Средняя абсолютная разница - Mean absolute difference

О различиях относительно центральной точки см. Среднее абсолютное отклонение. Для парных различий см. Средняя абсолютная ошибка.

В средняя абсолютная разница (одномерный) - это мера статистической дисперсии равный среднему абсолютная разница двух независимых значений, взятых из распределение вероятностей. Связанная статистика - это относительная средняя абсолютная разница, которая представляет собой среднюю абсолютную разницу, деленную на среднее арифметическое, и равняется удвоенному Коэффициент Джини. Средняя абсолютная разница также известна как абсолютная средняя разница (не путать с абсолютная величина из средняя знаковая разница ) и Джини средняя разница (GMD).^[1] Средняя абсолютная разность иногда обозначается как Δ или как MD.

Определение

Средняя абсолютная разница определяется как «среднее» или «среднее значение», формально ожидаемое значение, абсолютной разницы двух случайные переменные Икс и Y независимо и одинаково распределены с тем же (неизвестным) распределением, называемым далее Q.

${displaystyle mathrm {MD} :=E[|X-Y|].}$

Расчет

В частности, в дискретном случае

• Для случайной выборки размера п населения, равномерно распределенного по Q, посредством закон полного ожидания (эмпирическая) средняя абсолютная разность последовательности выборочных значений у_я, я = От 1 до п можно рассчитать как среднее арифметическое абсолютного значения всех возможных различий:

${displaystyle mathrm {MD} =E[|X-Y|]=E_{X}[E_{Y|X}[|X-Y|]]={frac {1}{n^{2}}}sum _{i=1}^{n}sum _{j=1}^{n}|x_{i}-y_{j}|.}$

• если Q имеет дискретная функция вероятности ж(у), куда у_я, я = От 1 до п, - значения с ненулевыми вероятностями:

${displaystyle mathrm {MD} =sum _{i=1}^{n}sum _{j=1}^{n}f(y_{i})f(y_{j})|y_{i}-y_{j}|.}$

В непрерывном случае

• если Q имеет функция плотности вероятности ж(Икс):

${displaystyle mathrm {MD} =int _{-infty }^{infty }int _{-infty }^{infty }f(x),f(y),|x-y|,dx,dy.}$

• если Q имеет кумулятивная функция распределения F(Икс) с квантильная функция Q(F), то, поскольку f (x) = dF (x) / dx и Q (F (х)) = х, следует, что:

${displaystyle mathrm {MD} =int _{0}^{1}int _{0}^{1}|Q(F_{1})-Q(F_{2})|,dF_{1},dF_{2}.}$

Относительная средняя абсолютная разница

Когда распределение вероятностей имеет конечное и ненулевое среднее арифметическое AM, относительная средняя абсолютная разница, иногда обозначаемая как Δ или RMD, определяется как

${displaystyle mathrm {RMD} ={frac {mathrm {MD} }{mathrm {AM} }}.}$

Относительная средняя абсолютная разница количественно определяет среднюю абсолютную разницу по сравнению с размером среднего и является безразмерной величиной. Относительная средняя абсолютная разница равна удвоенному значению Коэффициент Джини который определяется в терминах Кривая Лоренца. Это соотношение дает дополнительные перспективы как для относительной средней абсолютной разницы, так и для коэффициента Джини, включая альтернативные способы вычисления их значений.

Характеристики

Средняя абсолютная разница инвариантна к переносам и отрицанию и изменяется пропорционально положительному масштабированию. То есть, если Икс случайная величина и c постоянная:

• MD (Икс + c) = MD (Икс),
• MD (-Икс) = MD (Икс), и
• MD (c Икс) = |c| MD (Икс).

Относительная средняя абсолютная разница инвариантна к положительному масштабированию, коммутирует с отрицанием и изменяется при переводе пропорционально соотношению исходных и переведенных арифметических средних. То есть, если Икс - случайная величина, а c - константа:

• RMD (Икс + c) = RMD (Икс) · иметь в виду(Икс)/(иметь в виду(Икс) + c) = RMD (Икс) / (1 + c / иметь в виду(Икс)) за c ≠ −среднее (Икс),
• RMD (-Икс) = −RMD (Икс), и
• RMD (c Икс) = RMD (Икс) за c > 0.

