Параллельный (оператор) - Parallel (operator)

Эта статья посвящена математической функции, моделирующей параллельные резисторы. Для использования в других целях см. Параллельный (значения). Об обозначении удвоенной вертикальной линии (||) во многих языках программирования см. Логическое ИЛИ. Об аналогичном обозначении удвоенной вертикальной линии (‖) в математике см. Норма (математика). Для идентично выглядящего параллельного оператора («слияния») в вычислениях см. Алгебра процессов.

Графическая интерпретация параллельного оператора с ${\displaystyle a\parallel b=c}$.

В параллельный оператор (также известен как уменьшенная сумма, параллельная сумма или параллельное сложение) ${\displaystyle \|}$ (произносится как "параллель",^[1] после обозначение параллельных линий из геометрии^[2][3]) это математическая функция который используется как сокращение в электротехника,^{[4][5][6][nb 1]} но также используется в кинетика, механика жидкости и финансовая математика.^[7][8]

Обзор

Параллельный оператор представляет взаимный значение суммы взаимных значений (иногда также называемое «формулой взаимного обмена») и определяется следующим образом:^{[9][6][10][11]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{}\parallel {}:&&{\overline {\mathbb {C} }}\times {\overline {\mathbb {C} }}&\to {\overline {\mathbb {C} }}\\&&(a,b)&\mapsto a\parallel b={\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}}}={\frac {ab}{a+b}},\end{aligned}}}$

с участием ${\displaystyle {\overline {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ будучи расширенные комплексные числа (с соответствующими правилами).^{[12][требуется разъяснение ]} Более поздняя форма иногда также упоминается как «произведение над суммой».

Оператор дает половину гармоническое среднее двух чисел а и б.^[7][8]

В частном случае для ${\displaystyle a\in {\overline {\mathbb {C} }}}$:

${\displaystyle a\parallel a={\frac {a}{2}}}$.

Далее для всех ${\displaystyle a,b\in {\overline {\mathbb {C} }}}$:

${\displaystyle a\neq b\iff {\big |}a\parallel b{\big |}>{\frac {1}{2}}\min(|a|,|b|)}$

с участием ${\displaystyle {\big |}a\parallel b{\big |}}$ представляющий абсолютная величина из ${\displaystyle a\parallel b}$.

С участием ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ быть положительными действительными числами следует ${\displaystyle {\big |}a\parallel b{\big |}<\min(a,b)}$.

Концепция была расширена от скаляр операция для матрицы^{[13][14][15][16][17]} и далее обобщенный.^[18]

Обозначение

Первоначально оператор был представлен как уменьшенная сумма Сундарам Сешу в 1956 году,^[19][20][13] учился на оператора∗ Кент Э. Эриксон в 1959 г.,^[21][22][13] и популяризируется Ричард Джеймс Даффин и Уильям Найлс Андерсон младший как параллельное сложение или параллельная сумма оператор: в математика и теория сети с 1966 года.^[14][15][1] Хотя некоторые авторы продолжают использовать этот символ до настоящего времени,^[7][8] например, Суджит Кумар Митра использовал ∙ как символ в 1970 году.^[13] В прикладная электроника, а∥ Знак стал более распространенным позже как символ оператора.^{[23][24][25][26][nb 1][nb 2]} Это часто записывалось как удвоенная вертикальная линия (||), доступная в большинстве наборы символов, но теперь его можно представить с помощью Unicode символ U + 2225 (∥) для «параллельно». В Латекс и связанных с ним языков разметки макросы \| и parallel часто используются для обозначения символа оператора.

Правила

Для дополнение, параллельный оператор следует за коммутативный закон:

${\displaystyle a\parallel b=b\parallel a}$

и ассоциативный закон:^[12][7][8]

${\displaystyle (a\parallel b)\parallel c=a\parallel (b\parallel c)=a\parallel b\parallel c={\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}}}={\frac {abc}{ab+ac+bc}}}$

Умножение распределительный над этой операцией.^[1][7][8]

Далее, параллельный оператор имеет ${\displaystyle \infty }$ так как нейтральный элемент и для ${\displaystyle a\in {\overline {\mathbb {C} }}\setminus \{0\},}$ число ${\displaystyle -a}$ так как обратный элемент. Однако, ${\displaystyle \left({\overline {\mathbb {C} }},\parallel \right)}$ не является абелева группа, так как ${\displaystyle a\parallel 0=0}$ для каждого ненулевого а, и ${\displaystyle 0\parallel 0}$ не вполне определен (неопределенная форма ).

