Теорема Миллера - Miller theorem

В Теорема Миллера относится к процессу создания схемы замещения. В нем утверждается, что элемент плавающего импеданса, питаемый двумя последовательно подключенными источниками напряжения, может быть разделен на два заземленных элемента с соответствующими сопротивлениями. Также есть двойственная теорема Миллера Что касается импеданса, подаваемого двумя источниками тока, подключенными параллельно. Две версии основаны на двух Законы цепи Кирхгофа.

Теоремы Миллера - это не только чистые математические выражения. Эти схемы объясняют важные явления схемы, связанные с изменением импеданса (Эффект Миллера, виртуальная земля, самонастройка, отрицательный импеданс и т. д.) и помощь в проектировании и понимании различных обычных схем (усилители обратной связи, резистивные и зависимые от времени преобразователи, преобразователи отрицательного импеданса и т. д.). Эти теоремы полезны в «анализе схем», особенно при анализе схем с обратной связью.^[1] и некоторые транзисторные усилители на высоких частотах.^[2]

Между теоремой Миллера и эффектом Миллера существует тесная связь: теорему можно рассматривать как обобщение эффекта, а эффект можно рассматривать как частный случай теоремы.

Теорема Миллера (для напряжений)

Определение

Теорема Миллера устанавливает, что в линейной цепи, если существует ветвь с полным сопротивлением Z, соединяющий два узла с узловыми напряжениями V₁ и V₂, мы можем заменить эту ветвь двумя ветвями, соединяющими соответствующие узлы с землей импедансами соответственно Z / (1 - K) и KZ / (K - 1), где K = V₂/ V₁. Теорема Миллера может быть доказана с помощью эквивалентной техники двухпортовой сети для замены двухпортовой сети на ее эквивалент и применения теоремы о поглощении источника.^[3] Эта версия теоремы Миллера основана на Закон напряжения Кирхгофа; по этой причине он также назван Теорема Миллера для напряжений.

Объяснение

Схема по теореме Миллера

Теорема Миллера подразумевает, что элемент импеданса питается от двух произвольных (не обязательно зависимых) источников напряжения, которые последовательно соединены через общую землю. На практике один из них выступает в роли основного (независимого) источника напряжения с напряжением V₁ а другой - как дополнительный (линейно зависимый) источник напряжения с напряжением ${\displaystyle V_{2}=K{V_{1}}}$. Идея теоремы Миллера (изменение импедансов цепей, видимых со сторон входного и выходного источников) раскрывается ниже путем сравнения двух ситуаций - без и с подключением дополнительного источника напряжения V₂.

Если V₂ был равен нулю (не было второго источника напряжения или правого конца элемента с сопротивлением Z был просто заземлен), входной ток, протекающий через элемент, будет определяться, согласно закону Ома, только V₁

${\displaystyle I_{in0}={\frac {V_{1}}{Z}}}$

и входной импеданс схемы будет

${\displaystyle Z_{in0}={\frac {V_{1}}{I_{in0}}}=Z.}$

Поскольку включен второй источник напряжения, входной ток зависит от обоих напряжений. В зависимости от полярности V₂ вычитается из или добавляется к V₁; Итак, входной ток уменьшается / увеличивается

${\displaystyle I_{in}={\frac {V_{1}-V_{2}}{Z}}={\frac {(1-K)}{Z}}{V_{1}}={(1-K)}{I_{in0}}}$

и входной импеданс схемы, видимой со стороны источника входного сигнала, соответственно увеличивается / уменьшается

${\displaystyle Z_{in}={\frac {V_{1}}{I_{in}}}={\frac {Z}{1-K}}.}$

Итак, теорема Миллера выражает тот факт, что подключение второго источника напряжения с пропорциональным напряжением ${\displaystyle V_{2}=K{V_{1}}}$ последовательно с источником входного напряжения изменяет эффективное напряжение, ток и, соответственно, полное сопротивление цепи, если смотреть со стороны источника входного сигнала.. В зависимости от полярности, V₂ действует как дополнительный источник напряжения, помогая или противодействуя основному источнику напряжения пропускать ток через полное сопротивление.