Если случайная величина имеет положительное среднее значение, то ее относительная средняя абсолютная разница всегда будет больше или равна нулю. Если, кроме того, случайная величина может принимать только значения, которые больше или равны нулю, то ее относительная средняя абсолютная разница будет меньше 2.

По сравнению со стандартным отклонением

Средняя абсолютная разница вдвое больше L-шкала (второй L-момент ), а стандартное отклонение - это квадратный корень из дисперсии среднего (второй условный центральный момент). Различия между L-моментами и обычными моментами сначала видны при сравнении средней абсолютной разницы и стандартного отклонения (первый L-момент и первый условный момент являются средними).

Оба стандартное отклонение и средняя абсолютная разница измеряет дисперсию - насколько разбросаны значения генеральной совокупности или вероятности распределения. Средняя абсолютная разница не определяется в терминах конкретной меры центральной тенденции, тогда как стандартное отклонение определяется в терминах отклонения от среднего арифметического. Поскольку стандартное отклонение возводит в квадрат свои различия, оно имеет тенденцию придавать больший вес большим различиям и меньший вес меньшим различиям по сравнению со средней абсолютной разностью. Когда среднее арифметическое конечно, средняя абсолютная разность также будет конечной, даже если стандартное отклонение бесконечно. Увидеть Примеры для некоторых конкретных сравнений.

Недавно представленный стандартное отклонение расстояния играет ту же роль, что и средняя абсолютная разница, но стандартное отклонение расстояния работает с центральными расстояниями. Смотрите также Электронная статистика.

Выборочные оценщики

Для случайной выборки S из случайной величины Икс, состоящий из п значения у_я, статистика

${displaystyle mathrm {MD} (S)={frac {sum _{i=1}^{n}sum _{j=1}^{n}|y_{i}-y_{j}|}{n(n-1)}}}$

это последовательный и беспристрастный оценщик МД (Икс). Статистика:

${displaystyle mathrm {RMD} (S)={frac {sum _{i=1}^{n}sum _{j=1}^{n}|y_{i}-y_{j}|}{(n-1)sum _{i=1}^{n}y_{i}}}}$

это последовательный оценщик РМД (Икс), но, как правило, не беспристрастный.

Доверительные интервалы для RMD (Икс) можно рассчитать с использованием методов бутстраповой выборки.

Как правило, не существует объективной оценки для RMD (Икс), отчасти из-за трудности получения несмещенной оценки для умножения на обратное к среднему. Например, даже если известно, что выборка взята из случайной величины Икс(п) для неизвестного п, и Икс(п) − 1 имеет Распределение Бернулли, так что Pr (Икс(п) = 1) = 1 − п и Pr (Икс(п) = 2) = п, тогда

RMD (Икс(п)) = 2п(1 − п)/(1 + п).

Но ожидаемое значение любой оценки р(S) РМД (Икс(п)) будет иметь вид:^{[нужна цитата ]}

${displaystyle operatorname {E} (R(S))=sum _{i=0}^{n}p^{i}(1-p)^{n-i}r_{i},}$

где р _я являются константами. Итак, E (р(S)) никогда не может равняться RMD (Икс(п)) для всех п от 0 до 1.