При отсутствии скобок параллельный оператор определяется как имеющий приоритет сложение или вычитание.^{[1][27][9][10]}

Приложения

В электротехника, параллельный оператор можно использовать для расчета полного импеданса различных последовательный и параллельный электрические схемы.^{[nb 2]}

Например, общая сопротивление из резисторы подключены параллельно является обратной величиной суммы обратных величин индивидуального резисторы.

${\displaystyle {\frac {1}{R_{\text{eq}}}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{R_{n}}}}$.

Точно так же для всего емкость серийного конденсаторы.^{[nb 2]}

Тот же принцип может быть применен к различным задачам в других дисциплинах.

Существует двойственность между обычным (серия) сумма и параллельная сумма.^[7][8]

Примеры

Вопрос:

Три резистора ${\displaystyle R_{1}=270\,\mathrm {k\Omega } }$, ${\displaystyle R_{2}=180\,\mathrm {k\Omega } }$ и ${\displaystyle R_{3}=120\,\mathrm {k\Omega } }$ связаны в параллельно. Каково их результирующее сопротивление?

Ответ:

${\displaystyle R_{1}\parallel R_{2}\parallel R_{3}=270\,\mathrm {k\Omega } \parallel 180\,\mathrm {k\Omega } \parallel 120\,\mathrm {k\Omega } ={\frac {1}{{\frac {1}{270\,\mathrm {k\Omega } }}+{\frac {1}{180\,\mathrm {k\Omega } }}+{\frac {1}{120\,\mathrm {k\Omega } }}}}\approx 56.84\,\mathrm {k\Omega } }$

Эффективное сопротивление составляет ок. 57 тыс.Ω.

Вопрос:^[7][8]

Строитель поднимает стену за 5 часов. Другому работнику потребуется 7 часов на ту же работу. Сколько времени нужно, чтобы построить стену, если оба рабочих работают параллельно?

Ответ:

${\displaystyle t_{1}\parallel t_{2}=5\,\mathrm {h} \parallel 7\,\mathrm {h} ={\frac {1}{{\frac {1}{5\,\mathrm {h} }}+{\frac {1}{7\,\mathrm {h} }}}}\approx 2.92\,\mathrm {h} }$

Они закончатся примерно за 3 часа.

Реализация

WP 34S с параллельным оператором (∥) на г+÷ ключ.

Предложенный еще Кентом Эриксоном в качестве подпрограммы в цифровых компьютерах в 1959 году,^[21] параллельный оператор реализован как оператор клавиатуры на Обратная польская запись (RPN) научные калькуляторы WP 34S с 2008 года^[28][29][30] а также на WP 34C^[31] и WP 43S с 2015 года^[32][33] позволяя решать даже каскадные проблемы несколькими нажатиями клавиш, например 270↵ Enter180∥120∥.

Заметки

1. Хотя использование символа ∥ для "параллельного" в геометрия достигает еще 1673 г. Джон Керси старший работа,^[A] это вошло в широкое использование только примерно с 1875 года.^[B] Использование математического оператора для параллельные цепи происходит из теория сети в электротехника. Сундарам Сешу представил уменьшенная сумма оператор в 1956 г.,^[C] Кент Э. Эриксон предложил звездочка (∗) для обозначения оператора в 1959 г.^[D] пока Ричард Джеймс Даффин и Уильям Найлс Андерсон-младший использовали двоеточие (:) для параллельное сложение с 1966 года.^[E] Суджит Кумар Митра использовал миддот (∙) для него в 1970 году.^[F] Первое использование символа параллели (∥) для этого оператора в прикладная электроника неизвестен, но мог быть взят из книги Джона В. Маквэйна 1981 г. «Введение в электронику и приборы»,^[Г] который вырос из одноименного Массачусетский технологический институт курс, разработанный как часть влиятельного Проект разработки технической учебной программы между 1974 и 1979. Этот символ, вероятно, также был введен, потому что другие используемые символы можно было легко спутать со знаками, обычно используемыми для умножение и деление в некоторых контекстах.
2. В электрических цепях оператор параллельности может применяться к соответственно параллельному сопротивления (р в [Ω]) или индуктивности (L в [H]), а также импедансы (Z в [Ω]) или реактивные сопротивления (Икс в [Ω]). Игнорирование вводящего в заблуждение символа оператора глиф это также может быть применено к серии схемы соответственно проводимость (г в [S]) или емкости (C в [F]), а также допуски (Y в [S]) или подозрения (B в [S]).