Помимо представления комбинации двух источников напряжения как нового составного источника напряжения, теорема может быть объяснена следующим образом: объединение фактического элемента и второго источника напряжения в новый виртуальный элемент с динамически изменяемым импедансом. С этой точки зрения, V₂ дополнительное напряжение, которое искусственно увеличивает / уменьшает падение напряжения V_z через импеданс Z таким образом уменьшая / увеличивая ток. Пропорция между напряжениями определяет значение полученного импеданса (см. Таблицы ниже) и дает в общей сложности шесть групп типичных Приложения.

Вычитание V₂ от V₁

V2 против V1	V2 = 0	0 < V2 < V1	V2 = V1	V2 > V1
Импеданс	нормальный	вырос	бесконечный	отрицательный с инверсией тока

Добавление V₂ к V₁

V2 против Vz	V2 = 0	0 < V2 < Vz	V2 = Vz	V2 > Vz
Импеданс	нормальный	уменьшился	нуль	отрицательный с инверсией напряжения

Сопротивление цепи, если смотреть со стороны выходного источника, может быть определено аналогичным образом, если напряжения V₁ и V₂ меняются местами, а коэффициент K заменяется на 1 /K

${\displaystyle Z_{in2}={\frac {{K}{Z}}{K-1}}.}$

Реализация

Типичная реализация теоремы Миллера на основе несимметричного усилителя напряжения

Чаще всего теорема Миллера может быть соблюдена и реализована в устройстве, состоящем из элемента с полным сопротивлением Z подключен между двумя выводами заземленной общей линейной сети.^[2] Обычно усилитель напряжения с коэффициентом усиления ${\displaystyle A_{V}=K}$ служит такой линейной сетью, но и другие устройства могут играть эту роль: человек и потенциометр в потенциометрический измеритель нулевого баланса, электромеханический интегратор (сервомеханизмы с датчиками потенциометрической обратной связи) и др.

В реализации усилителя входное напряжение V_я служит в качестве V₁ и выходное напряжение V_о - так как V₂. Во многих случаях источник входного напряжения имеет внутренний импеданс. ${\displaystyle Z_{int}}$ или подключен дополнительный входной импеданс, который в сочетании с Z, вводит отзыв. В зависимости от типа усилителя (неинвертирующий, инвертирующий или дифференциальный) обратная связь может быть положительной, отрицательной или смешанной.

Схема усилителя Миллера имеет два аспекта:

• усилитель можно рассматривать как дополнительный источник напряжения, преобразующий фактический импеданс в виртуальный импеданс (усилитель изменяет сопротивление фактического элемента)
• виртуальный импеданс можно рассматривать как элемент, подключенный параллельно входу усилителя (виртуальный импеданс изменяет входное сопротивление усилителя).

Приложения

Введение импеданса, который соединяет входные и выходные порты усилителя, значительно усложняет процесс анализа. Теорема Миллера помогает уменьшить сложность некоторых схем, особенно с обратной связью.^[2] преобразовав их в более простые эквивалентные схемы. Но теорема Миллера - не только эффективный инструмент для создания эквивалентных схем; это также мощный инструмент для проектирования и понимания схем на основе изменение импеданса за счет дополнительного напряжения. В зависимости от полярности выходного напряжения по отношению к входному напряжению и соотношения между их величинами существует шесть групп типичных ситуаций. В некоторых из них явление Миллера проявляется желаемым образом (самонастройка ) или нежелательные (Эффект Миллера ) непреднамеренные эффекты; в остальных случаях вводится намеренно.

Приложения на основе вычитания V₂ от V₁

В этих приложениях выходное напряжение V_о вставляется с противоположной полярностью по отношению к входному напряжению V_я движется по контуру (но относительно земли полярности такие же). В результате эффективное напряжение и ток через импеданс уменьшаются; входной импеданс увеличивается.

Повышенный импеданс реализуется неинвертирующим усилителем с коэффициентом усиления 0 v <1. Выходное напряжение (величина) меньше входного. V_я и частично нейтрализует его. Примеры - несовершенные повторители напряжения (излучатель, источник, катод повторитель и т. д.) и усилители с последовательной отрицательной обратной связью (эмиттерная дегенерация ), входное сопротивление которого умеренно увеличено.

Неинвертирующий усилитель операционного усилителя представляет собой типичную схему с последовательной отрицательной обратной связью, основанную на теореме Миллера, где дифференциальный входной импеданс операционного усилителя, по-видимому, увеличен до бесконечности.

