронная микроскопия и когерентное дифракционное изображение, для которого ${ displaystyle M = 2}$ .^[1] Теоремы единственности как для одномерного, так и для двумерного случаев задачи восстановления фазы, включая безфазную одномерную обратную задачу рассеяния, были доказаны Клибановым и его сотрудниками (см. Ссылки).

Методы

Алгоритм уменьшения ошибок

Схематическое изображение алгоритма уменьшения ошибок для поиска фазы

Уменьшение ошибки является обобщением Алгоритм Гершберга – Сакстона. Это решает для ${ displaystyle f (x)}$ из измерений ${ displaystyle | F (u) |}$ . Он использует итерацию четырехэтапного процесса. Для ${ displaystyle k}$ На итерации шаги следующие:

Шаг 1): ${ displaystyle G_ {k} (u)}$ , ${ displaystyle phi _ {k}}$ , и ${ displaystyle g_ {k} (x)}$ являются оценками соответственно ${ Displaystyle F (и)}$ , ${ displaystyle psi}$ и ${ displaystyle f (x)}$ . На первом этапе ${ displaystyle g_ {k} (x)}$ подвергается Преобразование Фурье:

{ displaystyle G_ {k} (u) = | G_ {k} (u) | e ^ {i phi _ {k} (u)} = { mathcal {F}} (g_ {k} (x) )}

Шаг (2): экспериментальное значение ${ displaystyle | F (u) |}$ , рассчитанный из дифракционной картины через уравнение сигнала, затем заменяется на ${ displaystyle | G_ {k} (u) |}$ , что дает оценку преобразования Фурье:

{ Displaystyle G '_ {к} (и) = | F (и) | е ^ {я фи _ {к} (и)}}

где 'означает, что объект временный, для дальнейших расчетов.

Шаг (3): оценка преобразования Фурье ${ Displaystyle G '_ {к} (и)}$ обратное преобразование Фурье:

{ displaystyle g '_ {k} (x) = | g' _ {k} (x) | e ^ {i theta '_ {k} (x)} = { mathcal {F}} ^ {- 1} (G '_ {k} (u))}

Шаг (4): ${ displaystyle g '_ {k} (х)}$ затем необходимо изменить так, чтобы новая оценка объекта, ${ Displaystyle g_ {к + 1} (х)}$ удовлетворяет ограничениям объекта. ${ Displaystyle g_ {к + 1} (х)}$ поэтому определяется кусочно как:

{ Displaystyle g_ {к + 1} (х) Equiv { begin {cases} g '_ {k} (x) & x notin gamma 0 & x in gamma end {cases}}}

куда ${ displaystyle gamma}$ это область, в которой ${ displaystyle g '_ {k} (х)}$ не удовлетворяет ограничениям объекта. Новая оценка ${ Displaystyle g_ {к + 1} (х)}$ получается, и четырехэтапный процесс можно повторять итеративно.

Этот процесс продолжается до тех пор, пока не будут удовлетворены как ограничение Фурье, так и ограничение объекта. Теоретически процесс всегда приведет к конвергенция,^[1] но большое количество итераций, необходимых для получения удовлетворительного изображения (обычно> 2000), приводит к тому, что алгоритм уменьшения ошибок оказывается неприемлемо неэффективным для единственного использования в практических приложениях.

Гибридный алгоритм ввода-вывода

Гибридный алгоритм ввода-вывода является модификацией алгоритма уменьшения ошибок - первые три этапа идентичны. Тем не мение, ${ displaystyle g_ {k} (x)}$ больше не действует как оценка ${ displaystyle f (x)}$ , но входная функция, соответствующая выходной функции ${ displaystyle g '_ {k} (х)}$ , что является оценкой ${ displaystyle f (x)}$ .^[1] На четвертом шаге, когда функция ${ displaystyle g '_ {k} (х)}$ нарушает ограничения объекта, значение ${ Displaystyle g_ {к + 1} (х)}$ принудительно приближается к нулю, но оптимально не к нулю. Главное преимущество гибридного алгоритма ввода-вывода состоит в том, что функция ${ displaystyle g_ {k} (x)}$ содержит информация обратной связи Относительно предыдущих итераций, снижая вероятность застоя. Было показано, что гибридный алгоритм ввода-вывода сходится к решению значительно быстрее, чем алгоритм уменьшения ошибок. Скорость его сходимости может быть дополнительно улучшена с помощью алгоритмов оптимизации размера шага.^[2]

{ Displaystyle g_ {к + 1} (х) Equiv { begin {case} g '_ {k} (x) & x notin gamma g_ {k} (x) - beta {g'_ {k} (x)} & x in gamma end {case}}}

Здесь ${ displaystyle beta}$ это параметр обратной связи, который может принимать значение от 0 до 1. Для большинства приложений ${ displaystyle beta примерно 0,9}$ дает оптимальные результаты.^{[нужна цитата ]}

Термоусадочная пленка

Для двумерной задачи восстановления фазы существует вырождение решений в качестве ${ displaystyle f (x)}$ и его сопряженный ${ displaystyle f ^ {*} (- х)}$ имеют одинаковый модуль Фурье. Это приводит к «двойникованию изображения», при котором алгоритм поиска фазы останавливается, создавая изображение с характеристиками как объекта, так и его сопрягать.^[3] Метод термоусадочной упаковки периодически обновляет оценку поддержки путем фильтрации нижних частот текущей оценки амплитуды объекта (путем свертки с Гауссовский ) и применение порога, ведущего к уменьшению неоднозначности изображения.^[4]

Приложения

Восстановление фазы - ключевой компонент когерентная дифракционная визуализация (CDI). В CDI интенсивность дифракция образец, рассеянный от цели, измеряется. Затем фаза дифракционной картины получается с использованием алгоритмов восстановления фазы и строится изображение цели. Таким образом, восстановление фазы позволяет преобразовывать дифракционную картину в изображение без оптическая линза.