использованная литература

1. Даффин, Ричард Джеймс (1971) [1970, 1969]. «Сетевые модели». Написано в Дареме, Северная Каролина, США. В Уилф, Герберт Сол; Харарей, Фрэнк (ред.). Математические аспекты анализа электрических сетей. Труды симпозиума по прикладной математике Американского математического общества и Общества промышленной и прикладной математики, состоявшегося в Нью-Йорке, 1969-04-02 / 03. Том III трудов SIAM-AMS (иллюстрированный ред.). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество (AMS) / Общество промышленной и прикладной математики (СИАМ). С. 65–92 [68]. ISBN  0-8218-1322-6. ISSN  0080-5084. LCCN  79-167683. ISBN  978-0-8218-1322-5. Репортаж 69-21. Получено 2019-08-05. С. 68–69: […] Для удобного короткого обозначения общего сопротивления резисторов, соединенных параллельно, пусть […] A: B = AB / (A + B) […] A: B может рассматриваться как новая операция, называемая параллельное сложение […] Параллельное сложение определяется для любых неотрицательных чисел. Сетевая модель показывает, что параллельное сложение коммутативный и ассоциативный. Кроме того, умножение распределительный над этой операцией. Рассмотрим теперь алгебраическое выражение в операциях (+) и (:), работающих с положительными числами A, B, C и т. Д. […] Чтобы дать сетевую интерпретацию такого полинома, прочтите А + В как "A серия B" и А: Б как «параллель B», то ясно, что выражение […] - это совместное сопротивление сети […] [1] [2] (206 стр.)
2. Керси (старший), Джон (1673). «Глава I: Об объеме этой четвертой книги и значении символов, сокращений и цитат, используемых в ней». Элементы этого математического искусства, обычно называемого алгеброй. Книга IV - Элементы алгебраических искусств. Лондон: Томас Пассинджер, Три Библии, Лондонский мост. С. 177–178. В архиве из оригинала 2020-08-05. Получено 2019-08-09.
3. Кахори, Флориан (1993) [сентябрь 1928]. «§ 184, § 359, § 368». История математических обозначений - Обозначения в элементарной математике. 1 (два тома в одном неизмененном оттиске под ред.). Чикаго, США: Издательство open court. стр.193, 402–403, 411–412. ISBN  0-486-67766-4. LCCN  93-29211. Получено 2019-07-22. С. 402–403, 411–412: §359. […] ∥ для параллельного встречается в Oughtred с Opuscula mathematica hactenus inedita (1677) [стр. 197], посмертное произведение (§ 184) […] §368. Знаки для параллельных линий. […] когда Запись знак равенства победил континент, вертикальные линии стали использоваться для параллельности. Мы находим ∥ для "параллели" в Керси,^[A] Caswell, Джонс,^[B] Уилсон,^[C] Эмерсон,^[D] Камблы,^[E] и писатели последних пятидесяти лет, которых уже цитировали в связи с другими пиктограммами. Примерно до 1875 года это происходило не так часто […] Холл и Стивенс^[F] использовать "номинал^[F] или ∥ "для параллельного […] [A] Джон Керси, Алгебра (Лондон, 1673 г.), Книга IV, стр. 177. [B] У. Джонс, Синопсис palmarioum matheseos (Лондон, 1706 г.). [C] Джон Уилсон, Тригонометрия (Эдинбург, 1714 г.), персонажи объяснены. [D] У. Эмерсон, Элементы геометрии (Лондон, 1763), стр. 4. [E] Л. Камблы [де ], Die Elementar-Mathematik, Часть 2: Planimetrie, 43. издание (Бреслау, 1876), с. 8. […] [F] Х. С. Холл и Ф. Х. Стивенс, Элементы Евклида, Части I и II (Лондон, 1889 г.), стр. 10. […] [3]
4. «INA 326 / INA 327 - прецизионный инструментальный усилитель ввода / вывода с разъемом Rail-to-Rail» (PDF). Берр-Браун / Инструменты Техаса. 2018 [ноябрь 2004 г., ноябрь 2001 г.]. С. 3, 9, 13. SBOS222D. В архиве (PDF) из оригинала на 13.07.2019. Получено 2019-07-13.
