Гипотеза Калаби - Calabi conjecture

В математике Гипотеза Калаби было предположение о существовании неких «хороших» Римановы метрики на определенных комплексные многообразия, сделан Эухенио Калаби (1954, 1957 ) и доказано Шинг-Тунг Яу (1977, 1978 ). Яу получил Медаль Филдса в 1982 г. частично для этого доказательства.

Гипотеза Калаби утверждает, что компактный Кэлерово многообразие имеет единственную кэлерову метрику в том же классе, у которой Форма Риччи любая заданная 2-форма, представляющая первую Черн класс. В частности, если первый класс Черна обращается в нуль, существует единственная кэлерова метрика в том же классе с нулевым Кривизна Риччи; они называются Многообразия Калаби – Яу..

Более формально гипотеза Калаби гласит:

Если M это компактный Кэлерово многообразие с метрикой Кэлера

{displaystyle g}

и форма Кэлера

{displaystyle omega}

, и р есть ли (1,1) -форма представляющий первый Черн класс, то существует единственная кэлерова метрика

{displaystyle {ilde {g}}}

на M с формой Кэлера

{displaystyle {ilde {omega}}}

такой, что

{displaystyle omega}

и

{displaystyle {ilde {omega}}}

представляют тот же класс в когомология

{displaystyle H ^ {2} (M, mathbb {R})}

и Форма Риччи из

{displaystyle {ilde {omega}}}

является р.

Гипотеза Калаби тесно связана с вопросом о том, какие кэлеровы многообразия имеют Метрики Келера – Эйнштейна.

Метрики Келера – Эйнштейна

Гипотеза, тесно связанная с гипотезой Калаби, утверждает, что если компактное кэлерово многообразие имеет отрицательный, нулевой или положительный первый класс Черна, то оно имеет Метрика Кэлера – Эйнштейна в том же классе, что и его метрика Кэлера, уникальна до изменения масштаба. Это было доказано для отрицательных первых классов Черна независимо Тьерри Обен и Шинг-Тунг Яу в 1976 году. Когда класс Черна равен нулю, это было доказано Яу как простое следствие гипотезы Калаби. Эти результаты никогда явно не предполагались Калаби, но следовали бы из результатов, которые он объявил в своем выступлении в 1954 г. Международный конгресс математиков.^{[нужна цитата ]}

Когда первый класс Черна положителен, вышеприведенная гипотеза на самом деле неверна из-за результата Ёдзо Мацусима, который показывает, что группа комплексных автоморфизмов многообразия Кэлера – Эйнштейна положительной скалярной кривизны обязательно редуктивна. Например, комплексная проективная плоскость взорванный в 2 точках не имеет метрики Кэлера – Эйнштейна и, следовательно, является контрпримером. Еще одна проблема, возникающая из-за сложных автоморфизмов, заключается в том, что они могут привести к отсутствию единственности для метрики Кэлера – Эйнштейна, даже если она существует. Однако сложные автоморфизмы - не единственная трудность, возникающая в положительном случае. В самом деле, Яу и др. Высказали предположение, что, когда первый класс Черна положителен, кэлерово многообразие допускает метрику Кэлера – Эйнштейна тогда и только тогда, когда оно K-стабильно. Доказательство этой гипотезы было опубликовано Xiuxiong Chen, Саймон Дональдсон и Песня Солнца в январе 2015 г.,^[1]^[2]^[3] и Тиан представили доказательство, опубликованное в электронном виде 16 сентября 2015 года.^[4]^[5]

С другой стороны, в частном случае комплексной размерности два компактная комплексная поверхность с положительным первым классом Черна действительно допускает метрику Кэлера – Эйнштейна тогда и только тогда, когда ее группа автоморфизмов редуктивна. Этот важный результат часто связывают с Ганг Тиан. После доказательства Тиана были задействованы некоторые упрощения и уточнения аргументов; ср. статья Odaka, Spotti и Sun, цитируемая ниже. Таким образом, комплексные поверхности, допускающие такие метрики Кэлера – Эйнштейна, представляют собой в точности комплексную проективную плоскость, произведение двух копий проективной прямой и раздутий проективной плоскости в 3–8 точках общего положения.^{[нужна цитата ]}

Схема доказательства гипотезы Калаби

Калаби преобразовал гипотезу Калаби в нелинейное уравнение в частных производных комплексного Монж-Ампер типа, и показал, что это уравнение имеет не более одного решения, тем самым установив единственность искомой кэлеровской метрики.

Яу доказал гипотезу Калаби, построив решение этого уравнения с помощью метод непрерывности. Это включает в себя сначала решение более простого уравнения, а затем демонстрацию того, что решение простого уравнения можно непрерывно деформировать до решения жесткого уравнения. Самая сложная часть решения Яу - доказать, что априорные оценки для производных решений.

Преобразование гипотезы Калаби к дифференциальному уравнению

Предположим, что ${displaystyle M}$ - комплексное компактное многообразие с кэлеровой формой ${displaystyle omega}$ Любая другая кэлерова форма в том же классе имеет вид

{displaystyle omega + dd'varphi}

для некоторой гладкой функции ${displaystyle varphi}$ на ${displaystyle M}$ , уникальный с точностью до добавления константы. Таким образом, гипотеза Калаби эквивалентна следующей проблеме:

Позволять

{displaystyle F = e ^ {f}}

- положительная гладкая функция на

{displaystyle M}

со средним значением 1. Тогда существует гладкая вещественная функция

{displaystyle varphi}

; с

{displaystyle (omega + dd'varphi) ^ {m} = e ^ {f} omega ^ {m}}

и

{displaystyle varphi}

; единственно с точностью до добавления константы.

