Преобразование Пенроуза - Penrose transform

В теоретическая физика, то Преобразование Пенроуза, представлен Роджер Пенроуз  (1967, 1968, 1969 ), является комплексным аналогом Преобразование радона что касается безмассовые поля в пространстве-времени когомология из снопы на сложное проективное пространство. Рассматриваемое проективное пространство - это твистор пространство, геометрическое пространство, естественно связанное с исходным пространством-временем, и твисторное преобразование также является геометрически естественным в смысле интегральная геометрия. Преобразование Пенроуза - главный компонент классической твисторная теория.

Обзор

Абстрактно преобразование Пенроуза работает с двойным расслоение пространства Y, более двух пространств Икс и Z

${displaystyle Z{xleftarrow {eta }}Y{xrightarrow { au }}X.}$

В классическом преобразовании Пенроуза Y это спин-связка, Икс представляет собой компактифицированную и сложную форму Пространство Минковского и Z - твисторное пространство. Более общие примеры происходят из двойных расслоений формы

${displaystyle G/H_{1}{xleftarrow {eta }}G/(H_{1}cap H_{2}){xrightarrow { au }}G/H_{2}}$

куда грамм комплексная полупростая группа Ли и ЧАС₁ и ЧАС₂ параболические подгруппы.

Преобразование Пенроуза работает в два этапа. Первый тянет обратно группы когомологий пучка ЧАС^р(Z,F) когомологиям пучка ЧАС^р(Y, η⁻¹F) на Y; во многих случаях, когда представляет интерес преобразование Пенроуза, этот откат оказывается изоморфизмом. Затем сдвигаются полученные классы когомологий до Икс; то есть исследуют прямое изображение класса когомологий с помощью Спектральная последовательность Лере. Полученное прямое изображение затем интерпретируется в терминах дифференциальных уравнений. В случае классического преобразования Пенроуза результирующие дифференциальные уравнения являются в точности уравнениями безмассового поля для данного спина.

Пример

Классический пример дается следующим образом

• "Твисторное пространство" Z комплексное проективное 3-пространство CP³, который также является Грассманиан Gr₁(C⁴) линий в 4-мерном комплексном пространстве.
• Икс = Gr₂(C⁴), грассманиан 2-плоскостей в 4-мерном комплексном пространстве. Это компактификация комплексного пространства Минковского.
• Y это многообразие флагов элементы которой соответствуют линии на плоскости C⁴.
• грамм группа SL₄(C) и ЧАС₁ и ЧАС₂ являются параболические подгруппы фиксация линии или плоскости, содержащей эту линию.

Карты из Y к Икс и Z являются естественными проекциями.

Преобразование Пенроуза – Уорда

В Преобразование Пенроуза – Уорда является нелинейной модификацией преобразования Пенроуза, введенной Уорд (1977), что (среди прочего) относится голоморфный векторные пакеты на трехмерном комплексном проективном пространстве CP³ к решениям самодуальные уравнения Янга – Миллса на S⁴.Атья и Уорд (1977) использовал это для описания инстантонов в терминах алгебраических векторных расслоений на комплексном проективном 3-пространстве и Атья (1979) объяснил, как это можно использовать для классификации инстантонов на четырехмерной сфере.

Рекомендации

• Атья, Майкл Фрэнсис; Уорд, Р.С. (1977), «Инстантоны и алгебраическая геометрия», Коммуникации по математической физике, Springer Berlin / Heidelberg, 55: 117–124, Bibcode:1977CMaPh..55..117A, Дои:10.1007 / BF01626514, ISSN  0010-3616, МИСТЕР  0494098
• Атья, Майкл Фрэнсис (1979), Геометрия полей Янга-Миллса, Lezioni Fermiane, Scuola Normale Superiore Pisa, Пиза, ISBN  978-88-7642-303-1, МИСТЕР  0554924
• Бастон, Роберт Дж .; Иствуд, Майкл Г. (1989), Преобразование Пенроуза, Oxford Mathematical Monographs, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN  978-0-19-853565-2, МИСТЕР  1038279.
• Иствуд, Майкл (1993), «Введение в преобразование Пенроуза», в Иствуде, Майкл; Вольф, Иосиф; Zierau., Roger (ред.), Преобразование Пенроуза и аналитические когомологии в теории представлений (South Hadley, MA, 1992), Contemp. Математика, 154, Providence, R.I .: Amer. Математика. Soc., Стр. 71–75, ISBN  978-0-8218-5176-0, МИСТЕР  1246377
• Иствуд, М. (2001) [1994], «Преобразование Пенроуза», Энциклопедия математики, EMS Press
• Дэвид, Лиана (2001), Преобразование Пенроуза и его приложения (PDF), Эдинбургский университет; Докторская диссертация.
• Пенроуз, Роджер (1967), «Твисторная алгебра», Журнал математической физики, 8: 345–366, Bibcode:1967JMP ..... 8..345P, Дои:10.1063/1.1705200, ISSN  0022-2488, МИСТЕР  0216828, заархивировано из оригинал на 2013-01-12
• Пенроуз, Роджер (1968), "Твисторное квантование и искривленное пространство-время", Международный журнал теоретической физики, Springer Нидерланды, 1: 61–99, Bibcode:1968IJTP .... 1 ... 61P, Дои:10.1007 / BF00668831, ISSN  0020-7748
• Пенроуз, Роджер (1969), «Решения уравнений нулевой массы покоя», Журнал математической физики, 10 (1): 38–39, Bibcode:1969JMP .... 10 ... 38P, Дои:10.1063/1.1664756, ISSN  0022-2488, заархивировано из оригинал на 2013-01-12
• Пенроуз, Роджер; Риндлер, Вольфганг (1986), Спиноры и пространство-время. Vol. 2, Кембриджские монографии по математической физике, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-25267-6, МИСТЕР  0838301.
• Уорд, Р.С. (1977), "О самодуальных калибровочных полях", Письма о физике A, 61 (2): 81–82, Bibcode:1977PhLA ... 61 ... 81Вт, Дои:10.1016/0375-9601(77)90842-8, ISSN  0375-9601, МИСТЕР  0443823