В алгебраическая геометрия, то мотивирующая дзета-функция из гладкое алгебраическое многообразие
это формальный степенной ряд
![{displaystyle Z (X, t) = сумма _ {n = 0} ^ {infty} [X ^ {(n)}] t ^ {n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/552d3e2a314451de664723246abfeb2bb4c9242c)
Здесь
это
-я симметричная степень
, т.е. частное
действием симметричная группа
, и
это класс
в кругу мотивов (см. ниже).
Если наземное поле конечно, и к
, получаем локальная дзета-функция из
.
Если основное поле - комплексные числа, и применяется один Эйлерова характеристика с компактными опорами для
, получается
.
Мотивные меры
А мотивационная мера это карта
из множества конечного типа схемы через поле
к коммутативному звенеть
, удовлетворяющий трем свойствам
зависит только от класса изоморфизма
,
если
замкнутая подсхема
,
.
Например, если
конечное поле и
кольцо целых чисел, то
определяет мотивационную меру, счетная мера.
Если основным полем являются комплексные числа, то эйлерова характеристика с компактными носителями определяет мотивирующую меру со значениями в целых числах.
Дзета-функция относительно мотивационной меры
это формальный степенной ряд в
данный
.
Существует универсальная мотивационная мера. Принимает значения в K-кольце многообразий,
, которое представляет собой кольцо, порожденное символами
, для всех сортов
, при условии отношений
если
и
изоморфны,
если
замкнутое подмногообразие в
,
.
Универсальная мотивационная мера порождает мотивированную дзета-функцию.
Примеры
Позволять
обозначим класс аффинная линия.
![{displaystyle Z ({mathbb {A}} ^ {n}, t) = {frac {1} {1- {mathbb {L}} ^ {n} t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9827bed93fa5b3fa33d36b26a1390b69bc2bba0)
![{displaystyle Z ({mathbb {P}} ^ {n}, t) = prod _ {i = 0} ^ {n} {frac {1} {1- {mathbb {L}} ^ {i} t}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d34f76456179830e18395e5d0dc0c36f3b06fad)
Если
гладкая проективно неприводимая изгиб из род
признание линейный пакет степени 1, а мотивационная мера принимает значения в области, в которой
обратима, то
![{displaystyle Z (X, t) = {гидроразрыв {P (t)} {(1-t) (1- {mathbb {L}} t)}} ,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/861f8e878ab617d324b92bfebcbfc81f298a3b33)
куда
является многочленом степени
. Таким образом, в этом случае мотивирующая дзета-функция равна рациональный. В более высоком измерении мотивирующая дзета-функция не всегда рациональна.
Если
гладкий поверхность над алгебраически замкнутым полем характеристики
, то производящая функция по мотивам Схемы Гильберта из
можно выразить через мотивирующую дзета-функцию следующим образом: Гётче Формула
![{displaystyle sum _ {n = 0} ^ {infty} [S ^ {[n]}] t ^ {n} = prod _ {m = 1} ^ {infty} Z (S, {mathbb {L}} ^ {м-1} т ^ {м})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6a19ff1427afa3d035207d5341997302642872c)
Здесь
- схема Гильберта длины
подсхемы
. Для аффинной плоскости эта формула дает
![{displaystyle sum _ {n = 0} ^ {infty} [({mathbb {A}} ^ {2}) ^ {[n]}] t ^ {n} = prod _ {m = 1} ^ {infty} {гидроразрыв {1} {1- {mathbb {L}} ^ {m + 1} t ^ {m}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dd02b76ef72f98ff2a3b04825bf29e9352be7df)
По сути, это функция распределения.