Это уравнение комплексного типа Монжа – Ампера для одной функции ${displaystyle varphi}$ Это особенно сложное для решения уравнение в частных производных, поскольку оно нелинейно в терминах высшего порядка. Это легко решить, когда ${displaystyle f = 0}$ , в качестве ${displaystyle varphi = 0}$ это решение. Идея метода непрерывности состоит в том, чтобы показать, что его можно решить для всех ${displaystyle f}$ показав, что набор ${displaystyle f}$ для которого она может быть решена, бывает как открытой, так и закрытой. Поскольку набор ${displaystyle f}$ для которого она может быть решена, непусто, и множество всех ${displaystyle f}$ связан, это показывает, что его можно решить для всех ${displaystyle f}$ .

Отображение гладких функций в гладкие функции, принимающие ${displaystyle varphi}$ к ${displaystyle F}$ определяется

{displaystyle F = (omega + dd'varphi) ^ {m} / omega ^ {m}}

не является ни инъективным, ни сюръективным. Это не является инъективным, потому что добавление константы к ${displaystyle varphi}$ не меняется ${displaystyle F}$ , и это не сюръективно, потому что ${displaystyle F}$ должен быть положительным и иметь среднее значение 1. Таким образом, мы рассматриваем карту, ограниченную функциями ${displaystyle varphi}$ которые нормализованы, чтобы иметь среднее значение 0, и спросить, является ли это отображение изоморфизмом на множество положительных ${displaystyle F = e ^ {f}}$ со средним значением 1. Калаби и Яу доказали, что это действительно изоморфизм. Это делается в несколько шагов, описанных ниже.

Уникальность решения

Для доказательства уникальности решения необходимо показать, что если

{displaystyle (omega + dd'varphi _ {1}) ^ {m} = (omega + dd'varphi _ {2}) ^ {m}}

тогда φ₁ и φ₂ различаются на константу (поэтому они должны быть одинаковыми, если они оба нормализованы для получения среднего значения 0). Калаби доказал это, показав, что среднее значение

{displaystyle | d (varphi _ {1} -varphi _ {2}) | ^ {2}}

задается выражением, которое не больше 0. Поскольку очевидно, что оно не меньше 0, оно должно быть 0, поэтому

{displaystyle d (varphi _ {1} -varphi _ {2}) = 0}

что, в свою очередь, заставляет φ₁ и φ₂ отличаться на константу.

Набор F открыт

Доказывая, что множество возможных F является открытым (в наборе гладких функций со средним значением 1) включает показ того, что если возможно решить уравнение для некоторого F, то ее можно решить для всех достаточно близких F. Калаби доказал это, используя теорема о неявной функции за Банаховы пространства: чтобы применить это, главный шаг - показать, что линеаризация указанного выше дифференциального оператора обратима.

Набор F закрыто

Это самая сложная часть доказательства, и ее выполнил Яу. F находится в замыкании образа возможных функций φ. Это означает, что существует последовательность функций φ₁, φ₂, ... такие, что соответствующие функции F₁, F₂, ... сходятся к F, и задача состоит в том, чтобы показать, что некоторая подпоследовательность функций φs сходится к решению φ. Для этого Яу находит априорные границы для функций φ_я и их высшие производные в терминах высших производных от log (ж_я). Для нахождения этих границ требуется длинная последовательность жестких оценок, каждая из которых немного лучше предыдущей. Полученных Яу оценок достаточно, чтобы показать, что функции φ_я все лежат в компактном подмножестве подходящего банахова пространства функций, поэтому можно найти сходящуюся подпоследовательность, сходящуюся к функции φ с образом F, что показывает, что множество возможных изображений F закрыто.

внешняя ссылка

Яу, Шинг Тунг (2009), «Многообразие Калаби-Яу», Scholarpedia, 4 (8): 6524, Bibcode:2009SchpJ ... 4.6524Y, Дои:10.4249 / scholarpedia.6524

[1] Чен, Xiuxiong; Дональдсон, Саймон; Солнце, Метрики Сонга Кэлера-Эйнштейна на многообразиях Фано. I: Аппроксимация метрик с коническими особенностями. J. Amer. Математика. Soc. 28 (январь 2015), нет. 1, 183–197.

[2] Чен, Xiuxiong; Дональдсон, Саймон; Солнце, Метрики Сонга Кэлера-Эйнштейна на многообразиях Фано. II: Пределы с углом конуса меньше 2π. J. Amer. Математика. Soc. 28 (январь 2015), нет. 1, 199–234.

[3] Чен, Xiuxiong; Дональдсон, Саймон; Солнце, Метрики Сонга Кэлера-Эйнштейна на многообразиях Фано. III: Ограничения по мере приближения угла конуса к 2π и завершение основного доказательства. J. Amer. Математика. Soc. 28 (январь 2015), нет. 1, 235–278.

[4] Ганг Тянь: K-стабильность и метрики Келера-Эйнштейна. Сообщения по чистой и прикладной математике, том 68, выпуск 7, страницы 1085–1156, июль 2015 г. http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/cpa.21578/abstract

[5] Ганг Тянь: Исправление: K-устойчивость и метрики Келера-Эйнштейна. Сообщения по чистой и прикладной математике, том 68, выпуск 11, страницы 2082–2083, сентябрь 2015 г. http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/cpa.21612/full

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]