Теорема Мора – Маскерони - Mohr–Mascheroni theorem

В математика, то Теорема Мора – Маскерони утверждает, что любое геометрическое построение, которое может быть выполнено компас и линейка может выполняться только с помощью компаса.

Следует понимать, что под «любым геометрическим построением» мы имеем в виду фигуры, не содержащие прямых линий, поскольку однозначно невозможно провести прямую линию без линейки. Подразумевается, что линия определяется при условии, что заданы или построены две различные точки на этой линии, даже если визуального представления линии не будет. Теорема может быть сформулирована более точно так:^[1]

Любая евклидова конструкция, если заданные и требуемые элементы являются точками, может быть завершена только с помощью компаса, если она может быть завершена с помощью циркуля и линейки вместе.

Хотя использование линейки может значительно упростить построение, теорема показывает, что любой набор точек, который полностью определяет построенную фигуру, может быть определен только с помощью компаса, и единственная причина для использования линейки - это эстетика видения прямых линий , который для целей построения функционально не нужен.

История

Результат был первоначально опубликован Георг Мор в 1672 г.,^[2] но его доказательство томился в безвестности до 1928 года.^[3]^[4]^[5] Теорема была независимо открыта Лоренцо Маскерони в 1797 году и был известен как Теорема Маскерони пока работа Мора не была открыта заново.^[6]

На основании результатов Маскерони в 1822 г. Жан Виктор Понселе предложил вариант на ту же тему. Он предположил, что любое построение, возможное с помощью линейки и циркуля, может быть выполнено только с помощью линейки. Единственное условие состоит в том, что должен быть предусмотрен единственный круг с обозначенным центром. В Теорема Понселе-Штейнера было доказано Якоб Штайнер одиннадцать лет спустя. Это было обобщением доказательств, данных Феррари и Кардано и несколько других в 16 веке, где они продемонстрировали, что все постройки, появляющиеся в Элементы Евклида были возможны с линейкой и «ржавым» (фиксированной шириной) компасом.^[7]

Конструктивный подход к доказательству

Чтобы доказать теорему, каждый из основные конструкции компаса и линейки должны быть доказаны возможность использования только компаса, поскольку они являются основой или элементарными шагами для всех других построений. Это:

Создание линии через две существующие точки
Создание круга через одну точку с центром в другой точке
Создание точки, являющейся пересечением двух существующих непараллельных линий
Создание одной или двух точек на пересечении прямой и окружности (если они пересекаются)
Создание одной или двух точек на пересечении двух окружностей (если они пересекаются).

# 1 - Линия через две точки

Понятно, что прямую линию нельзя провести без линейки. Считается, что линия задана любыми двумя точками, поскольку любые две точки определяют линию однозначно, а уникальная линия может быть определена любыми двумя точками на ней. В соответствии с целью теоремы, которую мы стремимся доказать, реальную линию нужно проводить не только по эстетическим причинам. Этот факт будет продемонстрирован, когда будут доказаны все остальные конструкции с участием линии.

# 2 - Круг через одну точку с определенным центром

Это вполне естественно можно сделать с помощью одного компаса; это та самая цель, для которой предназначены компасы. Доказывать нечего. Любые сомнения по поводу этой конструкции в равной степени применимы к традиционным конструкциям, которые действительно включают линейку.

# 5 - Пересечение двух кругов

Это построение может быть выполнено непосредственно с помощью циркуля, если известны центры и радиусы двух окружностей. Из-за того, что центр круга строится только с помощью компаса (см. Ниже), всегда можно предположить, что любой круг описывается его центром и радиусом. Действительно, некоторые авторы включают это в свои описания основных конструкций.^[8]^[9]^[10]

№3, №4 - Остальные конструкции

Таким образом, чтобы доказать теорему, нужно указать только компасные конструкции для №3 и №4.

Альтернативные доказательства

Известно несколько доказательств результата. Доказательство Маскерони 1797 года в основном основывалось на идее использования отражения в линии в качестве основного инструмента. Решение Мора было другим.^[3] В 1890 году Август Адлер опубликовал доказательство с использованием инверсионное преобразование.^[11]

Алгебраический подход использует изоморфизм между Евклидова плоскость и реальное координатное пространство ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ . Этот подход можно использовать для получения более сильной версии теоремы.^[12] Также показана зависимость теоремы от Аксиома архимеда (что не может быть сформулировано в язык первого порядка ).