5. Бобер, Уильям; Стивенс, Эндрю (2016). «Глава 7.6. Преобразования Лапласа, применяемые к схемам». Численные и аналитические методы с MATLAB для инженеров-электриков. Прикладная и вычислительная механика (1-е изд.). CRC Press. п. 224. ISBN  978-1-46657607-0. ISBN  1-46657607-3. (388 стр.)
6. Ранаде, Гирея; Стоянович, Владимир, ред. (Осень 2018). «Глава 15.7.2 Параллельные резисторы» (PDF). EECS 16A Проектирование информационных устройств и систем I (PDF) (конспект лекций). Калифорнийский университет в Беркли. п. 12. Примечание 15. В архиве (PDF) из оригинала на 2018-12-27. Получено 2018-12-28. п. 12: […] Это математическое соотношение возникает достаточно часто, поэтому у него на самом деле есть название: «параллельный оператор», обозначаемый ∥. Когда мы говорим x∥y, это означает ${\displaystyle {\frac {xy}{x+y}}}$. Обратите внимание, что это математический оператор и ничего не говорит о фактической конфигурации. В случае резисторов параллельный оператор используется для параллельных резисторов, но для других компонентов (например, конденсаторов) это не дело. […] (16 страниц)
7. Эллерман, Дэвид Паттерсон (1995-03-21). «Глава 12: Параллельное сложение, последовательно-параллельная двойственность и финансовая математика». Интеллектуальное вторжение как образ жизни: очерки философии, экономики и математики (PDF). Мирская философия: исследования на стыке философии и экономики. G - Справочная, информационная и междисциплинарная серия предметов (иллюстрированное издание). Rowman & Littlefield Publishers, Inc. С. 237–268. ISBN  0-8476-7932-2. В архиве (PDF) из оригинала на 2016-03-05. Получено 2019-08-09. п. 237: […] Когда резисторы с сопротивлением a и b устанавливаются последовательно, их составное сопротивление представляет собой обычную сумму (в дальнейшем сумма серии ) сопротивлений a + b. Если резисторы размещены параллельно, их составное сопротивление равно параллельная сумма сопротивлений, что обозначается полная толстая кишка […] [4] (271 стр.)
8. Эллерман, Дэвид Паттерсон (Май 2004 г.) [1995-03-21]. «Введение в последовательно-параллельную двойственность» (PDF). Калифорнийский университет в Риверсайде. CiteSeerX  10.1.1.90.3666. В архиве из оригинала на 2019-08-10. Получено 2019-08-09. Параллельная сумма двух положительных действительных чисел x: y = [(1 / x) + (1 / y)]⁻¹ возникает в теории электрических цепей как сопротивление, возникающее в результате соединения двух сопротивлений x и y параллельно. Существует двойственность между обычным (серия) сумма и параллельная сумма. […] [5] (24 страницы)
9. Бассо, Кристоф П. (2016). «Глава 1.1.2 Текущий делитель». Передаточные функции линейных цепей: введение в быстрые аналитические методы (1-е изд.). Чичестер, Западный Сассекс, Нью-Джерси, США: John Wiley & Sons Ltd. п. 12. ISBN  978-1-11923637-5. LCCN  2015047967. Получено 2018-12-28. (464 стр.)
10. Коттер, Нил Э., изд. (2015-10-12) [2014-09-20]. "Поваренная книга ECE1250 - узлы, серии, параллели" (конспект лекций). Поваренные книги. Университет Юты. В архиве (PDF) из оригинала на 2020-08-20. Получено 2019-08-11. […] Один из удобных способов указать, что два резистора подключены параллельно, - поставить между ними знак ∥. […]
11. Бёкер, Иоахим (18 марта 2019 г.) [апрель 2008 г.]. "Grundlagen der Elektrotechnik Teil B" (PDF) (на немецком). Universität Paderborn. п. 12. В архиве (PDF) из оригинала на 2018-04-17. Получено 2019-08-09. п. 12: Für die Berechnung des Ersatzwiderstands der Parallelschaltung wird […] gern die Kurzschreibweise ∥ benutzt.
