Мономиальный базис - Monomial basis

В математика то мономиальный базис из кольцо многочленов его основа (как векторное пространство или же бесплатный модуль над полем или кольцом коэффициентов), состоящий из множества всех мономы. Мономы составляют основу, потому что каждый многочлен можно однозначно записать как конечный линейная комбинация мономов (это непосредственное следствие определения многочлена).

Один неопределенный

В кольцо многочленов $K [Икс]$ из одномерный многочлен над полем $K$ это $K$ -векторное пространство, имеющее

{ Displaystyle 1, х, х ^ {2}, х ^ {3}, ldots}

как (бесконечный) базис. В более общем смысле, если $K$ это звенеть, $K [Икс]$ это бесплатный модуль, имеющий ту же основу.

Многочлены степени не выше $d$ образуют также векторное пространство (или свободный модуль в случае кольца коэффициентов), которое имеет

{ Displaystyle 1, х, х ^ {2}, ldots}

в качестве основы

В каноническая форма полинома есть его выражение на этой основе:

{ displaystyle a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + ldots + a_ {d} x ^ {d},}

или, используя более короткий сигма-обозначение:

{ displaystyle sum _ {i = 0} ^ {d} a_ {i} x ^ {i}.}

Мономиальный базис естественно полностью заказанный, либо по возрастанию степеней

{ Displaystyle 1 <х <х ^ {2} < cdots,}

или по убыванию степени

{ displaystyle 1> x> x ^ {2}> cdots.}

Несколько неопределенных

В случае нескольких неопределенных ${ Displaystyle x_ {1}, ldots, x_ {n},}$ моном - это произведение

{ displaystyle x_ {1} ^ {d_ {1}} x_ {2} ^ {d_ {2}} cdots x_ {n} ^ {d_ {n}},}

где ${ displaystyle d_ {i}}$ находятся неотрицательные целые числа. В качестве ${ displaystyle x_ {i} ^ {0} = 1,}$ показатель степени, равный нулю, означает, что соответствующая неопределенная величина не входит в одночлен; особенно ${ displaystyle 1 = x_ {1} ^ {0} x_ {2} ^ {0} cdots x_ {n} ^ {0}}$ является мономом.

Как и в случае одномерных многочленов, многочлены в ${ displaystyle x_ {1}, ldots, x_ {n}}$ образуют векторное пространство (если коэффициенты принадлежат полю) или свободный модуль (если коэффициенты принадлежат кольцу), в основе которого лежит набор всех одночленов, называемый мономиальный базис

В однородные многочлены степени ${ displaystyle d}$ образуют подпространство, в котором есть одночлены степени ${ displaystyle d = d_ {1} + cdots + d_ {n}}$ как основу. Размерность этого подпространства равна количеству одночленов степени ${ displaystyle d}$ , который

{ displaystyle { binom {d + n-1} {d}} = { frac {n (n + 1) cdots (n + d-1)} {d!}},}

куда ${ displaystyle { binom {d + n-1} {d}}}$ обозначает биномиальный коэффициент.

Многочлены степени не выше ${ displaystyle d}$ образуют также подпространство, в котором мономы степени не выше ${ displaystyle d}$ как основу. Число этих одночленов и есть размерность этого подпространства, равная

{ displaystyle { binom {d + n} {d}} = { binom {d + n} {n}} = { frac {(d + 1) cdots (d + n)} {n!} }.}

Несмотря на одномерный случай, естественного общий заказ мономиального базиса. Для задач, требующих выбора общего порядка, например Основа Грёбнера вычислений, обычно выбирают допустимый мономиальный порядок, то есть полный порядок на множестве одночленов такой, что

{ displaystyle m

и

{ displaystyle 1 leq m}

для каждого одночлена ${ displaystyle m, n, q.}$

Мономиальный базис - Monomial basis

Один неопределенный

Несколько неопределенных

Смотрите также