Бесконечное сопротивление использует неинвертирующий усилитель с A_v = 1. Выходное напряжение равно входному напряжению. V_я и полностью нейтрализует его. Примеры потенциометрические измерители нулевого баланса и повторители на операционных усилителях и усилители с последовательной отрицательной обратной связью (последователь операционного усилителя и неинвертирующий усилитель ), где входной импеданс схемы сильно увеличен. Этот метод упоминается как самонастройка и преднамеренно используется в схемах смещения, схемах защиты входа,^[4] и т.п.

Отрицательный импеданс, полученный инверсией тока реализуется неинвертирующим усилителем с A_v > 1. Ток меняет свое направление, так как выходное напряжение выше входного. Если источник входного напряжения имеет внутренний импеданс ${\displaystyle Z_{int}}$ или если он подключен через другой элемент импеданса, появляется положительная обратная связь. Типичное приложение - это преобразователь отрицательного импеданса с инверсией тока (INIC), который использует как отрицательную, так и положительную обратную связь (отрицательная обратная связь используется для реализации неинвертирующего усилителя, а положительная обратная связь - для изменения импеданса).

Приложения на основе добавления V₂ к V₁

В этих приложениях выходное напряжение V_о вставляется с той же полярностью относительно входного напряжения V_я движется по петле (но по отношению к земле полярности противоположны). В результате эффективное напряжение на импедансе и ток через импеданс увеличиваются; входное сопротивление уменьшается.

Пониженное сопротивление реализуется инвертирующим усилителем с умеренным коэффициентом усиления, обычно 10 v <1000. Может наблюдаться как нежелательный Эффект Миллера в с общим эмиттером, общий источник и с общим катодом усилительные каскады, на которых увеличена эффективная входная емкость. Компенсация частоты для операционных усилителей общего назначения и транзисторный интегратор Миллера являются примерами полезного использования эффекта Миллера.

Инвертирующий усилитель операционного усилителя представляет собой типичную схему с параллельной отрицательной обратной связью, основанную на теореме Миллера, где дифференциальный входной импеданс операционного усилителя, по-видимому, уменьшен до нуля.

Нулевое сопротивление использует инвертирующий усилитель (обычно операционный усилитель) с чрезвычайно высоким коэффициентом усиления A_v → ∞. Выходное напряжение почти равно падению напряжения V_Z поперек импеданса и полностью его нейтрализует. Схема ведет себя как короткое соединение и виртуальная земля появляется на входе; поэтому он не должен приводиться в действие источником постоянного напряжения. Для этого некоторые цепи управляются источником постоянного тока или реальным источником напряжения с внутренним сопротивлением: преобразователь тока в напряжение (трансимпедансный усилитель), емкостной интегратор (именуется также текущий интегратор или усилитель заряда ), преобразователь сопротивления в напряжение (резистивный датчик, подключенный вместо импеданса Z).

Остальные имеют дополнительное сопротивление, подключенное последовательно ко входу: преобразователь напряжения в ток (усилитель крутизны), инвертирующий усилитель, суммирующий усилитель, индуктивный интегратор, емкостной дифференциатор, резистивно-емкостной интегратор, емкостно-резистивный дифференциатор, индуктивно-резистивный дифференциатор и т. д. Инвертирующие интеграторы из этого списка являются примерами полезных и желаемых применений эффекта Миллера в его крайних проявлениях.

Во всех этих инвертирующие схемы операционного усилителя с параллельной отрицательной обратной связью, входной ток увеличивается до максимума. Он определяется только входным напряжением и входным сопротивлением в соответствии с Закон Ома; не зависит от импеданса Z.

Отрицательный импеданс с инверсией напряжения реализуется путем подачи как отрицательной, так и положительной обратной связи на усилитель операционного усилителя с дифференциальным входом. Источник входного напряжения должен иметь внутреннее сопротивление. ${\displaystyle Z_{int}}$ > 0, или он должен быть подключен к входу через другой импедансный элемент. В этих условиях входное напряжение V_я цепи меняет свою полярность, когда выходное напряжение превышает падение напряжения V_Z по импедансу (V_я = V_z – V_о < 0).

Типичное применение - преобразователь отрицательного импеданса с инверсией напряжения (VNIC).^[5] Интересно, что входное напряжение схемы имеет ту же полярность, что и выходное напряжение, хотя оно подается на вход инвертирующего операционного усилителя; входной источник имеет полярность, противоположную входному и выходному напряжению схемы.

