Лемма Нётер о нормализации - Noether normalization lemma

В математика, то Лемма Нётер о нормализации является результатом коммутативная алгебра, представлен Эмми Нётер в 1926 г.^[1] В нем говорится, что для любого поле k, и любые конечно порожденный коммутативный k-алгебра А, существует неотрицательное целое число d и алгебраически независимый элементы y₁, y₂, ..., y_d в А такой, что А это конечно порожденный модуль над кольцом многочленов S = k [y₁, y₂, ..., y_d].

Целое число d выше однозначно определено; это Измерение Крулля кольца А. Когда А является область целостности, d также степень трансцендентности из поле дробей из А над k.

Теорема имеет геометрическую интерпретацию. Предполагать А является цельным. Позволять S быть координатное кольцо из d-размерный аффинное пространство ${ displaystyle mathbb {A} _ {k} ^ {d}}$ , и А как координатное кольцо какого-то другого d-размерный аффинное разнообразие Икс. Затем карта включения S → А индуцирует сюръективный конечный морфизм из аффинные разновидности ${ displaystyle X to mathbb {A} _ {k} ^ {d}}$ . Напрашивается вывод, что любой аффинное разнообразие это разветвленное покрытие аффинного пространства. k бесконечно, такое разветвленное накрывающее отображение можно построить, взяв общую проекцию из аффинного пространства, содержащего Икс к d-мерное подпространство.

В более общем виде на языке схем теорему можно эквивалентно сформулировать следующим образом: каждая аффинная k-схема (конечного типа) Икс является конечный над аффинным п-мерное пространство. Теорема может быть уточнена, включив в нее цепочку идеалов р (эквивалентно, замкнутые подмножества Икс), конечные над аффинными координатными подпространствами соответствующих размерностей.^[2]

Формулировка сформулированной выше леммы Нётер о нормализации может быть использована как важный шаг в доказательстве гильбертова Nullstellensatz. Это придает ему дополнительное геометрическое значение, по крайней мере, формально, поскольку Nullstellensatz лежит в основе развития большей части классических алгебраическая геометрия. Теорема также является важным инструментом в установлении понятий Измерение Крулля за k-алгебры.

Доказательство

Следующее доказательство принадлежит Нагате и взято из красной книги Мамфорда. Доказательство геометрического оттенка также дано на странице 127 красной книги и этот поток mathoverflow.

Кольцо А в лемме порождается как k-алгебра по элементам, скажем, ${ displaystyle y_ {1}, ..., y_ {m}}$ . Мы будем вводить м. Если ${ displaystyle m = 0}$ , то утверждение тривиально. Предположим сейчас ${ displaystyle m> 0}$ . Достаточно показать, что есть подкольцо S из А который создается ${ displaystyle m-1}$ элементы, такие что А конечно над С. Действительно, по индуктивному предположению мы можем найти алгебраически независимые элементы ${ displaystyle x_ {1}, ..., x_ {d}}$ из S такой, что S конечно над ${ Displaystyle к [x_ {1}, ..., x_ {d}]}$ .

Поскольку в противном случае доказывать было бы нечего, можно также предположить, что существует ненулевой многочлен ж в м переменные над k такой, что

{ displaystyle f (y_ {1}, ldots, y_ {m}) = 0}

.

Учитывая целое число р который определяется позже, положим

{ displaystyle z_ {i} = y_ {i} -y_ {1} ^ {r ^ {i-1}}, quad 2 leq i leq m.}

Тогда предыдущее гласит:

{ displaystyle f (y_ {1}, z_ {2} + y_ {1} ^ {r}, z_ {3} + y_ {1} ^ {r ^ {2}}, ldots, z_ {m} + y_ {1} ^ {r ^ {m-1}}) = 0}

.

Сейчас если ${ displaystyle ay_ {1} ^ { alpha _ {1}} prod _ {2} ^ {m} (z_ {i} + y_ {1} ^ {r ^ {i-1}}) ^ { альфа _ {i}}}$ моном, входящий в ${ displaystyle f}$ , с коэффициентом ${ displaystyle a in k}$ , самый высокий член в ${ displaystyle y_ {1}}$ после расширения продукт выглядит как

{ displaystyle ay_ {1} ^ { alpha _ {1} + r alpha _ {2} + cdots + alpha _ {m} r ^ {m-1}}.}

Всякий раз, когда вышеуказанный показатель соответствует наивысшему ${ displaystyle y_ {1}}$ экспонента, произведенная каким-либо другим мономом, возможно, что старший член в ${ displaystyle y_ {1}}$ из ${ displaystyle f (y_ {1}, z_ {2} + y_ {1} ^ {r}, z_ {3} + y_ {1} ^ {r ^ {2}}, ..., z_ {m}) + y_ {1} ^ {r ^ {m-1}})}$ не будет иметь вышеуказанную форму, потому что на нее может повлиять отмена. Однако если р больше, чем любой показатель, представленный в ж, то каждый ${ displaystyle alpha _ {1} + r alpha _ {2} + cdots + alpha _ {m} r ^ {m-1}}$ кодирует уникальную базу р номер, поэтому этого не происходит. Таким образом ${ displaystyle y_ {1}}$ является целым над ${ Displaystyle S = к [z_ {2}, ..., z_ {m}]}$ . С ${ displaystyle y_ {i} = z_ {i} + y_ {1} ^ {r ^ {i-1}}}$ также являются целыми над этим кольцом, А является целым над S. Следует А конечно над S, и с тех пор S генерируется м-1 элементов, по индуктивному предположению все готово.