12. Георг, Отфрид (2013) [1999]. "Глава 2.11.4.3: Aufstellen der Differentialgleichung aus der komplexen Darstellung - MATHCAD Anwendung 2.11-6: Benutzerdefinierte Operatoren". Elektromagnetische Felder und Netzwerke: Anwendungen in Mathcad und PSpice. Springer-Lehrbuch (на немецком языке) (1-е изд.). Springer-Verlag. С. 246–248. Дои:10.1007/978-3-642-58420-6. ISBN  978-3-642-58420-6. ISBN  3-642-58420-9. Получено 2019-08-04. (728 страниц)
13. Митра, Суджит Кумар (февраль 1970 г.). «Матричная операция для анализа последовательно-параллельных многопортов». Журнал Института Франклина. Краткое сообщение. Институт Франклина. 289 (2): 167–169. Дои:10.1016/0016-0032(70)90302-9. п. 167: Цель этого сообщения - расширить концепцию скаляр операция Уменьшенная сумма введена Сешу […] И позже разработан Эриксон […] К матрицам, чтобы обрисовать некоторые интересные свойства этой новой матричной операции и применить матричную операцию к анализу последовательного и параллельного п-портовые сети. Пусть A и B - два неособых квадратные матрицы имея обратное, А⁻¹ и B⁻¹ соответственно. Определим операцию ∙ как A ∙ B = (A⁻¹ + B⁻¹)⁻¹ и операцию ⊙ как A ⊙ B = A ∙ (−B). Операция ∙ есть коммутативный и ассоциативный а также распределительный относительно умножения. […] (3 страницы)
14. Даффин, Ричард Джеймс; Хазони, Дов; Моррисон, Норман Александр (март 1966 г.) [1965-04-12, 1964-08-25]. «Сетевой синтез через гибридные матрицы». Журнал SIAM по прикладной математике. Общество промышленной и прикладной математики (СИАМ). 14 (2): 390–413. Дои:10.1137/0114032. JSTOR  2946272. (24 страницы)
15. Андерсон младший, Уильям Найлс; Даффин, Ричард Джеймс (1969) [1968-05-27]. «Последовательное и параллельное сложение матриц». Журнал математического анализа и приложений. Academic Press, Inc. 26 (3): 576–594. Дои:10.1016 / 0022-247X (69) 90200-5. п. 576: […] Мы определяем параллельную сумму A и B по формуле A (A + B)⁺B и обозначим его через A: B. Если A и B неособые, это сводится к A: B = (A⁻¹ + B⁻¹)⁻¹ это хорошо известная электрическая формула для добавления резисторов параллельно. Затем показано, что Эрмитский полуопределенные матрицы образуют коммутативный частично упорядоченная полугруппа относительно параллельной операции суммирования. […] [6]
16. Митра, Суджит Кумар; Пури, Мадан Лал (октябрь 1973 г.). «О параллельной сумме и разности матриц» (PDF). Журнал математического анализа и приложений. Academic Press, Inc. 44 (1): 92–97. Дои:10.1016 / 0022-247X (73) 90027-9. Архивировано из оригинал (PDF) на 2019-04-13.
17. Митра, Суджит Кумар; Бхимасанкарам, Почираджу; Малик, Сародж Б. (2010). Матричные частичные заказы, короткие операторы и приложения. Серия по алгебре. 10 (иллюстрировано 1-м изд.). World Scientific Publishing Co. Pte. ООО ISBN  978-981-283-844-5. ISBN  981-283-844-9. Получено 2019-08-19. (446 стр.)
18. Эрикссон-Бике, Сиркка-Лийза Аннели; Leutwiler, Heinz (февраль 1989 г.) [1989-01-10]. «Обобщение параллельного сложения» (PDF). Aequationes Mathematicae. Birkhäuser Verlag. 38 (1): 99–110. Дои:10.1007 / BF01839498. В архиве (PDF) из оригинала на 2020-08-20. Получено 2020-08-20.
19. Сешу, Сундарам (сентябрь 1956 г.). «Об электрических цепях и схемах переключения». IRE-транзакции по теории цепей. Институт Радиоинженеров (IRE). CT-3 (3): 172–178. Дои:10.1109 / TCT.1956.1086310. (7 страниц) (Примечание. См. опечатка.)
20. Сешу, Сундарам; Гулд, Родерик (сентябрь 1957 г.). «Поправка к электрическим цепям и схемам переключения»'". IRE-транзакции по теории цепей. Исправление. Институт Радиоинженеров (IRE). CT-4 (3): 284. Дои:10.1109 / TCT.1957.1086390. (1 страница) (NB. Относится к предыдущий Справка.)