Обобщение расположения Миллера

Оригинальный эффект Миллера реализован за счет емкостного сопротивления, подключенного между двумя узлами. Теорема Миллера обобщает эффект Миллера, поскольку подразумевает произвольный импеданс Z, подключенный между узлами. Допускается также постоянный коэффициент К; тогда выражения над действительны. Но модифицирующие свойства теоремы Миллера существуют даже тогда, когда эти требования нарушаются, и это устройство может быть дополнительно обобщено путем динамизации импеданса и коэффициента.

Нелинейный элемент. Помимо импеданса, схема Миллера может изменять ВАХ произвольного элемента. Схема преобразователь журнала диодов является примером нелинейного практически нулевое сопротивление где логарифмический прямая ВАХ диода преобразуется в вертикальную прямую, перекрывающую ось Y.

Непостоянный коэффициент. Если коэффициент K меняется, можно получить экзотические виртуальные элементы. А схема гиратора является примером такого виртуального элемента, в котором сопротивление R_L модифицирован так, чтобы имитировать индуктивность, емкость или обратное сопротивление.

Двойственная теорема Миллера (для токов)

Определение

Существует также двойственная версия теоремы Миллера, основанная на Действующий закон Кирхгофа (Теорема Миллера для токов): если в цепи с импедансом Z есть ответвление, соединяющее узел, где два тока I₁ и я₂ сходятся к земле, мы можем заменить эту ветвь двумя проводящими указанные токи, соответственно равными (1 + α) Z и (1 + α) Z / α, где α = I₂/Я₁. Двойственная теорема может быть доказана заменой двухпортовой сети ее эквивалентом и применением теоремы о поглощении источника.^[3]

Объяснение

Двойная теорема Миллера фактически выражает тот факт, что подключение второго источника тока, производящего пропорциональный ток ${\displaystyle I_{2}=K{I_{1}}}$ параллельно с основным входным источником и элементом импеданса изменяется ток, протекающий через него, напряжение и, соответственно, полное сопротивление цепи, видимое со стороны входного источника. В зависимости от направления, я₂ действует как дополнительный источник тока, помогая или противодействуя основному источнику тока я₁ для создания напряжения на импедансе. Комбинация фактического элемента и второго источника тока может рассматриваться как новый виртуальный элемент с динамически изменяемым импедансом.

Реализация

Двойная теорема Миллера обычно реализуется схемой, состоящей из двух источников напряжения, обеспечивающих заземленный импеданс. Z через плавающие импедансы (см. Рис. 3 ). Комбинации источников напряжения и соответствующих им сопротивлений образуют два источника тока - основной и вспомогательный. Как и в случае основной теоремы Миллера, второе напряжение обычно вырабатывается усилителем напряжения. В зависимости от типа усилителя (инвертирующий, неинвертирующий или дифференциальный) и коэффициента усиления входное сопротивление цепи может быть виртуально увеличено, бесконечно, уменьшено, равно нулю или отрицательно.

Приложения

В качестве основной теоремы Миллера, помимо помощи в процессе анализа схемы, двойная версия является мощным инструментом для проектирования и понимания схем, основанных на изменении импеданса с помощью дополнительного тока. Типичными приложениями являются некоторые экзотические схемы с отрицательным импедансом в качестве компенсаторов нагрузки,^[6] нейтрализаторы емкости,^[7] Источник тока Howland и его производный интегратор Deboo.^[8] В последнем примере (см. Там рис.1) источник тока Howland состоит из источника входного напряжения V_В, положительный резистор R, нагрузка (конденсатор C действует как сопротивление Z) и преобразователь отрицательного импеданса INIC (R₁ = R₂ = R₃ = R и операционный усилитель). Источник входного напряжения и резистор R составляют несовершенный источник тока, пропускающий ток я_р через нагрузку (см. рис. 3 в источнике). INIC действует как второй источник тока, пропускающий «вспомогательный» ток. я_−R через нагрузку. В результате общий ток, протекающий через нагрузку, остается постоянным, а полное сопротивление цепи, воспринимаемое входным источником, увеличивается. Для сравнения, в средство отмены нагрузки^{[постоянная мертвая ссылка ]}, INIC пропускает весь требуемый ток через нагрузку; импеданс цепи, видимый со стороны источника входного сигнала (импеданс нагрузки), почти бесконечен.