Если А является областью целостности, то d - степень трансцендентности его поля дробей. В самом деле, А и ${ Displaystyle S = к [y_ {1}, ..., y_ {d}]}$ имеют одинаковую степень трансцендентности (т.е. степень поля дробей), поскольку поле дробей А алгебраичен по сравнению с S (в качестве А является целым над S) и S имеет степень трансцендентности d. Таким образом, осталось показать размерность Крулля кольца многочленов S является d. (это тоже следствие теория размерности.) Проведем индукцию по d, с футляром ${ displaystyle d = 0}$ быть банальным. С ${ displaystyle 0 subsetneq (y_ {1}) subsetneq (y_ {1}, y_ {2}) subsetneq cdots subsetneq (y_ {1}, dots, y_ {d})}$ цепочка простых идеалов, размерность не меньше d. Чтобы получить обратную оценку, пусть ${ Displaystyle 0 subsetneq { mathfrak {p}} _ {1} subsetneq cdots subsetneq { mathfrak {p}} _ {m}}$ - цепочка простых идеалов. Позволять ${ displaystyle 0 neq u in { mathfrak {p}} _ {1}}$ . Применяем нормировку Нётер и получаем ${ Displaystyle Т = К [и, z_ {2}, точки, z_ {d}]}$ (в процессе нормализации мы можем выбрать первую переменную) так, чтобы S является целым над Т. По индуктивному предположению ${ Displaystyle Т / (и)}$ имеет размер d - 1. Автор несравнимость, ${ displaystyle { mathfrak {p}} _ {i} cap T}$ это цепочка длины ${ displaystyle m}$ а затем в ${ Displaystyle T / ({ mathfrak {p}} _ {1} cap T)}$ , он становится цепочкой длины ${ displaystyle m-1}$ . С ${ displaystyle operatorname {dim} T / ({ mathfrak {p}} _ {1} cap T) leq operatorname {dim} T / (u)}$ , у нас есть ${ Displaystyle м-1 leq d-1}$ . Следовательно, ${ displaystyle dim S leq d}$ .

Уточнение

Следующее уточнение появляется в книге Эйзенбуда, которая основывается на идее Нагаты:^[2]

Теорема — Позволять А - конечно порожденная алгебра над полем k, и ${ displaystyle I_ {1} subset dots subset I_ {m}}$ цепь идеалов такая, что ${ displaystyle operatorname {dim} (A / I_ {i}) = d_ {i}> d_ {i + 1}.}$ Тогда существуют алгебраически независимые элементы y₁, ..., y_d в А такой, что

А является конечно порожденным модулем над полиномиальным подкольцом S = k[y₁, ..., y_d].
${ displaystyle I_ {i} cap S = (y_ {d_ {i} +1}, dots, y_ {d})}$ .
Если ${ displaystyle I_ {i}}$ однородны, то y_яможно считать однородными.

Более того, если k бесконечное поле, то любой достаточно общий выбор y_яимеет свойство 1 выше («достаточно общий» уточняется в доказательстве).

С геометрической точки зрения последняя часть теоремы утверждает, что для ${ displaystyle X = operatorname {Spec} A subset mathbf {A} ^ {m}}$ любая общая линейная проекция ${ Displaystyle mathbf {A} ^ {m} to mathbf {A} ^ {d}}$ вызывает конечный морфизм ${ displaystyle X to mathbf {A} ^ {d}}$ (ср. lede); кроме Эйзенбуда см. также [1].

Следствие — Позволять А - область целостности, являющаяся конечно порожденной алгеброй над полем. Если ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ это главный идеал А, тогда

{ displaystyle dim A = operatorname {height} { mathfrak {p}} + dim A / { mathfrak {p}}}

.

В частности, размерность Крулля локализации А в любой максимальный идеал тусклый А.

Следствие — Позволять ${ Displaystyle A подмножество B}$ - области целостности, являющиеся конечно порожденными алгебрами над полем. потом

{ displaystyle dim B = dim A + operatorname {tr.deg} _ {Q (A)} Q (B)}

(частный случай Формула высоты Нагаты ).

