Формула Мелера – Гейне - Mehler–Heine formula

В математике Формула Мелера – Гейне представлен Mehler  (1868 ) и Гейне  (1861 ) описывает асимптотическое поведение Полиномы Лежандра так как индекс стремится к бесконечности, около краев опоры груза. Есть обобщения на другие классические ортогональные многочлены, которые также называют формулой Мелера – Гейне. Формула дополняет формулы Дарбу, описывающие асимптотика внутри и снаружи опоры.

Полиномы Лежандра

Простейший случай формулы Мелера – Гейне утверждает, что

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P_{n}{\Bigl (}\cos {z \over n}{\Bigr )}=J_{0}(z)}$

куда п_п - полином Лежандра порядка п, и J₀ а Функция Бесселя. Предел однороден по z в произвольной ограниченной домен в комплексная плоскость.

Многочлены Якоби

Обобщение на Многочлены Якоби п^{α, β}
_п дан кем-то (Сегё 1939, 8.1) следующим образом:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }n^{-\alpha }P_{n}^{\alpha ,\beta }\left(\cos {\frac {z}{n}}\right)=\left({\frac {z}{2}}\right)^{-\alpha }J_{\alpha }(z)~.}$

Рекомендации

• Гейне, Э. (1861), Handbuch der Kugelfunktionen. Theorie und Anwendung. Neudruck. (на немецком языке), Георг Реймер, Берлин, Zbl  0103.29304
• Мелер, Ф. Г. (1868), "Ueber die Vertheilung der statischen Elektricität in einem von zwei Kugelkalotten beginzten Körper". (PDF), Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (на немецком), 68: 134–150, Дои:10.1515 / crll.1868.68.134, ISSN  0075-4102
• Сегё, Габор (1939), Ортогональные многочлены, Публикации коллоквиума, XXIII, Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-1023-1, МИСТЕР  0372517