Обычный вентилятор - Normal fan

В математика, конкретно выпуклая геометрия, то нормальный вентилятор из выпуклый многогранник п это многогранный веер то есть двойной к п. Обычные вентиляторы могут найти применение многогранная комбинаторика, линейное программирование, тропическая геометрия и другие области математики.

Определение

Для выпуклого многогранника п в р^п, нормальный вентилятор N_п из п является многогранным веером в двойное пространство, (р^п)* чей шишки состоит из нормальный конус C_F каждому лицу F из п,

${\displaystyle N_{P}=\{C_{F}\}_{F\in \operatorname {face} (P)}.}$

Каждый нормальный конус C_F определяется как набор линейных функционалов ш такой, что множество точек Икс в п что максимизировать ш(Икс) содержит F,

${\displaystyle C_{F}=\{w\in (\mathbb {R} ^{n})^{*}\mid F\subseteq \operatorname {argmax} _{x\in P}w(x)\}.}$

Характеристики

• N_п это полный вентилятор, означая, что объединение его конусов есть все пространство, (р^п)*.
• Если F это лицо п измерения d, то его нормальный конус C_F имеет размер п – d. Нормальные конусы к вершинам п полноразмерные. Если п имеет полный размер, нормальные конусы к граням п лучи N_п и нормальный конус к п сам по себе C_п = {0}, нулевой конус.
• В аффинный промежуток лица F из п является ортогональный в линейную оболочку его нормального конуса, C_F.
• Соответствие между лицами п и конусы N_п инвертирует включение, то есть для лиц F и грамм из п,

${\displaystyle F\subseteq G\quad \Leftrightarrow \quad C_{F}\supseteq C_{G}.}$

• С N_п фанат пересечение любых двух его конусов также является конусом в N_п. Для лиц F и грамм из п,

${\displaystyle C_{F}\cap C_{G}=C_{H}}$

куда ЧАС это самое маленькое лицо п который содержит оба F и грамм.

Приложения

• Если многогранник п считается возможный регион из линейная программа, нормальный поклонник п разбивает пространство целевых функций на основе набора решений линейной программы, определяемой каждым из них. Линейная программа, цель которой - максимизировать линейную целевую функцию. ш имеет набор решений F если и только если ш находится в относительный интерьер конуса C_F.
• Если многогранник п имеет источник в его интерьер, то нормальный поклонник п можно построить из полярный двойной из п взяв конус по каждой грани двойственного многогранника, п°.
• За ж многочлен от п переменные с коэффициентами в C, то тропическая гиперповерхность из ж поддерживается на субвентиляторе обычного вентилятора Многогранник Ньютона п из ж. В частности, тропическая гиперповерхность опирается на конусы в N_п размером меньше чем п.

Рекомендации

• Циглер, Гюнтер М. (1995), Лекции по многогранникам, Тексты для выпускников по математике, 152, Springer-Verlag, ISBN  0-387-94365-X.