Список конкретных приложений, основанных на теоремах Миллера

Ниже приведен список схемных решений, явлений и методов, основанных на двух теоремах Миллера.

Схемотехнические решения

• Потенциометрический измеритель нулевого баланса
• Электромеханические регистраторы данных с потенциометрической сервосистемой
• Эмиттерный (исток, катодный) повторитель
• Транзисторный усилитель с эмиттерным (истоком, катодом) вырождения
• Схемы смещения транзисторов
• Транзисторный интегратор
• Усилительные каскады с общим эмиттером (общий исток, общий катод) и паразитными емкостями
• Последователь операционного усилителя
• Неинвертирующий усилитель операционного усилителя
• Настраиваемый повторитель переменного тока операционного усилителя с высоким входным сопротивлением
• Двусторонний источник тока
• Преобразователь отрицательного импеданса с инверсией тока (INIC)
• Компенсатор нагрузки с отрицательным импедансом
• Компенсатор входной емкости с отрицательным импедансом
• Текущий источник Howland
• Интегратор Deboo
• Инвертирующий амперметр операционного усилителя
• Преобразователь напряжения в ток операционного усилителя (крутильный усилитель)
• Преобразователь тока в напряжение операционного усилителя (трансимпедансный усилитель)
• Преобразователь сопротивления операционного усилителя в ток
• Преобразователь сопротивления операционного усилителя в напряжение
• Инвертирующий усилитель операционного усилителя
• Инвертирующий летний операционный усилитель
• Инвертирующий емкостной интегратор операционного усилителя (интегратор тока, усилитель заряда)
• Инвертирующий резистивно-емкостной интегратор операционного усилителя
• Инвертирующий емкостной дифференциатор операционного усилителя
• Инвертирующий емкостно-резистивный дифференциатор операционного усилителя
• Инвертирующий индуктивный интегратор операционного усилителя
• Инвертирующий индуктивно-резистивный дифференциатор операционного усилителя и т. Д.
• Диодный логарифмический преобразователь ОУ
• Антилогарифмический преобразователь на диоде операционного усилителя
• Ограничитель инвертирующего диода операционного усилителя (прецизионный диод)
• Преобразователь отрицательного импеданса с инверсией напряжения (VNIC) и др.

Цепные явления и методы

• Начальная загрузка
• Защита входа схем операционного усилителя с высоким импедансом
• Нейтрализация входной емкости
• Виртуальная площадка
• Эффект Миллера
• Компенсация частотного ОУ
• Отрицательный импеданс
• Отмена загрузки

Смотрите также

• Эффект Миллера
• Усилитель отрицательной обратной связи
• Применение операционных усилителей
• Начальная загрузка

использованная литература

1. «Разные сетевые теоремы». Netlecturer.com. Архивировано из оригинал на 2012-03-21. Получено 2013-02-03.
2. «EEE 194RF: теорема Миллера» (PDF). Получено 2013-02-03.
3. «Теорема Миллера». Paginas.fe.up.pt. Получено 2013-02-03.
4. Работа с операционными усилителями с высоким импедансом В архиве 2010-09-23 на Wayback Machine Ан-241
5. «Нелинейный анализ цепей - введение» (PDF). Получено 2013-02-03.
6. Компенсатор нагрузки с отрицательным сопротивлением помогает управлять тяжелыми грузами
7. Д. Х. Шейнгольд (1964-01-01), «Преобразование импеданса и адмиттанса с помощью операционных усилителей», Молниеносный эмпирик, 12 (1), получено 2014-06-22
8. "Рассмотрим интегратор однополярного питания" Deboo ". Maxim-ic.com. 2002-08-29. Получено 2013-02-03.

дальнейшее чтение

• Основы микроэлектроники Бехзад Разави
• Микроэлектронные схемы Адель Седра и Кеннет Смит
• Основы проектирования ВЧ схем Джереми Эверард

внешние ссылки

• Возвращение к теореме Миллера
• Новые результаты, связанные с теоремой Миллера
• Сетевая теорема, двойственная теореме Миллера
• Обобщенная теорема Миллера и ее приложения
• Теорема о разложении обратной связи (FDT): эволюция теоремы Миллера
• Точный расчет влияния Миллера на частотную характеристику, а также на входные и выходные импедансы усилителей с обратной связью (с использованием FDT)