Конструктивное доказательство

В этой статье будут использоваться следующие обозначения. Круг, центр которого находится в точке $U$ и это проходит через точку $V$ будем обозначать $U (V)$ . Круг с центром $U$ и радиус, указанный числом, $р$ , или отрезок линии $AB$ будем обозначать $U (р)$ или же $U (AB)$ , соответственно.^[13]

В общих конструкциях часто бывает несколько вариантов, дающих одинаковый результат. Выбор, сделанный в таком варианте, может быть сделан без потери общности. Однако, когда конструкция используется для доказательства того, что что-то может быть сделано, нет необходимости описывать все эти различные варианты, и для ясности изложения ниже будет приведен только один вариант. Однако многие конструкции бывают разных форм в зависимости от того, используют ли они инверсия круга и эти альтернативы будут предоставлены, если возможно.

Некоторые предварительные конструкции

Чтобы доказать приведенные выше конструкции №3 и №4, которые включены ниже, ниже также объясняется несколько необходимых промежуточных конструкций, поскольку они используются и часто упоминаются. Это тоже конструкции только для компаса. Все конструкции ниже основаны на №1, №2, №5 и любых других конструкциях, перечисленных перед ним.

Теорема эквивалентности компаса (круговой перевод)

Возможность переводить или копировать круг в новый центр жизненно важна в этих доказательствах и является фундаментальной для установления достоверности теоремы. Создание нового круга с тем же радиусом, что и первый, но с центром в другой точке, является ключевой особенностью, отличающей сворачивающийся компас от современного жесткого компаса. Эквивалентность свернувшегося компаса и жесткого компаса была доказана Евклидом (Книга I, предложение 2 из Элементы) с помощью линейки и сворачивающегося циркуля, когда он, по сути, строит копию круга с другим центром. Эту эквивалентность также можно установить с помощью одного компаса, доказательство чего можно найти в основной статье.

Отражение точки на линии

Точечная симметрия

Учитывая отрезок линии $AB$ и точка $C$ не на линии, определяемой этим сегментом, построить образ $C$ при отражении через эту строку.

Постройте два круга: один с центром в $А$ и один в центре $B$ , оба проходят через $C$ .
$D$ , другая точка пересечения двух окружностей, является отражением $C$ через линию $AB$ . Если $C = D$ (то есть существует единственная точка пересечения двух окружностей), то $C$ лежит на линии $AB$ и равняется собственному отражению (вопреки предположению).

Увеличение длины линейного сегмента

Конструкция только для компаса, удваивающая длину отрезка AB

Учитывая отрезок линии $AB$ найти точку $C$ на линии $AB$ такой, что $B$ это середина отрезка линии $AC$ .^[14]

Построить точку $D$ как пересечение кругов $А (B)$ и $B (А)$ . (∆ABD равносторонний треугольник.)
Построить точку $E \neq А$ как пересечение кругов $D (B)$ и $B (D)$ . (∆DBE равносторонний треугольник.)
Наконец, построить точку $C \neq D$ как пересечение кругов $B (E)$ и $E (B)$ . (∆EBC представляет собой равносторонний треугольник, а три угла при $B$ покажи это $А, B и C$ коллинеарны.)

Эту конструкцию можно повторять столько раз, сколько необходимо, чтобы найти точку $Q$ так что длина отрезка $AQ$ = $п$ ⋅ длина отрезка $AB$ для любого положительного целого числа $п$ .

Инверсия по кругу

Инверсия точки по кругу

Учитывая круг $B (р)$ , для некоторого радиуса $р$ (черным) и точка $D (\neq B)$ построить точку $я$ это противоположно $D$ по кругу.^[15] Естественно инверсии точки нет ${ textstyle D = B}$ .

Нарисовать круг $D (B)$ (в красном).
Предположим, что красный круг пересекает черный круг в точке E и E '
- если круги не пересекаются в двух точках, см. альтернативную конструкцию ниже.
- если круги пересекаются только в одной точке, ${ displaystyle E = E '}$ , можно инвертировать ${ displaystyle D}$ просто удвоив длину ${ displaystyle EB}$ (увеличивая в 4 раза длину ${ displaystyle DB}$ ).
Отразите центр круга ${ displaystyle B}$ $B$ через линию ${ displaystyle EE '}$ ${ displaystyle EE '}$ :
1. Постройте два новых круга $E (B)$ и $E ' (B)$ (светло-голубым).
2. Голубые круги пересекаются в $B$ и в другой момент $я \neq B$ .
Точка $я$ желаемая обратная $D$ в черном круге.

Точка $я$ таков, что радиус $р$ из $B (р)$ должен $IB$ в качестве $БД$ к радиусу; или же $IB / р = р / БД$ .