Иллюстративное приложение: общая свобода

Доказательство общая свобода (утверждение ниже) иллюстрирует типичное, но нетривиальное применение леммы о нормализации. Общая свобода говорит: пусть ${ displaystyle A, B}$ быть такими кольцами, что ${ displaystyle A}$ является нётеровой областью целостности, и предположим, что существует гомоморфизм колец ${ displaystyle от A до B}$ что показывает ${ displaystyle B}$ как конечно порожденная алгебра над ${ displaystyle A}$ . Тогда есть некоторые ${ displaystyle 0 neq g in A}$ такой, что ${ Displaystyle Б [г ^ {- 1}]}$ это бесплатный ${ Displaystyle А [г ^ {- 1}]}$ -модуль.

Позволять ${ displaystyle F}$ быть поле дроби из ${ displaystyle A}$ . Мы рассуждаем индукцией по размерности Крулля матрицы ${ displaystyle F otimes _ {A} B}$ . Базовый случай - размерность Крулля ${ displaystyle - infty}$ ; т.е. ${ displaystyle F otimes _ {A} B = 0}$ . Это означает, что есть некоторые ${ displaystyle 0 neq g in A}$ такой, что ${ displaystyle gB = 0}$ и так ${ Displaystyle Б [г ^ {- 1}]}$ бесплатно как ${ Displaystyle А [г ^ {- 1}]}$ -модуль. Для индуктивного шага обратите внимание ${ displaystyle F otimes _ {A} B}$ является конечно порожденным ${ displaystyle F}$ -алгебра. Следовательно, по лемме Нётер о нормализации ${ displaystyle F otimes _ {A} B}$ содержит алгебраически независимые элементы ${ displaystyle x_ {1}, dots, x_ {d}}$ такой, что ${ displaystyle F otimes _ {A} B}$ конечно над кольцом многочленов ${ Displaystyle F [x_ {1}, dots, x_ {d}]}$ . Умножая каждый ${ displaystyle x_ {i}}$ элементами ${ displaystyle A}$ , можно предположить ${ displaystyle x_ {i}}$ находятся в ${ displaystyle B}$ . Теперь рассмотрим:

{ displaystyle A ': = A [x_ {1}, dots, x_ {d}] to B.}

Необязательно, чтобы ${ displaystyle B}$ конечно над ${ displaystyle A '}$ . Но это будет так после обратимого одного элемента, как показано ниже. Если ${ displaystyle b}$ является элементом ${ displaystyle B}$ , то как элемент ${ displaystyle F otimes _ {A} B}$ , она цела по ${ Displaystyle F [x_ {1}, dots, x_ {d}]}$ ; т.е. ${ displaystyle b ^ {n} + a_ {1} b ^ {n-1} + dots + a_ {n} = 0}$ для некоторых ${ displaystyle a_ {i}}$ в ${ Displaystyle F [x_ {1}, dots, x_ {d}]}$ . Таким образом, некоторые ${ displaystyle 0 neq g in A}$ убивает все знаменатели коэффициентов ${ displaystyle a_ {i}}$ и так ${ displaystyle b}$ является целым над ${ Displaystyle А '[г ^ {- 1}]}$ . Выбирая конечное число образующих ${ displaystyle B}$ как ${ displaystyle A '}$ -алгебра и применяя это наблюдение к каждому образующему, находим ${ displaystyle 0 neq g in A}$ такой, что ${ Displaystyle Б [г ^ {- 1}]}$ является целым (следовательно, конечным) над ${ Displaystyle А '[г ^ {- 1}]}$ . Заменять ${ displaystyle B, A}$ к ${ Displaystyle В [г ^ {- 1}], А [г ^ {- 1}]}$ и тогда мы можем предположить ${ displaystyle B}$ конечно над ${ displaystyle A ': = A [x_ {1}, dots, x_ {d}]}$ В заключение рассмотрим конечную фильтрацию ${ Displaystyle B = B_ {0} supset B_ {1} supset B_ {2} supset cdots supset B_ {r}}$ к ${ displaystyle A '}$ -подмодули такие, что ${ Displaystyle B_ {я} / B_ {я + 1} simeq A '/ { mathfrak {p}} _ {я}}$ за главные идеалы ${ displaystyle { mathfrak {p}} _ {i}}$ (такая фильтрация существует по теории связанные простые числа ). Для каждого я, если ${ displaystyle { mathfrak {p}} _ {i} neq 0}$ , по индуктивному предположению можно выбрать несколько ${ displaystyle g_ {i} neq 0}$ в ${ displaystyle A}$ такой, что ${ displaystyle A '/ { mathfrak {p}} _ {i} [g_ {i} ^ {- 1}]}$ бесплатно как ${ Displaystyle А [г_ {я} ^ {- 1}]}$ -модуль, а ${ displaystyle A '}$ является кольцом многочленов и, следовательно, свободным. Следовательно, с ${ displaystyle g = g_ {0} cdots g_ {r}}$ , ${ Displaystyle Б [г ^ {- 1}]}$ это бесплатный модуль над ${ Displaystyle А [г ^ {- 1}]}$ . ${ displaystyle square}$