Проблема Минковского - Minkowski problem

В дифференциальная геометрия, то Проблема Минковского, названный в честь Герман Минковски, просит построить строго выпуклый компактный поверхность S чей Гауссова кривизна указан.[1] Точнее, входом в задачу является строго положительная действительная функция ƒ определен на сфере, и поверхность, которая должна быть построена, должна иметь Гауссова кривизна ƒ(п(Икс)) в точке Икс, куда п(Икс) обозначает нормаль к S вИкс. Эухенио Калаби заявил: «С геометрической точки зрения это [проблема Минковского] Розеттский камень, с помощью которого можно решить несколько связанных проблем ».[2]

В общем, Проблема Минковского запрашивает необходимые и достаточные условия на неотрицательную борелевскую меру на единичной сфере Sп-1 быть мерой площади поверхности выпуклое тело в . Здесь мера площади поверхности SK выпуклого тела K это толчок (п-1)-мерная мера Хаусдорфа, ограниченная границей K через Карта Гаусса. Проблема Минковского была решена Герман Минковски, Александр Данилович Александров, Вернер Фенчель и Бёрге Йессен:[3] мера Бореля μ на единичной сфере является мерой площади поверхности выпуклого тела тогда и только тогда, когда μ имеет центроид в начале и не сосредоточен на большой подсфере. Тогда выпуклое тело однозначно определяется формулой μ до переводов.

Проблема Минковского, несмотря на ее очевидное геометрическое происхождение, обнаруживается во многих местах. Проблема радиолокация легко сводится к проблеме Минковского в Евклидово 3-пространство: восстановление выпуклой формы по заданной кривизне гауссовой поверхности. Обратная задача дифракции коротких волн сводится к задаче Минковского. Проблема Минковского является основой математической теории дифракция а также для физической теории дифракции.

В 1953 г. Луи Ниренберг опубликовал решения двух давних открытых проблем, проблемы Вейля и проблемы Минковского в трехмерном евклидовом пространстве. Решение Л. Ниренбергом проблемы Минковского стало важной вехой в глобальной геометрии. Он был избран первым лауреатом медали Черна (в 2010 г.) за его роль в формулировке современной теории нелинейных эллиптических уравнений с частными производными, в частности, за решение проблемы Вейля и проблем Минковского в евклидовой системе 3- Космос.[4]

Погорелов А.В. получила Государственная премия Украины (1973) для решения многомерной проблемы Минковского в евклидовых пространствах. Погорелов решил проблему Вейля в Риманово пространство в 1969 г.[5]

Шинг-Тунг Яу совместная работа с Шиу-Юэнь Чэн дает полное доказательство многомерной проблемы Минковского в евклидовых пространствах. Шинг-Тунг Яу получил Медаль Филдса на Международный конгресс математиков в Варшаве в 1982 г. за его работу в глобальная дифференциальная геометрия и эллиптические уравнения в частных производных, особенно для решения таких сложных задач, как Гипотеза Калаби 1954 г. и проблема Герман Минковски в евклидовом пространстве относительно Задача Дирихле на самом деле Уравнение Монжа – Ампера.[6]

Рекомендации

  1. ^ Минковский, Х. (1903). "Volumen und Oberfläche". Mathematische Annalen. 57 (4): 447–495. Дои:10.1007 / BF01445180.
  2. ^ Калаби, Эухенио (1979), "Обзор Многомерная проблема Минковского, Алексей Васильевич Погорелов », Бюллетень Американского математического общества, 1: 636–639, Дои:10.1090 / S0273-0979-1979-14645-7, МИСТЕР  1567159.
  3. ^ Шнайдер, Рольф (1993), Выпуклые тела: теория Брунна-Минковского, Кембридж: Издательство Кембриджского университета
  4. ^ Ниренберг, Л. (1953). «Задачи Вейля и Минковского в дифференциальной геометрии в целом». Comm. Pure Appl. Математика. 6 (3): 337–394. Дои:10.1002 / cpa.3160060303. МИСТЕР  0058265.
  5. ^ Погорелов, А. В. (1979) Многомерная проблема Минковского., Вашингтон: Scripta, ISBN  0470-99358-8 МИСТЕР0478079
  6. ^ Ченг, Шиу Юэнь; Яу, Шинг Тунг (1976). «О регулярности решения n-мерной проблемы Минковского». Comm. Pure Appl. Математика. 29 (5): 495–516. Дои:10.1002 / cpa.3160290504.

дальнейшее чтение