В случае, если вышеуказанная конструкция не удалась (то есть красный круг и черный круг не пересекаются в двух точках),^[16] найти точку $Q$ на линии $BD$ так что длина отрезка $BQ$ положительное целое кратное, скажем $п$ , длины $BD$ и больше чем $р / 2$ (это возможно по аксиоме Архимеда). Находить $Q '$ противоположность $Q$ по кругу $B (р)$ как указано выше (красный и черный круги должны теперь пересекаться в двух точках). Смысл $я$ теперь получается расширением $BQ '$ так что $БИ$ = $п \cdot BQ '$ .

Определение центра круга по трем точкам

Построение центра круга через три точки (A, B, C) только с помощью компаса

Учитывая три неколлинеарных точки $А$ , $B$ и $C$ найди центр $О$ круга они определяют.^[17]

Построить точку $D$ , обратное $C$ в кругу $А (B)$ .
Отражать $А$ в соответствии $BD$ к точке $Икс$ .
$О$ инверсия $Икс$ в кругу $А (B)$ .

Пересечение двух непараллельных прямых (конструкция №3)

Построение пересечения двух линий только с помощью компаса (показаны не все этапы построения)

Учитывая непараллельные линии $AB$ и $CD$ , найдите точку пересечения, $Икс$ .^[17]

Выбрать круг $О (р)$ произвольного радиуса, центр которого $О$ не лежит ни на одной строке.
Инвертировать точки $А$ и $B$ по кругу $О (р)$ к пунктам $А '$ и $B '$ соответственно.
Линия $AB$ обращена в круг, проходящий через $О$ , $А '$ и $B '$ . Найти центр $E$ этого круга.
Инвертировать точки $C$ и $D$ по кругу $О (р)$ к пунктам $C '$ и $D '$ соответственно.
Линия $CD$ обращен в круг, проходящий через $О$ , $C '$ и $D '$ . Найти центр $F$ этого круга.
Позволять $Y \neq О$ быть пересечением кругов $E (О)$ и $F (О)$ .
$Икс$ инверсия $Y$ в кругу $О (р)$ .

Пересечение прямой и окружности (конструкция №4)

Построение только компаса точек пересечения линии и круга разбивается на два случая, в зависимости от того, является ли центр круга коллинеарным с линией или нет.

Центр круга не коллинеарен линии

Предположим, что центр круга не лежит на прямой.

Пересечение прямой и окружности (неколлинеарный случай)

Учитывая круг $C (р)$ (черным цветом) и линия $AB$ . Мы хотим построить точки пересечения, $п$ и $Q$ , между ними (если они есть).^[9]^[18]

Постройте точку D, которое является отражением точки C поперек линии AB. (См. Выше.)
- В предположении этого случая $C \neq D$ .
Постройте круг $D (р)$ (в красном). (См. Выше, эквивалентность компаса.)
Пересечения круга C(р) и новый красный кружок - это точки п и Q.
- Если две окружности касательные, то ${ Displaystyle P = Q}$ .
Точки п и Q точки пересечения окружности C(р) и линия AB.
- Если ${ Displaystyle P = Q}$ тогда прямая касается окружности ${ displaystyle C (r)}$ .

Также может быть дано альтернативное построение с использованием инверсии круга.^[17]

Учитывая круг $C (р)$ и линия $AB$ . Мы хотим построить точки пересечения, $п$ и $Q$ , между ними (если они есть).

Инвертировать точки $А$ и $B$ по кругу $C (р)$ к пунктам $А '$ и $B '$ соответственно.
Линия $AB$ обращена в круг, проходящий через $C$ , $А '$ и $B '$ . Найти центр $E$ этого круга.
$п$ и $Q$ точки пересечения окружностей $C (р)$ и $E (C)$ .^[19]

Центр круга коллинеарен линии

Компас только построение пересечения круга и линии (центр круга на прямой)

Учитывая круг $C (D)$ чей центр $C$ лежит на линии $AB$ , найди точки $п$ и $Q$ , точки пересечения окружности и прямой.^[20]

Построить точку $D ' \neq D$ как другое пересечение кругов $А (D)$ и $C (D)$ .
Построить точку $F$ как пересечение кругов $C (DD ')$ и $D (C)$ . ( $F$ четвертая вершина параллелограмма $CD'DF$ .)
Построить точку $F '$ как пересечение кругов $C (DD ')$ и $D ' (C)$ . ( $F '$ четвертая вершина параллелограмма $CDD'F '$ .)
Построить точку $M$ как пересечение кругов $F (D ')$ и $F ' (D)$ . ( $M$ лежит на $AB$ .)
Точки $п$ и $Q$ пересечения кругов $F (СМ)$ и $C (D)$ .