21. Эриксон, Кент Э. (март 1959 г.). «Новая операция для анализа последовательно-параллельных сетей». IRE-транзакции по теории цепей. Институт Радиоинженеров (IRE). КТ-6 (1): 124–126. Дои:10.1109 / TCT.1959.1086519. п. 124: […] Операция ∗ определяется как A ∗ B = AB / A + B. Символ ∗ обладает алгебраическими свойствами, которые упрощают формальное решение многих последовательно-параллельных сетевых задач. Если бы операция ∗ была включена как подпрограмма в цифровой компьютер, это может упростить программирование определенных сетевых вычислений. […] (3 страницы) (Примечание. См. комментарий.)
22. Кауфман, Ховард (июнь 1963 г.). «Замечание о новой операции анализа последовательно-параллельных сетей». IEEE Transactions по теории цепей. Институт инженеров по электротехнике и электронике (IEEE). КТ-10 (2): 283. Дои:10.1109 / TCT.1963.1082126. п. 283: […] Комментарии к операции ∗ […] a ∗ b = ab / (a ​​+ b) […] (1 страница) (NB. Относится к предыдущий Справка.)
23. Вольф, Лоуренс Дж. (1977) [1976, 1974]. «Раздел 4. Учебные материалы - 4.3. Проект разработки технической программы Массачусетского технологического института - Введение в электронику и приборы». В Олдридже, Билл Дж .; Мауэри, Дональд Р .; Вольф, Лоуренс Дж .; Диксон, Пегги (ред.). Наука и инженерные технологии - Руководство по учебной программе: руководство по двухгодичной программе для получения степени младшего специалиста (PDF). Общественный колледж Сент-Луиса - Флориссант-Вэлли, Сент-Луис, штат Миссури, США: Национальная ассоциация учителей естественных наук, Вашингтон, округ Колумбия, США. С. 21, 77. В архиве (PDF) из оригинала на 2017-02-15. Получено 2019-08-08. п. 21: […] Введение в электронику и приборы это новый и современный подход к вводному курсу электроники. Разработанный для студентов, не имеющих опыта работы с электроникой, он развивает навыки и знания, необходимые для использования и понимания современных электронных систем. […] Джон В. Маквейн […] (NB. УСТАНОВИТЬ проект была двухгодичной учебной программой для послесреднего образования, разработанной между 1974 и 1977 годами, для подготовки технических специалистов к использованию электронных приборов.)
24. Визнер, Джером Берт; Джонсон, Говард Уэсли; Киллиан младший, Джеймс Райн, ред. (1978-04-11). «Школа инженерии - Центр перспективных инженерных исследований (C.A.E.S.) - Исследования и разработки - Проект исследований и разработок технической программы». Отчет президента и канцлера 1977–78 - Массачусетский технологический институт (PDF). Массачусетский Институт Технологий (Массачусетский технологический институт). С. 249, 252–253. В архиве (PDF) из оригинала от 10.09.2015. Получено 2019-08-08. С. 249, 252–253: […] Программа исследований и разработок технических учебных программ, спонсируемая Имперская организация социальных служб из Иран, вступает в четвертый год пятилетнего контракта. Продолжается разработка учебных программ по электронике и машиностроению. […] Управляется совместно C.A.E.S. и Департамент материаловедения и инженерии, Проект находится под руководством профессора Мертона К. Флемингса. Это направлено доктором Джоном В. Маквэйном. […] Разработка учебных материалов. Это основное направление деятельности проекта, связанное с разработкой инновационных, современных материалов для курсов в необходимых областях инженерных технологий […] новый вводный курс по электронике […] называется «Введение в электронику и приборы» и состоит из восьми […] модулей […] постоянного тока, напряжения и сопротивления; Опорные сети; Сигналы, изменяющиеся во времени; Операционные усилители; Источники питания; переменный ток, напряжение и импеданс; Цифровые схемы; и электронные измерения и контроль. Этот курс представляет собой серьезное изменение и обновление способа внедрения электроники и должен иметь большое значение для ИППП а также ко многим американским программам. […]