Примеры

Примеры средней абсолютной разницы и относительной средней абсолютной разницы

Распределение	Параметры	Иметь в виду	Стандартное отклонение	Средняя абсолютная разница	Относительная средняя абсолютная разница
Сплошная униформа	${displaystyle a=0;b=1}$	${displaystyle 1/2=0.5}$	${displaystyle {frac {1}{sqrt {12}}}approx 0.2887}$	${displaystyle {frac {1}{3}}approx 0.3333}$	${displaystyle {frac {2}{3}}approx 0.6667}$
Нормальный	${displaystyle mu =0}$; ${displaystyle sigma =1}$	${displaystyle 0}$	${displaystyle 1}$	${displaystyle {frac {2}{sqrt {pi }}}approx 1.1284}$	${displaystyle {frac {2}{sqrt {pi }}}approx 1.1284}$
Экспоненциальный	${displaystyle lambda =1}$	${displaystyle 1}$	${displaystyle 1}$	${displaystyle 1}$	${displaystyle 1}$
Парето	${displaystyle k>1}$; ${displaystyle x_{m}=1}$	${displaystyle {frac {k}{k-1}}}$	${displaystyle {frac {1}{k-1}},{sqrt {frac {k}{k-2}}}}$ ext {for} k> 2	${displaystyle {frac {2k}{(k-1)(2k-1)}},}$	${displaystyle {frac {2}{2k-1}},}$
Гамма	${displaystyle k}$; ${displaystyle heta }$	${displaystyle k heta }$	${displaystyle {sqrt {k}}, heta }$	${displaystyle k heta (4I_{0.5}(k+1,k)-2)}$ †	${displaystyle 4I_{0.5}(k+1,k)-2}$ †
Гамма	${displaystyle k=1}$; ${displaystyle heta =1}$	${displaystyle 1}$	${displaystyle 1}$	${displaystyle 1}$	${displaystyle 1}$
Гамма	${displaystyle k=2}$; ${displaystyle heta =1}$	${displaystyle 2}$	${displaystyle {sqrt {2}}approx 1.4142}$	${displaystyle 3/2=1.5}$	${displaystyle 3/4=0.75}$
Гамма	${displaystyle k=3}$; ${displaystyle heta =1}$	${displaystyle 3}$	${displaystyle {sqrt {3}}approx 1.7321}$	${displaystyle 15/8=1.875}$	${displaystyle 5/8=0.625}$
Гамма	${displaystyle k=4}$; ${displaystyle heta =1}$	${displaystyle 4}$	${displaystyle 2}$	${displaystyle 35/16=2.1875}$	${displaystyle 35/64=0.546875}$
Бернулли	${displaystyle 0leq pleq 1}$	${displaystyle p}$	${displaystyle {sqrt {p(1-p)}}}$	${displaystyle 2p(1-p)}$	${displaystyle 2(1-p){ ext{ for }}p>0}$
Студенты т, 2 d.f.	${displaystyle u =2}$	${displaystyle 0}$	${displaystyle infty }$	${displaystyle {frac {pi }{sqrt {2}}}approx 2.2214}$	неопределенный

† ${displaystyle I_{z}(x,y)}$ это регуляризованная неполная бета-функция

Смотрите также

• Средняя абсолютная ошибка
• Среднее отклонение
• Оценщик
• Коэффициент вариации
• L-момент

Рекомендации

1. Ицхаки, Шломо (2003). «Средняя разница Джини: лучший показатель изменчивости для ненормальных распределений» (PDF). Международный статистический журнал Metron. Springer Verlag. 61 (2): 285–316.

• Сюй, Куань (январь 2004 г.). «Как развивалась литература по индексу Джини за последние 80 лет?» (PDF). Департамент экономики, Университет Далхаузи. Получено 2006-06-01.
• Джини, Коррадо (1912). Variabilità e Mutabilità. Болонья: Типография Паоло Куппини.
• Джини, Коррадо (1921). «Измерение неравенства и доходов». Экономический журнал. 31 (121): 124–126. Дои:10.2307/2223319. JSTOR  2223319.
• Чакраварти, С. Р. (1990). Номера этического социального индекса. Нью-Йорк: Springer-Verlag.
• Миллс, Джеффри А .; Зандвакили, Сурушэ (1997). «Статистический вывод с помощью начальной загрузки для измерения неравенства». Журнал прикладной эконометрики. 12 (2): 133–150. CiteSeerX  10.1.1.172.5003. Дои:10.1002 / (SICI) 1099-1255 (199703) 12: 2 <133 :: AID-JAE433> 3.0.CO; 2-H.
• Ломницкий, З.А. (1952). «Стандартная ошибка средней разницы Джини». Анналы математической статистики. 23 (4): 635–637. Дои:10.1214 / aoms / 1177729346.
• Наир, США (1936). «Стандартная ошибка средней разницы Джини». Биометрика. 28 (3–4): 428–436. Дои:10.1093 / biomet / 28.3-4.428.
• Ицхаки, Шломо (2003). «Средняя разница Джини: лучший показатель изменчивости для ненормальных распределений» (PDF). Метрон - Международный статистический журнал. 61: 285–316.