Таким образом, было показано, что все основные конструкции, которые можно выполнить с помощью линейки и компаса, могут быть выполнены только с помощью компаса, при условии, что понимается, что линия не может быть проведена буквально, а просто определяется двумя точками.

Смотрите также

Проблема Наполеона

Примечания

^ Канун 1963 г., п. 201
^ Георг Мор, Евклид Даникус (Амстердам: Якоб ван Велсен, 1672 г.).
^ ^а ^б Канун 1963 г., п. 199
^ Hjelmslev, J. (1928) "Om et af den danske matematiker Georg Mohr udgivet skrift Евклид Даникус, удкоммет в Амстердаме в 1672 г. »[Из воспоминаний Евклид Даникус опубликовано датским математиком Георгом Мором в 1672 году в Амстердаме], Математиск Тидсскрифт B, страницы 1–7.
^ Шогт, Дж. Х. (1938) "Ом Георга Мора Евклид Даникус," Математиск Тидсскрифт A, страницы 34–36.
^ Лоренцо Маскерони, La Geometria del Compasso (Павия: Пьетро Галеацци, 1797). Выпуск 1901 года.
^ Рец, Мерлин; Кейн, Мета Дарлин (1989), «Конструкции компаса и линейки», Исторические темы для математического класса, Национальный совет учителей математики (NCTM), стр. 195, ISBN 9780873532815
^ Канун 1963 г., п. 202
^ ^а ^б Hungerbühler 1994, п. 784
^ Педое 1988, стр.122
^ Канун 1963 г., п. 198
^ Арнон Аврон, «О строгой прочной конструктивности одним компасом», Журнал геометрии (1990) 38: 12.
^ Канун 1963 г., п. 184
^ Педое 1988, п. 78
^ Педое 1988, п. 77
^ Педое 1988, п. 78
^ ^а ^б ^c Педое 1988, п. 123
^ Канун 1963 г., п. 199
^ На этом этапе Pedoe выполняет еще одну инверсию, но точки $п$ и $Q$ находятся на круге инверсии и поэтому инвариантны относительно этой последней ненужной инверсии.
^ Канун 1963 г., п. 200

дальнейшее чтение

Педо, Дэн (1995) [1957], «1 Раздел 11: Геометрия компаса», Круги / Математический вид, Математическая ассоциация Америки, стр. 23–25, ISBN 978-0-88385-518-8
Posamentier, Alfred S .; Геречлегер, Роберт (2016), «8. Конструкции Маскерони с использованием только компаса», Круг, Книги Прометея, стр. 197–216, ISBN 978-1-63388-167-9

внешняя ссылка

Строительство только с помощью компаса

[1] Канун 1963 г., п. 201

[2] Георг Мор, Евклид Даникус (Амстердам: Якоб ван Велсен, 1672 г.).

[Eves199-3] а ^б Канун 1963 г., п. 199

[4] Hjelmslev, J. (1928) "Om et af den danske matematiker Georg Mohr udgivet skrift Евклид Даникус, удкоммет в Амстердаме в 1672 г. »[Из воспоминаний Евклид Даникус опубликовано датским математиком Георгом Мором в 1672 году в Амстердаме], Математиск Тидсскрифт B, страницы 1–7.

[5] Шогт, Дж. Х. (1938) "Ом Георга Мора Евклид Даникус," Математиск Тидсскрифт A, страницы 34–36.

[6] Лоренцо Маскерони, La Geometria del Compasso (Павия: Пьетро Галеацци, 1797). Выпуск 1901 года.

[7] Рец, Мерлин; Кейн, Мета Дарлин (1989), «Конструкции компаса и линейки», Исторические темы для математического класса, Национальный совет учителей математики (NCTM), стр. 195, ISBN 9780873532815

[8] Канун 1963 г., п. 202

[Hunger784-9] а ^б Hungerbühler 1994, п. 784

[10] Педое 1988, стр.122

[11] Канун 1963 г., п. 198

[12] Арнон Аврон, «О строгой прочной конструктивности одним компасом», Журнал геометрии (1990) 38: 12.

[13] Канун 1963 г., п. 184

[14] Педое 1988, п. 78

[15] Педое 1988, п. 77

[16] Педое 1988, п. 78

[Pedoe123-17] а ^б ^c Педое 1988, п. 123

[18] Канун 1963 г., п. 199

[19] На этом этапе Pedoe выполняет еще одну инверсию, но точки $п$ и $Q$ находятся на круге инверсии и поэтому инвариантны относительно этой последней ненужной инверсии.

[20] Канун 1963 г., п. 200

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]