25. Wedlock, Брюс Д. (1978). Базовые схемы сети. Проект исследования и разработки технических учебных программ. Введение в электронику и приборы. Массачусетский Институт Технологий (Массачусетский технологический институт). (81 страница) (NB. Это легло в основу первой части книги Маквэйна 1981 г. книга.)
26. Маквэйн, Джон В. (1981-05-01). Введение в электронику и приборы (Иллюстрированный ред.). North Scituate, Массачусетс, США: Бретонские издательства, Wadsworth, Inc. С. 78, 96–98, 100, 104. ISBN  0-53400938-7. ISBN  978-0-53400938-0. Получено 2019-08-04. п. xiii, 96–98, 100: […] Брюс Д. Уэдлок […] был основным автором части I, БАЗОВЫЕ ЦЕПНЫЕ СЕТИ включая дизайн сопутствующих примеров. […] Большая часть разработки программы IEI проводилась в рамках Проект исследования и разработки технических учебных программ из Центр перспективных инженерных исследований Массачусетского технологического института. […] Сокращенное обозначение […] сокращенное обозначение ∥ […] (xiii + 545 страниц) (NB. В 1981 г. существовало лабораторное руководство на 216 страниц, прилагавшееся к этой книге. Работа выросла из Массачусетский технологический институт программа курса "Проект разработки технической учебной программы Массачусетского технологического института - Введение в электронику и приборы "разработан в период с 1974 по 1979 год. В 1986 году вышло второе издание этой книги под названием" Введение в электронные технологии ".)
27. Пол, Штеффен; Пол, Райнхольд (2014-10-24). «Глава 2.3.2: Zusammenschaltungen linearer resistiver Zweipole - Parallelschaltung». Grundlagen der Elektrotechnik und Elektronik 1: Gleichstromnetzwerke und ihre Anwendungen (на немецком). 1 (5-е изд.). Springer-Verlag. п. 78. ISBN  978-3-64253948-0. ISBN  3-64253948-3. Получено 2019-08-04. п. 78: […] Bei abgekürzter Schreibweise achte man sorgfältig auf die Anwendung von Klammern. […] Das Parallelzeichen ∥ der Kurzschreibweise hat die gleiche Bedeutung wie ein Multiplikationszeichen. Deshalb können Klammern entfallen. (446 стр.)
28. Дейл, Пол; Бонин, Уолтер (30 ноября 2012 г.) [9 декабря 2008 г.]. WP 34S Руководство пользователя (PDF) (3,1 изд.). С. 1, 14, 32, 66, 116. В архиве (PDF) из оригинала на 2019-07-09. Получено 2019-07-13. [7] (211 стр.)
29. Бонин, Уолтер (2015) [2008-12-09]. WP 34S Руководство пользователя (3,3 изд.). Независимая издательская платформа CreateSpace. ISBN  978-1-5078-9107-0. [8]
30. Бонин, Уолтер (2016-07-11) [2008-12-09]. WP 34S Руководство пользователя (4-е изд.). Независимая издательская платформа CreateSpace. ISBN  978-1-53366238-5. ISBN  1-53366238-X. (410 страниц)
31. Доурик, Найджел (2015-05-03) [2015-03-16]. «Комплексный режим блокировки для WP-34». Музей HP. В архиве из оригинала на 2019-04-03. Получено 2019-08-07.
32. Бонин, Уолтер (2020) [2015]. WP 43S Руководство пользователя (PDF). 0,16 (черновик ред.). п. 119. ISBN  978-1-72950098-9. ISBN  1-72950098-6. Получено 2020-08-20. [9] [10] (328 страниц)
33. Бонин, Уолтер (2020) [2015]. Справочное руководство WP 43S (PDF). 0,16 (черновик ред.). п. 127. ISBN  978-1-72950106-1. ISBN  1-72950106-0. Получено 2020-08-20. [11] [12] (315 стр.)