Используя алгоритмы восстановления фазы, можно охарактеризовать сложные оптические системы и их аберрации.^[5] Другие приложения поиска фазы включают: Рентгеновская кристаллография и просвечивающая электронная микроскопия.

Смотрите также

Рекомендации

^ ^а ^б ^c Файенуп, Дж. Р. (1 августа 1982 г.). «Алгоритмы фазового поиска: сравнение». Прикладная оптика. 21 (15): 2758–69. Дои:10.1364 / AO.21.002758. ISSN 0003-6935. PMID 20396114.
^ Марчезини, С. (25 января 2007 г.). «Приглашенная статья: унифицированная оценка алгоритмов итеративного проецирования для поиска фазы». Обзор научных инструментов. 78 (1): 011301. arXiv:физика / 0603201. Дои:10.1063/1.2403783. ISSN 0034-6748. PMID 17503899.
^ Fienup, J. R .; Вакерман, К. К. (1986-11-01). "Проблемы застоя фазового восстановления и решения". Журнал Оптического общества Америки A. 3 (11): 1897. Дои:10.1364 / JOSAA.3.001897. ISSN 1084-7529.
^ Marchesini, S .; Он, H .; Chapman, H.N .; Hau-Riege, S.P .; Ной, А .; Howells, M. R .; Weierstall, U .; Спенс, Дж. К. Х. (2003-10-28). «Реконструкция рентгеновского изображения только по дифракционной картине». Физический обзор B. 68 (14): 140101. arXiv:физика / 0306174. Дои:10.1103 / PhysRevB.68.140101. ISSN 0163-1829.
^ Файенуп, Дж. Р. (1993-04-01). «Алгоритмы восстановления фазы для сложной оптической системы». Прикладная оптика. 32 (10): 1737–1746. Дои:10.1364 / AO.32.001737. ISSN 2155-3165. PMID 20820307.

Клибанов, М. В. (1985). «О единственности определения функции с компактным носителем по модулю ее преобразования Фурье». Советская математика - Доклады. 32: 668–670.
Клибанов, М. (1987). «Определение функции с компактным носителем по модулю ее преобразования Фурье и обратной задаче рассеяния». Дифференциальные уравнения. 22: 1232–1240.
Клибанов, М. (1987). «Обратные задачи рассеяния и восстановление функции по модулю ее преобразования Фурье». Сибирская математика J. 27 (5): 708–719. Дои:10.1007 / bf00969199.
Клибанов, М. В. (1989). «Единственность определения искажений кристаллической решетки методом рентгеновской дифракции в непрерывной динамической модели». Дифференциальные уравнения. 25: 520–527.
Клибанов, М. & Sacks, P.E. (1992). «Бесфазное обратное рассеяние и фазовая проблема в оптике». J. Math. Phys. 33 (11): 2813–3821. Bibcode:1992JMP .... 33.3813K. Дои:10.1063/1.529990.
Клибанов, М. В .; Sacks, P.E. (1994). «Использование частичного знания потенциала в фазовой задаче обратной задачи рассеяния». J. Comput. Phys. 112 (2): 273–281. Bibcode:1994JCoPh.112..273K. Дои:10.1006 / jcph.1994.1099.
Клибанов, М. В .; Sacks, P.E .; Тихонравов, А. (1995). «Задача поиска фазы». Обратные задачи. 11 (1): 1–28. Bibcode:1995ИнвПр..11 .... 1K. Дои:10.1088/0266-5611/11/1/001.
Клибанов, М. В. (2006). «О восстановлении двумерной функции по модулю ее преобразования Фурье». J. Math. Анальный. Приложение. 323 (2): 818–843. Дои:10.1016 / j.jmaa.2005.10.079.

[:0-1] а ^б ^c Файенуп, Дж. Р. (1 августа 1982 г.). «Алгоритмы фазового поиска: сравнение». Прикладная оптика. 21 (15): 2758–69. Дои:10.1364 / AO.21.002758. ISSN 0003-6935. PMID 20396114.

[2] Марчезини, С. (25 января 2007 г.). «Приглашенная статья: унифицированная оценка алгоритмов итеративного проецирования для поиска фазы». Обзор научных инструментов. 78 (1): 011301. arXiv:физика / 0603201. Дои:10.1063/1.2403783. ISSN 0034-6748. PMID 17503899.

[3] Fienup, J. R .; Вакерман, К. К. (1986-11-01). "Проблемы застоя фазового восстановления и решения". Журнал Оптического общества Америки A. 3 (11): 1897. Дои:10.1364 / JOSAA.3.001897. ISSN 1084-7529.

[4] Marchesini, S .; Он, H .; Chapman, H.N .; Hau-Riege, S.P .; Ной, А .; Howells, M. R .; Weierstall, U .; Спенс, Дж. К. Х. (2003-10-28). «Реконструкция рентгеновского изображения только по дифракционной картине». Физический обзор B. 68 (14): 140101. arXiv:физика / 0306174. Дои:10.1103 / PhysRevB.68.140101. ISSN 0163-1829.

[5] Файенуп, Дж. Р. (1993-04-01). «Алгоритмы восстановления фазы для сложной оптической системы». Прикладная оптика. 32 (10): 1737–1746. Дои:10.1364 / AO.32.001737. ISSN 2155-3165. PMID 20820307.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]