дальнейшее чтение

• Пекарев, Эдвард Л .; Шмульян, Ю. Л. (1976-04-30). «Параллельное сложение и параллельное вычитание операторов». Математика СССР-Известия. Американское математическое общество. 10 (2): 351–370. Bibcode:1976ИзМат..10..351П. Дои:10.1070 / IM1976v010n02ABEH001694.
• Даффин, Ричард Джеймс; Морли, Том Д. (июль 1978 г.). «Почти определенные операторы и электромеханические системы». Журнал SIAM по прикладной математике. Общество промышленной и прикладной математики (СИАМ). 35 (1): 21–30. Дои:10.1137/0135003. JSTOR  2101028. (10 страниц)
• Морли, Том Д. (июль 1979 г.). «Параллельное суммирование, принцип Максвелла и точная грань проекций» (PDF). Журнал математического анализа и приложений. Кафедра математики, Университет Иллинойса в Урбана-Шампейн, Урбана, Иллинойс, США. 70 (1): 33–41. Дои:10.1016 / 0022-247X (79) 90073-8. В архиве из оригинала на 2020-08-20. Получено 2020-08-20.
• Сигер, Альберто (май 1990 г.) [1988-03-22]. «Прямое и обратное сложение в выпуклом анализе и приложениях» (PDF). Журнал математического анализа и приложений. Кафедра математики, Вашингтонский университет, Сиэтл, Вашингтон, США: Academic Press, Inc. 148 (2): 317–349. Дои:10.1016 / 0022-247X (90) 90004-Y. В архиве (PDF) из оригинала на 2020-08-20. Получено 2020-08-20. (33 страницы)
• Брайант, Рэндал Э.; Тайгар, Дж. Дуг; Хуанг, Лоуренс П. (1994). «Геометрические характеристики последовательно-параллельных цепей переменного резистора» (PDF). IEEE Transactions по схемам и системам I: фундаментальная теория и приложения. 41 (11): 686–698. Дои:10.1109/81.331520. Архивировано из оригинал (PDF) на 14.08.2017.
• Антезана, Хорхе; Корах, Густаво; Стоянов, Деметрио (апрель 2006 г.) [2005-09-14]. «Двусторонние закороченные операторы и параллельные суммы» (PDF). Линейная алгебра и ее приложения. Ла-Плата, Аргентина и Буэнос-Айрес, Аргентина. 414 (2–3): 570–588. arXiv:математика / 0509327. Дои:10.1016 / j.laa.2005.10.039. В архиве (PDF) из оригинала на 2017-08-09. Получено 2020-08-20. [13] (19 страниц)
• Чансангиам, Паттравут (февраль 2016 г.) [август 2015 г., июль 2015 г.]. «Математические аспекты подключения к электрическим сетям». KKU Engineering Journal. 43 (1): 47–54. Дои:10.14456 / kkuenj.2016.8. В архиве (PDF) из оригинала на 2020-08-20. Получено 2020-08-20.
• Бешенье, Адам (01.09.2016). «Непреодолимое неравенство Милна» (PDF). Будапешт: Департамент прикладного анализа и вычислительной математики, Университет Этвёша Лоранда. CIA2016. В архиве (PDF) из оригинала на 08.08.2019. Получено 2019-08-11.

внешние ссылки

• https://github.com/microsoftarchive/edx-platform-1/blob/master/common/lib/calc/calc/calc.py